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keynote:lesson12

第十二课 变分法简介

3 可动边界的变分问题

3.1 最简单的可动边界问题

  • 问题的提出

上一章,我们讨论了固定边界的变分问题,即:在未知函数y(x)的边界点A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)固定的情况下,求泛函:
J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx (18)
的极值曲线。这一节讨论的问题,是假定两个边界中的一个或两个可以变动,这时,容许曲线族的范围扩大了。 可动边界情况下的容许曲线族,比固定边界情况下的容许曲线族大,前者包含后者。因此,如果函数y(x)使可动边界的泛函达到极值,它也能使固定边界的泛函达到极值。所以,这个函数也应该满足使固定边界问题达到极值的必要条件,Euler方程:
F_y-\frac{d}{d_x}F_y'=0
Euler方程是一个二阶常微分方程,它的通解y=y(x,c_1,c_2)包含了两个任意常数,确定它们需要两个条件。在固定边界的变分问题中,这两个条件是y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1;在边界可变的情况下,就是斜截条件。

  • 斜截条件

假设泛函(18)中的未知函数y(x)有一个固定的左端点A(x_0,y_0),即,y(x_0)=y_0,右端点B(x_1,y_1)在某曲线ω(x,y)=0上移动。这时右端点x_1是变动的。斜截条件就是考察x_1应该满足什么特征。
该公式称为斜截条件,或贯截条件。它表明,如果y=y(x),(x_0≤x≤x_1)为变动右端点的泛函极值曲线,则右端点必满足(27)

3.2 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$型泛函的可动边界问题

  • 问题的提出

这一节,讨论泛函
J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx (31)
的可动边界的极值问题,为简单起见,假定J[y,z]的一个边界点A(x_0,y_0,z_0)是固定的,另一个边界点B(x_1,y_1,z_1)是可以移动的。
设泛函(51)的极值曲线为.类似于上一节的讨论可知,y(x)z(x)必满足Euler方程组:\\
这个方程组的通解中含有四个任意常数,由于B点变动,又增加了一个常数,这样,在通解中一共有五个常数需要确定。另一方面,由于A点固定。得到了两个方程,为了确定五个常数,还需要三个方程。

  • 斜截条件

对于左端点A(x_0,y_0,z_0)固定,而右端点B(x_1,y_1,z_1)可变动的情形J[y,z]取极值的必要条件δJ=0经化简后可写成
上式中,δx_1,δy_1,δz_1是任意的,即点B可以按照任意方式移动。三种情况情况如下:

  1. δx_1,δy_1,δz_1相互无关,由(32)可得:
  2. 若右端点B沿曲线y=φ(x),z=ψ(x)移动,即δy_1=φ'(x_1)δx_1,δz_1=ψ'(x_1)δx_1得:
  3. 若右端点B在某曲面Φ(x,y,z)=0上移动,此时,Φ_{x_{1}}δx_1+Φ_{y_{1}}δy_1+Φ_{z_{1}}δz_1=0有:

曹斌 10921066 2010/06/14 15:43

3.3 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y',y'')dx$型泛函的可动边界问题

* 问题的提出
这一节,讨论泛函y(x_0)=0,y(x_1)=0 (37)
的可动边界的极值问题.为简单起见,首先假定左边界起点A(x_0,y_0,y'_0)是固定的,另一个边界点B(x_1,y_1,y'_1)是可以移动的.设泛函(37)的极值曲线为y=y(x),它满足Euler-Poisson方程:
这是一个四阶常微分方程,通解中含有四个任意常数。由于B点变动,所以x_1也是待定的。这样一共有五个常数需要确定。另一方面,由于A点固定,由y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_0'可以确定出Euler-Poisson方程通解中的两个任意常数。为了确定另外三个待定常数,还需要三个方程。这些方程可以由泛函取极值的基本必要条件δJ=0得到. * 斜截条件 为计算δJ=0,首先计算泛函的增量ΔJ,然后分离出线性主部δJ=0。设泛函(37)在曲线y=y(x)上取得极值,任取一条容许曲线y=y(x)+δy,当x=x_0时,对应于点A;当x=x_1+δx_1时,对应于点B(x_1+δx_1,y_1+δy_1,y'_1+δy'_1).与前两节的推导类似,有应用中值定理,并由F以及y(x),y'(x),y''(x)诸函数的连续性,得到

4 条件极值的变分问题

4.1 附有约束条件φ=0的变分问题

* 问题的提出 这一节,我们主要研究泛函
J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx (40)
满足边界条件(41)
φ(x,y,z)=0, (42)
的极值问题,导出泛函J的极值曲线应满足的条件。
* 几何意义 这类问题的几何意义是:在曲面φ(x,y,z)=0上求一条曲线
使得泛函(40)在Γ上取得极值。类似与有条件函数极值的Lagrange方法,有条件泛函极值问题也可以转化为无条件极值来处理。
* Lagrange定理 设y(x),z(x)是泛函(40)在边界条件(41)和约束条件(42)下的极值函数。如果曲线: 上,φ_y,φ_z至少有一个不为零,则必存在函数λ(x),使得y(x),z(x)满足泛函 的Euler方程组 其中,
F ^*=F+λ_φ.
*证明
不妨设在曲线Γ上,φ_z≠0,按隐函数存在定理,可由(42)式确定一个函数z=ψ(x,y),将它带入(40)式,得
J=\int_{x_0}^{x_1}F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx≅\int_{x_0}^{x_1}Φ(x,y,y')dx.(45)
其中,
Φ(x,y,y')=F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx.
这样,就把泛函(40)的极值问题转化成了泛函(45)的无条件极值问题。泛函(45)的Euler方程为:
Φ_y-\frac{d}{d_x}Φ_y'=0, (46)
计算
Φ_y,Φ_y’,\frac{d}{d_x}Φ_y',得:卢兴见 10921067 2010/06/15 11:17 ==== 4.2 等周问题 ==== * 问题的提出
我们以前研究过的等周问题是狭义的等周问题,一般的等周问题是指在泛函约束(等周条件)
K[y] = \int_{x_0}^{x_1}G(x,y,y')dx = l (48)
及边界条件
y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1; (49)
下的所有具有二阶连续导数的函数y(x)中求泛函
J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx (50)
的极值函数,其中,G,l,y等均是给定的函数或常数。
* Euler定理
上述广义的等周问题可以由下述Euler定理解决,它把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分问题。
EULER定理 若曲线Γ:y = y(x)在等周条件(48)及边界条件(49)下使泛函(50)达到极值,则存在常数λ,使y(x)满足泛函
<note>note</note> ===== 5 变分问题中的直接法 ===== =====5 变分问题中的直接法 ===== ==== 5.1 里兹法 ==== 基本思想: 用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线
问题: *设泛函为
J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx
*边界条件是:
y(x_0)=0,y(x_1)=0
称为齐次边界 *如果给定的边界条件不是齐次的,如
y(x_0)=0,y(x_1)=y_1,则可令 y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 (56)
z(x_0)=0,z(x_1)=0。问题(54)(55)化为齐次边界的边分问题, J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.
基本步骤:
设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内,Y构成线性空间,用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下:
*选取Y的基函数
\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi_n(x),\cdots (57)
对任意
y(x) \in Y,y(x) 都可以表示为\{\varphi_i(x)\}的有限维或无限维线性组合。特别的,对极值函数f(x),也有 f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots
*对每个n,考虑由
\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,生成的线性子空间Yn,设
y_n(x) = sum_{i=1}^n \alpha \varphi_i(x) \in Y_n
由泛函J[y]就确定了n元函数

J[a_1,\cdots,a_n] = J[y_n]=\int_{x_0}^{x_1}F[x,sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x),sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x)^{'}]dx

*对每个n,选取a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n)使J[yn]、取极值,也就是由方程组

\frac{\partial}{\partial a_i}J[y_n] = 0, i = 1,2, \cdots,n,

来确定a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n),然后用得到的函数
f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)
作为变分问题的近似解

几点说明:
*上面求得的fn是序列(57)中前n个函数所有可能的线性组合中使泛函J[yn]达到极值的函数。这样得到的序列f1,f2,…,fn,…称为J[yn]的极小化序列。

*因为 Y_1 \subset Y_2\subset \cdots \subset Y_n \cdots
所以 J[f_1] \geq J[f_2] \geq \cdots \geq J[f_n]\cdots
并且 \lim_{n \to \infty} J[f_n] = J[f] ' *但是,并不能保证fn极限存在,及时存在也不一定收敛于J[y]的极值函数f。但对于常用函数来说,fn不仅逐点收敛,而且一致收敛于f。因此,如果只限于讨论前n项和f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x),那么,fn就是变分问题的近似解。

基函数通常选取下列三个函数系之一: * \varphi_n(x) = (x-x_0)^n(x_1-x),n= 1,2,…
* \varphi_n(x) = (x_1-x)^n(x-x_0),n= 1,2,…
* \varphi_n(x) = sin\frac{n \pi (x-x_0)}{x_1-x_0},n= 1,2,…

徐斌 2010/06/22 17:35

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