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--- keynote:lesson12 [2010/06/17 15:04]
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+++ keynote:lesson12 [2023/08/19 21:02] (current)
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 使得泛函（40）在Γ上取得极值。类似与有条件函数极值的Lagrange方法，有条件泛函极值问题也可以转化为无条件极值来处理。\\
 * Lagrange定理
-设$y(x)$,$z(x)$是泛函（40）在边界条件（41）和约束条件（42）下的极值函数。如果曲线：{{ keynote:84-1.png }}\\
+设$y(x)$,$z(x)$是泛函（40）在边界条件（41）和约束条件（42）下的极值函数。如果曲线：{{ keynote:84-1.png }}
-上，$φ_y,φ_z$至少有一个不为零，则必存在函数$λ(x)$,使得$y(x)$,$z(x)$满足泛函{{ keynote:84-2.png }}\\
+上，$φ_y,φ_z$至少有一个不为零，则必存在函数$λ(x)$,使得$y(x)$,$z(x)$满足泛函{{ keynote:84-2.png }}
-的Euler方程组{{ keynote:84-3.png }}\\
+的Euler方程组{{ keynote:84-3.png }}
-其中，$F ^*=F+λ_φ$.\\
+其中，
+\\   $F ^*=F+λ_φ$.   \\
 *证明\\
 不妨设在曲线Γ上，$φ_z≠0$,按隐函数存在定理，可由（42）式确定一个函数$z=ψ(x,y)$,将它带入（40）式，得
-\\$J=\int_{x_0}^{x_1}F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx≅\int_{x_0}^{x_1}Φ(x,y,y')dx.(45)\\
+\\    $J=\int_{x_0}^{x_1}F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx≅\int_{x_0}^{x_1}Φ(x,y,y')dx.(45)   \\
 其中，
-\\Φ(x,y,y')=F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx.\\
+\\    Φ(x,y,y')=F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx.   \\
 这样，就把泛函（40）的极值问题转化成了泛函（45）的无条件极值问题。泛函（45）的Euler方程为：
-\\$Φ_y-\frac{d}{d_x}Φ_y'=0$, (46)\\
+\\    $Φ_y-\frac{d}{d_x}Φ_y'=0$, (46)   \\
 计算$Φ_y，Φ_y’，\frac{d}{d_x}Φ_y'$,得：{{ keynote:85-1.png }}
- --- //[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17//\\
+ --- //[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17//
 ==== 4.2 等周问题 ====
 * 问题的提出\\
@@ Line 74: / Line 74: @@
 * Euler定理\\
 上述广义的等周问题可以由下述Euler定理解决，它把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分问题。\\
- --- //未完待续  yym//
+EULER定理 若曲线Γ：y = y(x)在等周条件（48）及边界条件（49）下使泛函（50）达到极值，则存在常数λ，使y(x)满足泛函\\
+<note>note</note>
-===== 5 变分问题中的直接法 =====\\
-==== 5.1 里兹法 ====\\
+===== 5 变分问题中的直接法 =====
+=====5 变分问题中的直接法 =====
+==== 5.1 里兹法 ====
 基本思想：
-用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线
+用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线\\
 问题：
-*设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$
+*设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$\\
-*边界条件是：$y(x_0)=0,y(x_1)=0$
+*边界条件是：$y(x_0)=0,y(x_1)=0$\\
 称为齐次边界
 *如果给定的边界条件不是齐次的，如$y(x_0)=0,y(x_1)=y_1$,则可令
-$y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $    (56)
+$y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $    (56)\\
 有$z(x_0)=0,z(x_1)=0$。问题（54）（55）化为齐次边界的边分问题，
-$J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.$
+$J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.$\\
-**基本步骤：**
+**基本步骤：**\\
-设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内，Y构成线性空间，用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下：
+设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内，Y构成线性空间，用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下：\\
 *选取Y的基函数
-$\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi+n(x),\cdots$     (57)
+$\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi_n(x),\cdots$     (57)\\
 对任意$ y(x) \in Y,y(x) $ 都可以表示为$\{\varphi_i(x)\}$的有限维或无限维线性组合。特别的，对极值函数f(x),也有
-$f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$
+$f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$\\
+*对每个n,考虑由$\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,生成的线性子空间Yn，设\\
+$y_n(x) = sum_{i=1}^n \alpha \varphi_i(x) \in Y_n$\\
+由泛函J[y]就确定了n元函数\\
+$J[a_1,\cdots,a_n] = J[y_n]=\int_{x_0}^{x_1}F[x,sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x)，sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x)^{'}]dx$\\
+*对每个n，选取$a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n)$使J[yn]、取极值，也就是由方程组\\
+$\frac{\partial}{\partial a_i}J[y_n] = 0, i = 1,2, \cdots,n,$\\
+来确定$a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n)$，然后用得到的函数\\
+$f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$\\
+作为变分问题的近似解\\
+几点说明：\\
+*上面求得的fn是序列（57）中前n个函数所有可能的线性组合中使泛函J[yn]达到极值的函数。这样得到的序列f1,f2,...,fn,...称为J[yn]的极小化序列。\\
+*因为
+$Y_1 \subset Y_2\subset \cdots \subset Y_n \cdots$\\
+所以
+$J[f_1] \geq J[f_2] \geq \cdots \geq J[f_n]\cdots $\\
+并且
+$\lim_{n \to \infty} J[f_n] = J[f]$
+'
+*但是，并不能保证fn极限存在，及时存在也不一定收敛于J[y]的极值函数f。但对于常用函数来说，fn不仅逐点收敛，而且一致收敛于f。因此，如果只限于讨论前n项和$f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$，那么，fn就是变分问题的近似解。\\
+基函数通常选取下列三个函数系之一：
+*  $\varphi_n(x) = (x-x_0)^n(x_1-x),n= 1,2,...$\\
+*  $\varphi_n(x) = (x_1-x)^n(x-x_0),n= 1,2,...$\\
+*  $\varphi_n(x) = sin\frac{n \pi (x-x_0)}{x_1-x_0},n= 1,2,...$\\
@@ Line 130: / Line 155: @@
-<未完待续 by 徐斌>
+ --- //[[1@1|徐斌]] 2010/06/22 17:35//

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