• 参数曲线：

• 正则曲线：

• 曲线切线：

• 弧长参数：

如果曲线切线满足 则p表示曲线上以某点为标准的弧长。

• 曲线弧长公式：

• 点积：

求导后：

• 曲率：

• 设T、N分别为曲线切线和发现，则Frenet公式为：

• 曲率性质：旋转、平移不变，缩放变。某点曲率也就是该点对应圆半径的倒数。
• 平均曲率和高斯曲率：每个正则曲面都有两个主曲率。这两个的平均值就是平均曲率，两个的积是高斯曲率。

— 杜鹏 2010/04/19 9:00

• 是一个经典的基于几何的理论
• 广泛应用于图像处理

 一组空间滤波操作
 用于改变二值区域的形状
     腐蚀：减少物体边界的象素数
     膨胀：增加物体边界的象素数
     复合方法
        开：腐蚀，然后膨胀
        闭：膨胀，然后腐蚀 

下面是一个图像效果例子：

• 数学形态学里面最重要的操作
• 腐蚀将图像的尺寸减少
• 膨胀增加图像的尺寸
• 可以用来消除图像上小的亮斑噪声和不规则的边

腐蚀

 定义：物体的颜色是白，背景是黑
 定义腐蚀模板为
     1     1     1
    1     1     1
    1     1     1
 将模板与图像进行加操作
 如果有，则结果为1，否则为0

 模板的效果相当于去掉物体边界处的单个象素
 4种情况:
   当前处理象素为1，邻域象素为1－》1
   当前处理象素为0，邻域象素为1－》0
   当前处理象素为0，邻域象素为1、0的混合－》0
   当前处理象素为1，邻域象素为1 、0的混合－》1

原始图像到腐蚀后的图像变化效果如下图所示：

膨胀

 膨胀是腐蚀的逆操作
 模板文件是
    0     0     0
   0     0     0
   0     0     0
 其效果相当于在物体的边界添加单个象素

4种情况:
   当前处理象素为0，邻域象素为0－》0
   当前处理象素为1，邻域象素为1－》1
   当前处理象素为1，邻域象素为1、0的混合－》1
   当前处理象素为0，邻域象素为1 、0的混合－》1
逻辑操作算子是Or   

原始图像到膨胀后的图像变化效果如下图所示：

开操作

 开操作相当于先做腐蚀操作，再做膨胀操作
 效果相当于去掉单个象素，但是保留原来的形状何尺寸。

原始图像到开操作后的图像变化效果如下图所示：

闭操作

 闭操作是开操作的逆操作
 先膨胀，然后腐蚀
 它可以用来填补一些小洞  

原始图像到闭操作后的图像变化效果如下图所示：

轮廓抽取

 先做腐蚀操作， 再将腐蚀结果图像减去原始图像

效果如下图所示：

法线速度的一般表示:

例子：

— 王锋 2010/04/19 10:18

隐函数(implicit function)：自变量和因变量之间的法则是由一个方程式所确定

           F(x,y)=0
          y=y(x)            

例子:

距离函数定义:

距离函数的性质：
带符号的距离场隐函数：



例子:

— 康菁菁 2010/04/23 10:58

• 动态轮廓模型; 参数模型
• 由Kass,Witkin和Terzopoulos在1987年提出
• 能量最小化模式
• 决定于它的形状和图像内部的位置

Snake模型 (1987) [Kass-Witkin-Terzopoulos]

• 平面的参数化曲线 C:R→R×R
• 沿着这条曲线的成本函数

• 内部项(internal term)表示
• 图像项(image term)引导轮廓线向目标图像属性变化(强梯度)
• 外部项(external term)可以用来说明用户定义的约束，或者是对所重建的结构的一些先验知识
• 这个成本函数的最小化是对以上这几项的平衡考虑

内部项(internal term)：

• 一阶导数使得snake像膜一样运动
• 二阶导数使得snake像薄片一样运动

图像项(image term)：

• 可以引导snake变化成
  • 等值线，边界线，或终止。

其他的约束…：气球模型，区域snake…

• 弹力(alpha力)——向内拉

• 弯曲力(beta力)——对曲线进行平滑而不是收缩

• 图像梯度力
• 是不同snake模型之间的主要区别
• 传统snake模型的F_ext ：
• 怎样选择E_ext——在边界上呈现更小的值

运用Euler-Lagrange方程

用来更新从原始曲线向目标图像变化过程中的位置

• 初始化曲线，用一定数量的控制点和一个基本函数集
• 解上面的方程，然后更新控制点的位置
• 重新设置更新后的曲线的参数，然后继续以上的步骤直到收敛

参数动态轮廓:

• 用一系列的点表示
• 每个点迭代变化位置

几何动态轮廓:

• 用一系列系数表示
• 在每一轮迭代之前采样
• 每个样本都发生变化
• 计算新的参数(插值)

经典的可变形模型－snakes

• 假设：物体在图像中的边界是分段连续或光滑的，并且用参数表示为
• 轮廓的能量约束表示为
  • 其中S表示对边界线的内部约束，P表示对边界线的外部约束
  • S可以定义为
    分别表示对曲线的张量和硬度的限制
  • P可以定义为
    表示曲线被吸引到梯度大(可能是边界)的区域
• 上式的Euler-Lagrange方程为
  

动态snake

• 经典的snake是一个静态问题，如果将问题的求解看作是曲线的演化，曲线变为则上面问题可以化为
  
  该式的稳定解就是原静态问题的解，其中前两项可以看作曲线的惯性力和粘滞力。

动态可变形模型的求解

• 一般的方法式将几何模型v表示为局部或全局基函数的线性组合(利用有限元法，有限差分法，或者样条函数法等)，然后将问题转化为求解线性参数。
• 一般的形式为
  
  其中K叫做刚性矩阵。最后的方程可以化为一个二次常微分形式
  

• 捕捉范围
• 收敛性不好
  

• L.D.Cohen and I.Cohen,1993
• 将曲线向外推
  
• 问题：收敛性不好
  

• C Xu and J.L.Prince,1998
• GVF(gradient vector flow 梯度向量流):
• 边界图:
• 能量最小化:

• snake模型不改变拓扑信息
• 其他模型：
  • 带有拓扑控制的snake模型—Stephan Bischoff, Leif Kobbelt
• 更高维的模型：
  • GVF—C.Xu,98
  • L.Cohen,95
  • …

— 康菁菁 2010/04/23 11:10