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keynote:lesson07

第七课

第一节 数学基础

数学基础—微分几何简介

  • 参数曲线:

  • 正则曲线:

  • 曲线切线:

  • 弧长参数:

如果曲线切线满足 则p表示曲线上以某点为标准的弧长。

  • 曲线弧长公式:

  • 点积:

求导后:

  • 曲率:

  • 设T、N分别为曲线切线和发现,则Frenet公式为:

  • 曲率性质:旋转、平移不变,缩放变。某点曲率也就是该点对应圆半径的倒数。
  • 平均曲率和高斯曲率:每个正则曲面都有两个主曲率。这两个的平均值就是平均曲率,两个的积是高斯曲率。

杜鹏 2010/04/19 9:00

数学基础—数学形态学

  • 是一个经典的基于几何的理论
  • 广泛应用于图像处理

形态算子

 一组空间滤波操作
 用于改变二值区域的形状
     腐蚀:减少物体边界的象素数
     膨胀:增加物体边界的象素数
     复合方法
        开:腐蚀,然后膨胀
        闭:膨胀,然后腐蚀 

下面是一个图像效果例子:

膨胀与腐蚀(Dilation, Erosion)
  • 数学形态学里面最重要的操作
  • 腐蚀将图像的尺寸减少
  • 膨胀增加图像的尺寸
  • 可以用来消除图像上小的亮斑噪声和不规则的边

腐蚀

 定义:物体的颜色是白,背景是黑
 定义腐蚀模板为
     1     1     1
    1     1     1
    1     1     1
 将模板与图像进行加操作
 如果有,则结果为1,否则为0
 模板的效果相当于去掉物体边界处的单个象素
 4种情况:
   当前处理象素为1,邻域象素为1-》1
   当前处理象素为0,邻域象素为1-》0
   当前处理象素为0,邻域象素为1、0的混合-》0
   当前处理象素为1,邻域象素为1 、0的混合-》1

原始图像到腐蚀后的图像变化效果如下图所示:

膨胀

 膨胀是腐蚀的逆操作
 模板文件是
    0     0     0
   0     0     0
   0     0     0
 其效果相当于在物体的边界添加单个象素
4种情况:
   当前处理象素为0,邻域象素为0-》0
   当前处理象素为1,邻域象素为1-》1
   当前处理象素为1,邻域象素为1、0的混合-》1
   当前处理象素为0,邻域象素为1 、0的混合-》1
逻辑操作算子是Or   

原始图像到膨胀后的图像变化效果如下图所示:

开操作与闭操作

开操作

 开操作相当于先做腐蚀操作,再做膨胀操作
 效果相当于去掉单个象素,但是保留原来的形状何尺寸。

原始图像到开操作后的图像变化效果如下图所示:

闭操作

 闭操作是开操作的逆操作
 先膨胀,然后腐蚀
 它可以用来填补一些小洞  

原始图像到闭操作后的图像变化效果如下图所示:

轮廓抽取

 先做腐蚀操作, 再将腐蚀结果图像减去原始图像

效果如下图所示:

数学形态学

形态学与曲线演化

法线速度的一般表示:

例子:

王锋 2010/04/19 10:18

数学基础—隐函数,距离函数

隐函数

隐函数(implicit function):自变量和因变量之间的法则是由一个方程式所确定

           F(x,y)=0
          y=y(x)            

例子: x2+y2-1=0

距离场函数

距离函数定义:

距离函数的性质:
带符号的距离场隐函数:



例子:

康菁菁 2010/04/23 10:58

动态可变形模型

Snake是什么?

  • 动态轮廓模型; 参数模型
  • 由Kass,Witkin和Terzopoulos在1987年提出
  • 能量最小化模式
  • 决定于它的形状和图像内部的位置

传统的Snake模型

Snake模型 (1987) [Kass-Witkin-Terzopoulos]

  • 平面的参数化曲线 C:R→R×R
  • 沿着这条曲线的成本函数

  • 内部项(internal term)表示
  • 图像项(image term)引导轮廓线向目标图像属性变化(强梯度)
  • 外部项(external term)可以用来说明用户定义的约束,或者是对所重建的结构的一些先验知识
  • 这个成本函数的最小化是对以上这几项的平衡考虑

动态轮廓模型的组成部分

内部项(internal term):

  • 一阶导数使得snake像膜一样运动
  • 二阶导数使得snake像薄片一样运动

图像项(image term):

  • 可以引导snake变化成
    • 等值线,边界线,或终止。

其他的约束…:气球模型,区域snake…

内力

  • 弹力(alpha力)——向内拉

  • 弯曲力(beta力)——对曲线进行平滑而不是收缩

外力

  • 图像梯度力
  • 是不同snake模型之间的主要区别
  • 传统snake模型的Fext
  • 怎样选择Eext——在边界上呈现更小的值

优化动态轮廓

运用Euler-Lagrange方程

用来更新从原始曲线向目标图像变化过程中的位置

  • 初始化曲线,用一定数量的控制点和一个基本函数集
  • 解上面的方程,然后更新控制点的位置
  • 重新设置更新后的曲线的参数,然后继续以上的步骤直到收敛

参数动态轮廓:

  • 用一系列的点表示
  • 每个点迭代变化位置


几何动态轮廓:

  • 用一系列系数表示
  • 在每一轮迭代之前采样
  • 每个样本都发生变化
  • 计算新的参数(插值)

动态可变形模型

经典的可变形模型-snakes

  • 假设:物体在图像中的边界是分段连续或光滑的,并且用参数表示为
  • 轮廓的能量约束表示为
    • 其中S表示对边界线的内部约束,P表示对边界线的外部约束
    • S可以定义为
      分别表示对曲线的张量和硬度的限制
    • P可以定义为
      表示曲线被吸引到梯度大(可能是边界)的区域
  • 上式的Euler-Lagrange方程为

动态snake

  • 经典的snake是一个静态问题,如果将问题的求解看作是曲线的演化,曲线变为则上面问题可以化为

    该式的稳定解就是原静态问题的解,其中前两项可以看作曲线的惯性力和粘滞力。

动态可变形模型的求解

  • 一般的方法式将几何模型v表示为局部或全局基函数的线性组合(利用有限元法,有限差分法,或者样条函数法等),然后将问题转化为求解线性参数。
  • 一般的形式为

    其中K叫做刚性矩阵。最后的方程可以化为一个二次常微分形式

传统snake模型存在的问题

  • 捕捉范围
  • 收敛性不好

外力——气球(balloons)

  • L.D.Cohen and I.Cohen,1993
  • 将曲线向外推
  • 问题:收敛性不好

外力——GVF

  • C Xu and J.L.Prince,1998
  • GVF(gradient vector flow 梯度向量流):
  • 边界图:
  • 能量最小化:

结果

更多有关snake模型...

  • snake模型不改变拓扑信息
  • 其他模型:
    • 带有拓扑控制的snake模型—Stephan Bischoff, Leif Kobbelt
  • 更高维的模型:
    • GVF—C.Xu,98
    • L.Cohen,95

康菁菁 2010/04/23 11:10

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