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keynote:2011-lesson07

第七课

泛函变分问题

1. 变分概念

关键词:变分定义 宗量 容许曲线类

  • 定义1:设J[y(x)]是定义在函数集合Y = {y(x)}上的泛函,称y(x)为J[y(x)]的宗量,Y为J[y(x)]的定义域(或容许曲线类(簇))
  • 定义2:泛函J[y(x)]的宗量y(x)与另一宗量y0(x)之差,称为宗量y(x)的变分,记为
    δy = δy(x) = y(x) − y0(x)
  • 定义3:若max|y(x)-y0(x)|很小,则称y(x)与y0(x)具有零阶接近,称函数集合
    {y(x)||y(x)−y0(x)| <δ }
    为y0(x)的零阶δ-邻域
  • 定义4:如果对∀ε> 0,使对y0(x)的k阶δ-邻域中的任何y(x),都有
    |J[y(x)] − J[y0(x)]| < ε,
    则称J[y(x)]是在y0(x)处具有k阶接近度的连续泛函
  • 定义5:设F(x,y,y')是关于三个变元x,y,y'的二阶连续可微函数,x任意固定,η(x)是任意可微函数,ε是无穷小参数,则F(x,y,y')的增量为
    ΔF = F(x, y+εη,y'+εη') - F(x,y,y')
    按Taylor公式,有
    ΔF = ∂F/∂y εη+∂F/∂y' εη'+R1
    其中,R1是较ε→0时高阶的无穷小。称
    δF = ∂F/∂y εη+∂F/∂y' εη'
    为函数F(x,y,y')的变分

变分几号与微分记号是允许交换的,且
δF = ∂F/∂y δy+∂F/∂y' δy'
变分具有和函数求导类似的性质:
δ(F1 + F2) = δF1 + δF2
δ(F1 * F2) = F2δF1 + F1δF2

  • 定义6:如果泛函J[y(x)]的增量ΔJ = J[y +δy] - J[y]可表示为
    ΔJ = J[y, δy] + β (y, δy)max |δy| ,
    其中,J[y, δy]对δy而言是线性的,且当δy→0时ž,β (y, δy)→0,则称J[y, δy]为泛函J[y]的变分,记为δJ,即δJ = J[y,δy].
  • 定义7:(较弱的变分定义)如果Φ'(0)=∂J[y+αδy]/∂α|α=0存在,则称Φ'(0)为泛函J[y]的变分,仍将其记为δJ,即
    δJ =Φ'(0)=∂J[y +αδ y]∂α|α =0.

定义6和定义7下变分之间的关系
定理1:对于泛函J[y],若按定义6的变分存在,则在定义7意义下的J[y]的变分也存在并且两者相等
定义7的意义:弱变分定义的的意义在于把泛函极值问题转化成函数极值问题,即化未知问题为已知问题,这是很重要的思维方法

  • 定义8:设y0(x)是泛函J[y]的容许曲线簇Y种的某一函数,若对∀y∈Y,都有
    J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),
    则称泛函在y0(x)处达到极大(小)值,(或绝对极大(小)值),并称y0(x)为J[y]在极大(小)值曲线
    若对于y0(x)的零阶σ-邻域内的所有函数y(x),都有
    J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),
    则称泛函在y0(x)处达到强极大(小)值
    若对于y0(x)的一阶σ-邻域内的所有函数y(x),都有
    J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),
    则称泛函在y0(x)处达到弱极大(小)值
  • 推论1:强极值必是弱极值,但反之不真
  • 推论2:绝对极值必是强极值
  • 推论3:泛函J[y]达到绝对极值的必要条件也是达到弱极值的必要条件,更是达到强极值的必要条件

三个推论表明弱极值包含强极值包含绝对极值,如果把三种极值表示成同心圆,则绝对极值最小,弱极值最大

  • 定理2:若具有变分的泛函J[y(x)]在y = y0(x)达到极值,则δJ|y = y0(x) = δJ[y0(x)] =0

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2 固定边界的变分问题

2.1、泛函极值的必要条件

wxj1.jpg达到极值的必要条件。
其中:函数F∈C2, y(x0)∈C2[x0,x1],且满足边界条件:y(x0)=y0, y(x1)=y1。

一般结论: 使上述泛函J[y]达到极值的必要条件是

  • Φ'(0) = ξJ(y, ξy) = 0.

由基本引理1可知,y(x)必须满足欧拉方程

  • Fy - d / dx(Fy') = 0.

说明:注意到满足欧拉方程仅是泛函取得极值的必要条件,欧拉方程的解曲线仅是可能的极值曲线。但在实际问题中,往往可以事先确定泛函的极值是否存在,在确定极值存在的情况下欧拉方程的解曲线就是极值曲线。

在实际应用中,欧拉方程可以改写成如下几种不同的形式便于计算:

  • Fy'y'y'' + Fy'y'y' + Fxy' ? Fy = 0
  • d / dx(F - y'Fy') - Fx = 0


2.2含有多个未知数的变分问题

wxj2.jpg达到极值的必要条件。
其中:F关于所含变量具有二阶连续偏导数,曲线y(x),z(x)∈C2[x0,x1],且满足边界条件:y(x0)=y0, y(x1)=y1,z(x0)=z0, z(x1)=z1。

一般结论: 使上述泛函J[y, z]达到极值的必要条件是y(x),z(x)满足欧拉方程组:

  •  Fy - d / dx(Fy') = 0.
  •  Fz - d / dx(Fz') = 0.

含有n(n>2)个未知函数的泛函极值的必要条件

  • Fyi - d / dx(Fyi') = 0, i= 1,2,…,n.

3.1 最简单的可动边界问题

* 问题的提出 上一章,我们讨论了固定边界的变分问题,即:在未知函数y(x)的边界点A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)固定的情况下,求泛函:
J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx (18)
的极值曲线。这一节讨论的问题,是假定两个边界中的一个或两个可以变动,这时,容许曲线族的范围扩大了。 可动边界情况下的容许曲线族,比固定边界情况下的容许曲线族大,前者包含后者。因此,如果函数y(x)使可动边界的泛函达到极值,它也能使固定边界的泛函达到极值。所以,这个函数也应该满足使固定边界问题达到极值的必要条件,Euler方程:
F_y-\frac{d}{d_x}F_y'=0
Euler方程是一个二阶常微分方程,它的通解y=y(x,c_1,c_2)包含了两个任意常数,确定它们需要两个条件。在固定边界的变分问题中,这两个条件是y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1;在边界可变的情况下,就是斜截条件。

  • 斜截条件

假设泛函(18)中的未知函数y(x)有一个固定的左端点A(x_0,y_0),即,y(x_0)=y_0,右端点B(x_1,y_1)在某曲线ω(x,y)=0上移动。这时右端点x_1是变动的。斜截条件就是考察x_1应该满足什么特征。
该公式称为斜截条件,或贯截条件。它表明,如果y=y(x),(x_0≤x≤x_1)为变动右端点的泛函极值曲线,则右端点必满足(27)

4.1 附有约束条件ψ = 0的变分问题

* 问题的提出 这一节我们主要研究泛函 \\满足边界条件

和约束条件
ψ(x,y,z)=0
的极值问题,导出泛函j的极值曲线应满足的条件。

  • 几何意义

这类问题的几何意义是:在曲面ψ(x, y, z)=0上求一条曲线

使得泛函在其上取得极值。类似于有条件函数极值的Lagrange方法,有条件泛函极值问题也可以化为无条件极值来处理。

  • Lagrange定理

设y(x), z(x)是泛函在边界条件和约束条件下的极值,如果在曲线
y = y(x) z = z(x) 上,泛函至少有一个不为零,则必存在函数使y(x), z(x)满足泛函

的Euler方程组:

其中,

  • 例2

试求出圆柱面x^2 + y^2 = R^2上,连接点P1(x1, y1, z1)与点P2(x2, y2, z2)的最短曲线。
解:设圆柱面的参数方程为

 {{:keynote:4.jpeg|}}\\
 因为点P1, p2在圆柱面上,故所求曲线P1P2的x, y坐标与圆柱面的相同,\\
 只要求出z坐标z = z(t)即可。\\
 设P1, p2点对应的参数为t1<t2, 则P1P2的弧长为\\
 {{:keynote:5.jpeg|}}\\
 于是,问题化为:求过P1P2且位于圆柱面上的曲线,使泛函l取极小值。\\
 {{:keynote:6.jpeg|}}\\

5 固定边界的变分问题的泛函极值条件与 Euler方程的特殊情况

由于已经知道:

然后我们讨论下几种特殊的Euler方程:
1. F=F(x,y)中不含y‘,则有F对y的偏导,所以F(x,y)是一个普通的函数方程,他可以表示一条或者几条曲线,但未必适合边界条件,因此在一般情况下无解,只有曲线满足边界条件时才有解。
2.如果有:
则此时有Euler方程为:。与上述一样,这是一个普通的函数方程,但是如果 ,则有Pdx+Qdy是某一个函数 u(x,y)的全微分,则有:

则此时变分已经失去意义。
3.F=F(y'),也就是F只依赖于y',则此时有Euler方程为:
如果y’‘=0,则y=ax+b是含有两个参数的直线簇。
如果y’‘!=0,则,解方程得,y'=k(常数),也就是y=kx+c,这是含有一个参数的直线簇,它被包含在前面的直线簇中。
4.F=F(x,y')不含y,则此时Euler方程为,它的积分为,这个是不含y的一阶常微分方程,解此方程则可以得到极值曲线。
5.F=F(x,y')不含x,则此时由Euler方程(10)可得:

Euler方程具有初积分y'Fy'-F=c,解此方程可得极值曲线。

6本片文档笔记说明

本节编撰作者(请大家在这里报到):

  • 夏菁 (ID: 11121030), 编写了变分概念
  • 王静 (ID: 11021045), 编写了可动边界问题-问题的提出
  • 郭雪昆 (ID: 11021042), 编写了附有约束条件ψ = 0的变分问题
  • 王欣捷 (ID: 11021043), 编写了固定边界的变分问题(2.1和2.2)
  • 周正茂 (ID: 11021046), 编写了 固定边界的变分问题的泛函极值条件与 Euler方程的特殊情况
  • AuthorName6 (ID: xxxxxxxxx), 编写了…

浙江大学2008-2010版权所有,如需转载或引用,请与 作者联系

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