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例1. R^n是一个n维实数空间,即n元组x=(x_1,…,x_n),y=(y_1,…,y_n)的集合。如果我们定义点积为
例2. 元素为x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots ),y=(y_1,y_2,\ldots,y_n,\cdots ),\cdots,其中
l_2中最简单的标准正交基包括向量
一个Hibert空间是一个完备的,可分的,并且通常是无限维的Euclidean空间。
一个Hilbert空间是元素f,g,\ldots的集合H,并且对于该集合有
1. H是一个定义标量积的Euclidean空间
2. H对于度量\rho(f,g)=||f-g||是完备的
3. H是可分的(包含一个可数的处处稠密的子集)
4. (通常)H是无限维的
l_1和l_2都是Hilbert空间的例子。
我们现在考虑返回f \in C在位置t的值的泛函(一个评价泛函)
\delta函数可以被看作是一个普通函数序列的极限。例如,如果
变分概念:变分学研究的主要内容是泛函的极值,凡是求泛函极值的问题都称作变分问题。
例1 捷线问题(最速降线问题)
问题:在同一铅直平面内所有连接不在同一铅直线上的O、B两点的曲线中,求一条曲线\Gamma,使初速度为零的质点仅在重力作用下,自较高点O沿\Gamma滑到点B所需时间最短,如图:
求解思路:利用数学建模写出相应的数学公式;将泛函极值的问题化为相应的欧拉问题;用微分法求解欧拉方程则得到相应的泛函极值。
解:设曲线\Gamma的方程为y=y(x),质点质量m,下滑到曲线上点M时获得速度为v,则
由能量守恒、速度的定义与弧长公式分别有:
例2 短程线问题
问题:设A(x_0,y_0,z_0)和B(x_1,y_1,z_1)为曲面\Sigma:\phi(x,y,z)=0上的两点,求\Sigma上过A,B的长度最小的曲线\Gamma(也叫测地线)
解:设曲线\Gamma的方程为:
例3 等周问题
问题描述:求长为定值l的平面封闭曲线\Gamma,使其所围成的平面区域D的面积最大.
解:设曲线\Gamma的方程为:
例4 最小旋转曲面问题
问题描述:在XOY平面内求一条边界固定的曲线,使其绕横轴旋转所产生的空间曲面面积最小.
解:设过点A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)的曲线\Gamma的方程为:
定义1 设J[y(x)]是定义在函数集合Y={y(x)}上的泛函,称y(x)为J[y(x)]的宗量,Y为J[y(x)]得定义域(或许容许曲线类(簇)).
例1设y(x)∈C[0,1],且
定义3 若max|y(x)-y_0(x)|很小,则y(x)与y_0(x)具有零阶接近,称函数集合{y(x)||y(x)-y_0(x)|<δ}为y_0(x)的零阶δ-邻域.
设k为正整数,若
max{|y(x)-y_0(x)|,|y'(x)-y_0(x)|,…|yk(x)-yk_0(x)|}很小,则称y(x)与y_0(x)有k阶接近,称函数集合
max{y(x)||y(x)-y_0(x)|,|y'(x)-y_0'(x)|,…,|yk(x)-yk_0(x)|}为y_0(x)的k阶δ-邻域.
定义4 如果对∨ε>0,使对y_0(x)的k阶δ-邻域中的任何y(x),都有|J[y(x)]-J[y_0(x)]|<ε,则称J[y(x)]是在y_0(x)处具有k阶接近度的连续泛函.
定义5设F(x,y,y')是三个变元x,y,y'的二阶连续可微函数,x任意固定,η(x)是任意可微函数,ε是无穷小参数,则F(x,y,y')的增量为:
△F=F(x,y+εη,y'+εy').
定义6 如果泛函J[y(x)]的增量ΔJ=J[y+δy]-J[y]可表示为:
定义8 如设y_0(x)是泛函J[y]的容许曲线簇Y中的某一函数,若对∀y∈Y,都有
泛函分析概况
泛函分析(Functional Analysis)是现代数学的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数。巴拿赫(Stefan Banach)是泛函分析理论的主要奠基人之一,而数学家兼物理学家伏尔泰拉(Vito Volterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题,积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论,几何学,代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数,算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程,概率论,计算数学等分科中都有应用,也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
赋范线性空间
从现代观点来看,泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间,巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究 Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。 泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。
希尔伯特空间
希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类,即对于任意两个希尔伯特空间,若其基的基数相等,则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言,其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言,其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为50)上的态射,所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是,是否对于每个希尔伯特空间上的算子,都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。
巴拿赫空间
一般的巴拿赫空间比较复杂,例如没有通用的办法构造其上的一组基。 对于每个实数p,如果p ≥ 1,一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中,相当部分的研究涉及到对偶空间的概念,即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构,但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广,微分算子作用于其上的所有函数,一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
主要结果和定理
泛函分析的主要定理包括: 1. 一致有界定理(亦称共鸣定理),该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果,其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达,该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理(Hahn-Banach Theorem)研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。
泛函分析与选择公理
泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基,必须要使用佐恩引理(Zorn's Leema)。此外,泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上,而该定理本身就是选择公理(Axiom of Choice)弱于布伦素理想定理(Boolean prime ideal theorem)的一个形式。 [编辑本段]
泛函分析的研究现状
泛函分析目前包括以下分支: 1. 软分析(soft analysis),其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。 2. 巴拿赫空间的几何结构,以Jean Bourgain的一系列工作为代表。 3. 非交换几何,此方向的主要贡献者包括Alain Connes,其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。 4. 与量子力学相关的理论,狭义上被称为数学物理,从更广义的角度来看,如按照 Israel Gelfand所述,其包含表示论的大部分类型的问题。