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泊松的老师-拉普拉斯。都是大牛呀。 泊松也是大牛,以泊松命名的词汇,如
历史上有很多有名的极值问题,其求解方法可以统称为变分法,如:
找出具有曲线y(x)使得 同时必须满足端点的约束条件(constraint condition)
y=(b/a)x
— 邱炜伟 2010/04/11 21:32
— 邱炜伟 2010/04/12 20:51
— 邱炜伟 2010/04/12 20:50
泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。方程形式如下:
\Delta f = -\rho
这里的 \Delta 代表的是拉普拉斯算子,
\Delta\equiv\displaystyle {\partial ^2 \over\partial ^2x}+{\partial ^2 \over\partial ^2y} |
而 f 和 \rho 可以是在流形上的实数或复数值的方程。其中\rho可以表示为\rho =\rho (x,y)的形式。
f^*=arg\min_f\int\!\!\!\int_\Omega\|\nabla f-v\|^2 满足 f^*|_{\partial\Omega}=f|_{\partial\Omega}
令F=\|\nabla f-v\|^2,那么,根据欧拉方程:F_f-\displaystyle {\partial\over\partial x}F_{f_x}-{\partial\over\partial y}F_{f_y}=0 可以得到如下的形式:
\Delta f=div(v) 满足 f^*|_{\partial\Omega}=f|_{\partial\Omega}
其中v是一个向量场,但并不一定是梯度场。
div(v)=\displaystyle {\partial P\over\partial x}+{\partial Q\over\partial y} + {\partial R\over\partial z}
给出。
注:图中\Omega表示某一给定的区域,\partial\Omega表示区域的边界,ds的方向表示在边界\partial\Omega处的(向外的)法向。
如果指定了在\partial\Omega上的Dirichlet边界条件或Neumann边界条件,那么泊松方程在区域\Omega中的解是唯一可确定的
前面也讲到,泊松方程在静电学和理论物理中是比较常见的,下面说的两个物理原型也是分别来自这两个领域的。
一个电荷的静电场如下图所示:
其中,\rho (x)表示电荷密度,\Phi表示电势,E表示电场。电荷之间作用力的公式\displaystyle F={{q_1 q_2 r}\over{4\pi\varepsilon _0r^3}},其中的\varepsilon _0为真空电容率。
我们知道,高斯定律的积分形式可以表示为:
一个重力场的示意图如下:
与静电场中类似的,在重力场中,\rho (x)表示质量密度,\Phi表示重力势,g表示力场(重力加速度)。物体受到的重力的公式表示为\displaystyle F={{mMGr}\over{r^3}},由高斯定理、g=-\nabla\Phi以及F=mg可得到如下的泊松方程:
我们知道了泊松方程的两个物理原型,如果将其推广到图像领域中,我们可以把图像看作一个场I,用\rho (x)表示图像密度,用g表示图像梯度,则有泊松方程g=-\nabla I,以及三者之间的关系如下:
形象化一点表示,就是下面所示的样子:
由于三者之间可以相互转换,所以如果我们知道了图像区域的密度函数以及边界处的颜色值,就可以计算出整幅图像的内容。
泊松图像编辑是泊松方程的一个重要应用,首先提出该应用的是P.P\'erez, M. Gangnet, and A. Blake (Poisson image editing. SIGGRAPH 2003),该文章对现在的图像编辑技术有着非常重要的影响,随后的几年又出现了很多类似的图像编辑方法,如 [Jiaya Jia et al. Drag and-drop pasting]于2006年提出了最优的融合边界用于改进泊松图像编辑的效果,[Zeev Farbman et al. coordinates for instant image cloning]在SIGGRAPH 2009中提出了使用Mean-Value coordinates用于计算基于梯度域的图像编辑,该方法实现简单且运行速度快,从而避免了求解复杂的泊松方程。
— 张赟 2010/04/15 22:44