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keynote:2011-lesson05

第五课 泛函分析概要

参考文献

苏家铎,潘杰,方毅,狄成恩.泛函分析与变分法.中国科学技术大学出版社.1993
钱伟长.格林函数和变分法在电磁场和电磁波计算中的应用.上海大学出版社.2000

基本概念

  • 函数空间
  • 度量空间
  • 收敛
  • 测度
  • 稠子集
  • 可分离空间
  • 完备度量空间
  • 紧致度量空间

变分问题实例

最速降线问题(捷线问题)

设O, A是高度不同,且不在同一铅垂线上的两定点,如果不计摩擦和空气阻力,一质点m在重力作用下从O点沿一曲线降落至A 点,问曲线呈何种形状时,质点降落的时间最短。

函数空间

函数空间是由函数构成的空间,在该空间中,每个函数可以被看作一个点。 空间满足两个条件:

  1. 定义在一个数域上;
  2. 空间的元素在这个数域上取值.

度量空间

  • 度量空间是定义了距离的空间,包含一个空间X和一个距离ρ的对(X,ρ)
  • 距离ρ为对于所有x,y∈X定义的单值实函数,满足三个特性:
  1. 非负性:ρ(x,y)≥0ρ(x,y)=0当且仅当x=y;
  2. 对称性:ρ(x,y)=ρ(y,x);
  3. 三角不等式:ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z).

收敛

度量空间S中的开/闭球是满足如下条件的点x∈S的集合,
ρ(x0,x)<r, 开球
ρ(x0,x)≤r, 闭球
半径为ε,且中心是x0的一个ε领域,记为Oε(x0).

如果
ε>0, ∃Nε,使得
n>Nε, xn∈Oε(x0)
{xn}收敛于x.

{xn}收敛于x当且仅当limn→∞ρ(x,xn)=0.

测度

一个集合E的测度μ(E)是如下概念的自然扩展:

  1. 一个线段Δ的长度l(Δ): abf(x)dx, f(x) = 1;
  2. 一个空间G的容量V(G): ∫∫Ωf(x)dΩ, f(x) = 1;
  3. 空间一个区域的非负函数的积分: ∫∫Ωf(x)dΩ, f(x) ≥ 0.

集函数:设X是非空集合,SX上的集类,定义在S上的函数称为集函数.

环:定义了加法和乘法的空间.

测度的严格定义为: 设RX上的环,μ是定义在R上的非负的广义实值(可以取+∞)集函数,且满足如下条件:

  1. μ(Ø) = 0
  2. (可列可加性)对任何一列互不相交的An∈R,(n = 1, 2, …),且i = 1Ai∈R,有μ(∪i = 1Ai) = ∑i = 1μ(Ai),

则称μR的测度.

可测函数

外测度:一切包含集合E的开集的测度的下确界,记为:

m*E = infG⊃E{mG}.

内测度:一切包含于集合E的闭集的测度的上确界,记为:

m*E = supF⊂E{mF}.

可测集:E为有界集,当E的外侧度等于E的内测度时,称E为(勒贝格)可测的.

可测函数:设f为可测集E上的实值函数,如果对每个实数a,集合E(f > a)恒可测(勒贝格可测),则称fE上的(勒贝格)可测函数.

Lebesgue积分

f是一个Lebesgue可测函数(它具有有限测度),它可取不超过可数个不同值

y1, y2, …, yn, …

则在集合A上的f的Lebesgue积分

Af(x)dμ

定义为:

nynμ(An),

其中,

An = {x : x∈A, f(x) = yn},

测度μ为Lebesgue测度.

函数f的Lebesgue积分存在仅当上述级数绝对收敛.

Riemann积分与Lebesgue积分的比较

与Lebesgue积分相比,更为传统的是Riemann积分. 它是将无穷小的竖直矩形面积的无限和的极限:

Af(x)dx = ∑nf(xn)Δxn.

在Riemann积分的意义下,只有连续和分段连续的函数才是可积的. 下列函数的Riemann积分不存在:

f(t) = 1, if t is rational; f(t) = 0, otherwise.

但上述函数的Lebesgue积分存在. Lebesgue可积函数的范围比Riemann可积函数的范围广.

一些连续函数如f(x) = x2的值域是实数集的一个子集,且不是有理数集的子集。这些函数的值域中有无限不可数个不同的函数值,这不符合Lebesgue积分的限制(f可取不超过可数个不同的值)。这样的函数还是Lebesgue可积的吗?如果不是,是否就不应该有Lebesgue可积函数的范围比Riemann可积函数的范围更广的结论?

稠密

*定义:设R是度量空间,A,E⊂R,若E中任何一点的邻域都含有A中的点,称A在E中稠密(A的闭包包含E); *例子:

  1. 径向基函数全体在C[a,b]中稠密(可逼近任何C[a,b]中的函数);
  2. 全体多项式构成的线性空间P在C[a,b]中稠密;
  3. 设E是可测集,Lp(E,μ)中的有界可测函数全体是Lp(E,μ)(1≤p<∞)中稠密;

可分

*定义:设R是度量空间,A⊂R,如果存在至多可数集在A中稠密,称A是可数集。 *例子:

  1. N维欧氏空间En是可分的(有理数全体是可数集且在);
  2. 空间lp是可分的;
  3. C[a,b]和Lp[a,b]是可分的;
  4. 有界数列全体组成的空间l是不可分的;

完备性

  • Cauchy序列:设(R,ρ)是度量空间,{xn}是R中的序列,若对于正数ε,存在N(ε),使得当n,m≥N(ε)时,有:ρ(xn,xm) < ε, 称{xn}是R中的基本序列。
  • 完备性定义:如果度量空间R中的任何基本序列都收敛,称R是完备空间。
  • 例子:
  1. C[a,b]是一个完备空间;
  2. 空间Lp(E,μ)(p≥1)是完备的;
  3. 空间lp(p≥1)是完备的;
  4. C[a,b],||*||1)是不完备空间,其中||f||1=[a,b]|f(t)|dt

度量空间的完备化

  • 定义:设R是度量空间,如果有完备的度量空间R1,使R保距同构于R1的稠密子空间,则称R1是R的完备化空间。(任一度量空间必存在完备化空间)
  • 紧空间
  1. 一个度量空间是紧致的,当且仅当它是完全有界的,并且是完备的。
  2. 设R使一个度量空间,ε是一个任意整数。那么,如果对于每一个x∈M,至少存在一个点a∈A,使得ρ(x,a)<ε成立,那么,A⊂R被称为对于集合M⊂R的一个ε网
  3. 给定一个度量空间R和一个子集M⊂R,假定对于每一个ε>0,具有一个有限ε网,那么,M被称为完全有界的,

注:一个紧空间对于所有ε>0,都具有一个有限ε网

  • 例子:
  1. 在n维Euclidean空间Rn中,完全有界等价于有界。如果M⊂Rn有界,那么,M被包含在某个超立方体Q中。我们能够将这个超立方体划分为一些边长为ε的更小的超立方体。小立方体的顶点来自Q的一个有限sqrt(n)*ε/2

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