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keynote:lesson12

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keynote:lesson12 [2010/06/22 09:34]
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keynote:lesson12 [2014/05/22 08:34] (current)
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 +====== 第十二课 ​ 变分法简介 ======
 +===== 3 可动边界的变分问题 =====
 +==== 3.1 最简单的可动边界问题 ====
 +  * 问题的提出
 +上一章,我们讨论了固定边界的变分问题,即:在未知函数$y(x)$的边界点$A(x_0,​y_0)$,​$B(x_1,​y_1)$固定的情况下,求泛函:
 +\\    $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,​y,​y'​)dx$ ​  ​(18)\\
 +的极值曲线。这一节讨论的问题,是假定两个边界中的一个或两个可以变动,这时,容许曲线族的范围扩大了。
 +可动边界情况下的容许曲线族,比固定边界情况下的容许曲线族大,前者包含后者。因此,如果函数$y(x)$使可动边界的泛函达到极值,它也能使固定边界的泛函达到极值。所以,这个函数也应该满足使固定边界问题达到极值的必要条件,Euler方程:
 +\\    $F_y-\frac{d}{d_x}F_y'​=0$\\
 +Euler方程是一个二阶常微分方程,它的通解$y=y(x,​c_1,​c_2)$包含了两个任意常数,确定它们需要两个条件。在固定边界的变分问题中,这两个条件是$y(x_0)=y_0$,​$y(x_1)=y_1$;​在边界可变的情况下,就是斜截条件。
 +  * 斜截条件
 +假设泛函(18)中的未知函数$y(x)$有一个固定的左端点$A(x_0,​y_0)$,即,$y(x_0)=y_0$,​右端点$B(x_1,​y_1)$在某曲线$ω(x,​y)=0$上移动。这时右端点$x_1$是变动的。斜截条件就是考察$x_1$应该满足什么特征。
 +\\             ​{{:​keynote:​20100614_2.jpg|}}
 +该公式称为斜截条件,或贯截条件。它表明,如果$y=y(x),​(x_0≤x≤x_1)$为变动右端点的泛函极值曲线,则右端点必满足(27)
  
 +==== 3.2 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,​y,​z,​y',​z'​)dx$型泛函的可动边界问题====
 +  * 问题的提出
 +这一节,讨论泛函
 +\\    $J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,​y,​z,​y',​z'​)dx$ ​ (31)\\
 +的可动边界的极值问题,为简单起见,假定$J[y,​z]$的一个边界点$A(x_0,​y_0,​z_0)$是固定的,另一个边界点$B(x_1,​y_1,​z_1)$是可以移动的。\\
 +设泛函(51)的极值曲线为{{:​keynote:​20100614_3.jpg|}}.类似于上一节的讨论可知,$y(x)$和$z(x)$必满足Euler方程组:​\\{{:​keynote:​20100614_4.jpg|}}\\
 +这个方程组的通解中含有四个任意常数,由于B点变动,又增加了一个常数,这样,在通解中一共有五个常数需要确定。另一方面,由于A点固定。得到了两个方程,为了确定五个常数,还需要三个方程。
 +  * 斜截条件
 +对于左端点$A(x_0,​y_0,​z_0)$固定,而右端点$B(x_1,​y_1,​z_1)$可变动的情形$J[y,​z]$取极值的必要条件δJ=0经化简后可写成{{:​keynote:​20100614_5.jpg|}}\\
 +上式中,$δx_1$,​$δy_1$,​$δz_1$是任意的,即点B可以按照任意方式移动。三种情况情况如下:
 +  - 若$δx_1$,​$δy_1$,​$δz_1$相互无关,由(32)可得:{{:​keynote:​20100614_6.jpg|}}\\
 +  - 若右端点B沿曲线$y=φ(x)$,​$z=ψ(x)$移动,即$δy_1=φ'​(x_1)δx_1,​δz_1=ψ'​(x_1)δx_1$得:{{:​keynote:​7.jpg|}}\\
 +  - 若右端点B在某曲面$Φ(x,​y,​z)=0$上移动,此时,$Φ_{x_{1}}δx_1+Φ_{y_{1}}δy_1+Φ_{z_{1}}δz_1=0$有:{{:​keynote:​20100614_8.jpg|}}
 +
 + --- //​[[1@1|曹斌]] ​ 10921066 2010/06/14 15:43//
 +==== 3.3 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,​y,​y',​y''​)dx$型泛函的可动边界问题 ====
 +* 问题的提出\\
 +这一节,讨论泛函$y(x_0)=0,​y(x_1)=0$ ​            ​(37)\\
 +的可动边界的极值问题.为简单起见,首先假定左边界起点$A(x_0,​y_0,​y'​_0)$是固定的,​另一个边界点$B(x_1,​y_1,​y'​_1)$是可以移动的.设泛函(37)的极值曲线为$y=y(x)$,​它满足Euler-Poisson方程:​{{ keynote:​76-4.png }}\\
 +这是一个四阶常微分方程,通解中含有四个任意常数。由于B点变动,所以$x_1$也是待定的。这样一共有五个常数需要确定。另一方面,由于A点固定,由$y(x_0)=y_0,​y(x_1)=y_0'​$可以确定出Euler-Poisson方程通解中的两个任意常数。为了确定另外三个待定常数,还需要三个方程。这些方程可以由泛函取极值的基本必要条件$δJ=0$得到.
 +* 斜截条件
 +为计算$δJ=0$,首先计算泛函的增量$ΔJ$,​然后分离出线性主部$δJ=0$。设泛函(37)在曲线$y=y(x)$上取得极值,任取一条容许曲线$y=y(x)+δy$,​当$x=x_0$时,对应于点A;​当$x=x_1+δx_1$时,对应于点$B(x_1+δx_1,​y_1+δy_1,​y'​_1+δy'​_1)$.与前两节的推导类似,有{{ keynote:​77-1.png }}及{{ keynote:​77-2.png }}应用中值定理,并由F以及$y(x)$,​$y'​(x)$,​$y''​(x)$诸函数的连续性,得到{{ keynote:​77-3.png }}\\
 +
 +=====4 条件极值的变分问题=====
 +==== 4.1 附有约束条件φ=0的变分问题 ====
 +* 问题的提出
 +这一节,我们主要研究泛函\\
 +$J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,​y,​z,​y',​z'​)dx$ ​   (40)\\
 +满足边界条件{{ keynote:​83-1.png }}(41)\\
 +$φ(x,​y,​z)=0$, ​     (42)\\
 +的极值问题,导出泛函J的极值曲线应满足的条件。\\
 +* 几何意义
 +这类问题的几何意义是:在曲面$φ(x,​y,​z)=0$上求一条曲线{{ keynote:​83-2.png }} \\
 +使得泛函(40)在Γ上取得极值。类似与有条件函数极值的Lagrange方法,有条件泛函极值问题也可以转化为无条件极值来处理。\\
 +* Lagrange定理
 +设$y(x)$,​$z(x)$是泛函(40)在边界条件(41)和约束条件(42)下的极值函数。如果曲线:{{ keynote:​84-1.png }}
 +上,$φ_y,​φ_z$至少有一个不为零,则必存在函数$λ(x)$,​使得$y(x)$,​$z(x)$满足泛函{{ keynote:​84-2.png }}
 +的Euler方程组{{ keynote:​84-3.png }}
 +其中,
 +\\   $F ^*=F+λ_φ$. ​  \\
 +*证明\\
 +不妨设在曲线Γ上,$φ_z≠0$,​按隐函数存在定理,可由(42)式确定一个函数$z=ψ(x,​y)$,​将它带入(40)式,得
 +\\    $J=\int_{x_0}^{x_1}F[x,​y,​ψ(x,​y),​y',​ψ'​_x+ψ_yy'​]dx≅\int_{x_0}^{x_1}Φ(x,​y,​y'​)dx.(45) ​  \\
 +其中,
 +\\    Φ(x,​y,​y'​)=F[x,​y,​ψ(x,​y),​y',​ψ'​_x+ψ_yy'​]dx. ​  \\
 +这样,就把泛函(40)的极值问题转化成了泛函(45)的无条件极值问题。泛函(45)的Euler方程为:
 +\\    $Φ_y-\frac{d}{d_x}Φ_y'​=0$,​ (46)   \\
 +计算$Φ_y,Φ_y’,\frac{d}{d_x}Φ_y'​$,​得:{{ keynote:​85-1.png }}
 + --- //​[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17//
 +==== 4.2 等周问题 ====
 +* 问题的提出\\
 +我们以前研究过的等周问题是狭义的等周问题,一般的等周问题是指在泛函约束(等周条件)\\
 +    $K[y] = \int_{x_0}^{x_1}G(x,​y,​y'​)dx = l$   ​(48)\\
 +及边界条件\\
 +    $y(x_0)=y_0$,​$y(x_1)=y_1$; ​  ​(49)\\
 +下的所有具有二阶连续导数的函数y(x)中求泛函\\
 +    $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,​y,​y'​)dx$ ​  ​(50)\\
 +的极值函数,其中,G,l,y等均是给定的函数或常数。\\
 +* Euler定理\\
 +上述广义的等周问题可以由下述Euler定理解决,它把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分问题。\\
 +EULER定理 若曲线Γ:y = y(x)在等周条件(48)及边界条件(49)下使泛函(50)达到极值,则存在常数λ,使y(x)满足泛函\\
 +
 +<​note>​note</​note>​
 +
 +
 +===== 5 变分问题中的直接法 =====
 +
 +=====5 变分问题中的直接法 =====
 +
 +==== 5.1 里兹法 ====
 +
 +基本思想:
 +
 +用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线\\
 +
 +问题:
 +
 +*设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,​y,​y'​)dx$\\
 +
 +*边界条件是:$y(x_0)=0,​y(x_1)=0$\\
 +称为齐次边界
 +
 +*如果给定的边界条件不是齐次的,如$y(x_0)=0,​y(x_1)=y_1$,​则可令
 +
 +$y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $    (56)\\
 +
 +有$z(x_0)=0,​z(x_1)=0$。问题(54)(55)化为齐次边界的边分问题,
 +
 +$J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,​z,​z'​)dx,​z(x_0)=0,​z(x_1)=0.$\\
 +
 +
 +**基本步骤:**\\
 +
 +设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内,Y构成线性空间,用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下:\\
 +
 +*选取Y的基函数
 +$\varphi_1(x),​\varphi_2(x),​\cdots,​\varphi_n(x),​\cdots$ ​    ​(57)\\
 +
 +对任意$ y(x) \in Y,y(x) $ 都可以表示为$\{\varphi_i(x)\}$的有限维或无限维线性组合。特别的,对极值函数f(x),​也有
 +
 +$f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$\\
 +
 +
 +
 +*对每个n,​考虑由$\varphi_1,​\varphi_2,​\cdots,​\varphi_n,​生成的线性子空间Yn,设\\
 +$y_n(x) = sum_{i=1}^n \alpha \varphi_i(x) \in Y_n$\\
 +由泛函J[y]就确定了n元函数\\
 +
 +
 +$J[a_1,​\cdots,​a_n] = J[y_n]=\int_{x_0}^{x_1}F[x,​sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x),sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x)^{'​}]dx$\\
 +
 +
 +*对每个n,选取$a_{1}^(n),​a_{2}^(n),​\cdots,​a_{n}^(n)$使J[yn]、取极值,也就是由方程组\\
 +
 +$\frac{\partial}{\partial a_i}J[y_n] = 0, i = 1,2, \cdots,​n,​$\\
 +
 +来确定$a_{1}^(n),​a_{2}^(n),​\cdots,​a_{n}^(n)$,然后用得到的函数\\
 +$f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$\\
 +作为变分问题的近似解\\
 +
 +几点说明:\\
 +*上面求得的fn是序列(57)中前n个函数所有可能的线性组合中使泛函J[yn]达到极值的函数。这样得到的序列f1,​f2,​...,​fn,​...称为J[yn]的极小化序列。\\
 +
 +*因为
 +$Y_1 \subset Y_2\subset \cdots \subset Y_n \cdots$\\
 +所以
 +$J[f_1] \geq J[f_2] \geq \cdots \geq J[f_n]\cdots $\\
 +并且
 +$\lim_{n \to \infty} J[f_n] = J[f]$
 +'
 +*但是,并不能保证fn极限存在,及时存在也不一定收敛于J[y]的极值函数f。但对于常用函数来说,fn不仅逐点收敛,而且一致收敛于f。因此,如果只限于讨论前n项和$f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$,那么,fn就是变分问题的近似解。\\
 +
 +基函数通常选取下列三个函数系之一:
 +*  $\varphi_n(x) = (x-x_0)^n(x_1-x),​n= 1,2,...$\\
 +*  $\varphi_n(x) = (x_1-x)^n(x-x_0),​n= 1,2,...$\\
 +*  $\varphi_n(x) = sin\frac{n \pi (x-x_0)}{x_1-x_0},​n= 1,2,...$\\
 +
 +
 +
 +
 +
 + --- //​[[1@1|徐斌]] 2010/06/22 17:35//
keynote/lesson12.txt · Last modified: 2014/05/22 08:34 (external edit)