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目标:简要地复习在整个课程中将要用到的泛函分析的概念。主要介绍了下面的一些概念
- 函数空间
- 度量空间
- 收敛
- 测度
- 稠子集
- 可分离空间
- 完备度量空间
- 紧致度量空间
- 线性空间
- 线性泛函
- 线性空间的范数和半范数
- 收敛性回顾
- Euclidean空间
- 正交性和基
- Hibert空间
- Delta函数
- 傅立叶变换
- 泛函导数
- 期望
- 大数定律
(定义和概念主要源于Kolmogorov和Fomin的“Introductory Real Analysis”——强烈推荐)
例1. R^n是一个n维实数空间,即n元组x=(x_1,…,x_n),y=(y_1,…,y_n)的集合。如果我们定义点积为
例2. 元素为x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots ),y=(y_1,y_2,\ldots,y_n,\cdots ),\cdots,其中
l_2中最简单的标准正交基包括向量
一个Hibert空间是一个完备的,可分的,并且通常是无限维的Euclidean空间。
一个Hilbert空间是元素f,g,\ldots的集合H,并且对于该集合有
1. H是一个定义标量积的Euclidean空间
2. H对于度量\rho(f,g)=||f-g||是完备的
3. H是可分的(包含一个可数的处处稠密的子集)
4. (通常)H是无限维的
l_1和l_2都是Hilbert空间的例子。
我们现在考虑返回f \in C在位置t的值的泛函(一个评价泛函)
\delta函数可以被看作是一个普通函数序列的极限。例如,如果
变分概念:变分学研究的主要内容是泛函的极值,凡是求泛函极值的问题都称作变分问题。
例1 捷线问题(最速降线问题)
问题:在同一铅直平面内所有连接不在同一铅直线上的O、B两点的曲线中,求一条曲线\Gamma,使初速度为零的质点仅在重力作用下,自较高点O沿\Gamma滑到点B所需时间最短,如图:
求解思路:利用数学建模写出相应的数学公式;将泛函极值的问题化为相应的欧拉问题;用微分法求解欧拉方程则得到相应的泛函极值。
解:设曲线\Gamma的方程为y=y(x),质点质量m,下滑到曲线上点M时获得速度为v,则
由能量守恒、速度的定义与弧长公式分别有:
例2 短程线问题
问题:设A(x_0,y_0,z_0)和B(x_1,y_1,z_1)为曲面\Sigma:\phi(x,y,z)=0上的两点,求\Sigma上过A,B的长度最小的曲线\Gamma(也叫测地线)
解:设曲线\Gamma的方程为:
例3 等周问题
问题描述:求长为定值l的平面封闭曲线\Gamma,使其所围成的平面区域D的面积最大.
解:设曲线\Gamma的方程为:
例4 最小旋转曲面问题
问题描述:在XOY平面内求一条边界固定的曲线,使其绕横轴旋转所产生的空间曲面面积最小.
解:设过点A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)的曲线\Gamma的方程为:
下,使得泛函U最小.
定义1 设J[y(x)]是定义在函数集合Y={y(x)}上的泛函,称y(x)为J[y(x)]的宗量,Y为J[y(x)]得定义域(或许容许曲线类(簇)). 例1设y(x)∈C[0,1],且
定义6 如果泛函J[y(x)]的增量ΔJ=J[y+δy]-J[y]可表示为:
定义8 如设y_0(x)是泛函J[y]的容许曲线簇Y中的某一函数,若对∀y∈Y,都有