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keynote:lesson12 [2010/06/17 15:13] 10921068 |
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计算$Φ_y,Φ_y’,\frac{d}{d_x}Φ_y'$,得:{{ keynote:85-1.png }} | 计算$Φ_y,Φ_y’,\frac{d}{d_x}Φ_y'$,得:{{ keynote:85-1.png }} | ||
--- //[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17// | --- //[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17// | ||
- | ==== 4.2 等周问题 ==== | ||
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==== 4.2 等周问题 ==== | ==== 4.2 等周问题 ==== | ||
* 问题的提出\\ | * 问题的提出\\ | ||
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* Euler定理\\ | * Euler定理\\ | ||
上述广义的等周问题可以由下述Euler定理解决,它把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分问题。\\ | 上述广义的等周问题可以由下述Euler定理解决,它把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分问题。\\ | ||
+ | EULER定理 若曲线Γ:y = y(x)在等周条件(48)及边界条件(49)下使泛函(50)达到极值,则存在常数λ,使y(x)满足泛函\\ | ||
+ | <note>note</note> | ||
+ | ===== 5 变分问题中的直接法 ===== | ||
+ | =====5 变分问题中的直接法 ===== | ||
- | + | ==== 5.1 里兹法 ==== | |
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- | --- //未完待续 yym// | + | |
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- | ===== 5 变分问题中的直接法 =====\\ | + | |
- | + | ||
- | ==== 5.1 里兹法 ====\\ | + | |
基本思想: | 基本思想: | ||
- | 用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线 | + | 用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线\\ |
问题: | 问题: | ||
- | *设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ | + | *设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$\\ |
- | *边界条件是:$y(x_0)=0,y(x_1)=0$ | + | *边界条件是:$y(x_0)=0,y(x_1)=0$\\ |
称为齐次边界 | 称为齐次边界 | ||
*如果给定的边界条件不是齐次的,如$y(x_0)=0,y(x_1)=y_1$,则可令 | *如果给定的边界条件不是齐次的,如$y(x_0)=0,y(x_1)=y_1$,则可令 | ||
- | $y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $ (56) | + | $y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $ (56)\\ |
有$z(x_0)=0,z(x_1)=0$。问题(54)(55)化为齐次边界的边分问题, | 有$z(x_0)=0,z(x_1)=0$。问题(54)(55)化为齐次边界的边分问题, | ||
- | $J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.$ | + | $J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.$\\ |
- | **基本步骤:** | + | **基本步骤:**\\ |
- | 设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内,Y构成线性空间,用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下: | + | 设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内,Y构成线性空间,用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下:\\ |
*选取Y的基函数 | *选取Y的基函数 | ||
- | $\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi+n(x),\cdots$ (57) | + | $\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi_n(x),\cdots$ (57)\\ |
对任意$ y(x) \in Y,y(x) $ 都可以表示为$\{\varphi_i(x)\}$的有限维或无限维线性组合。特别的,对极值函数f(x),也有 | 对任意$ y(x) \in Y,y(x) $ 都可以表示为$\{\varphi_i(x)\}$的有限维或无限维线性组合。特别的,对极值函数f(x),也有 | ||
- | $f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$ | + | $f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$\\ |
- | + | ||
- | + | ||
+ | *对每个n,考虑由$\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,生成的线性子空间Yn,设\\ | ||
+ | $y_n(x) = sum_{i=1}^n \alpha \varphi_i(x) \in Y_n$\\ | ||
+ | 由泛函J[y]就确定了n元函数\\ | ||
+ | $J[a_1,\cdots,a_n] = J[y_n]=\int_{x_0}^{x_1}F[x,sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x),sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x)^{'}]dx$\\ | ||
+ | *对每个n,选取$a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n)$使J[yn]、取极值,也就是由方程组\\ | ||
+ | $\frac{\partial}{\partial a_i}J[y_n] = 0, i = 1,2, \cdots,n,$\\ | ||
+ | 来确定$a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n)$,然后用得到的函数\\ | ||
+ | $f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$\\ | ||
+ | 作为变分问题的近似解\\ | ||
+ | 几点说明:\\ | ||
+ | *上面求得的fn是序列(57)中前n个函数所有可能的线性组合中使泛函J[yn]达到极值的函数。这样得到的序列f1,f2,...,fn,...称为J[yn]的极小化序列。\\ | ||
+ | *因为 | ||
+ | $Y_1 \subset Y_2\subset \cdots \subset Y_n \cdots$\\ | ||
+ | 所以 | ||
+ | $J[f_1] \geq J[f_2] \geq \cdots \geq J[f_n]\cdots $\\ | ||
+ | 并且 | ||
+ | $\lim_{n \to \infty} J[f_n] = J[f]$ | ||
+ | ' | ||
+ | *但是,并不能保证fn极限存在,及时存在也不一定收敛于J[y]的极值函数f。但对于常用函数来说,fn不仅逐点收敛,而且一致收敛于f。因此,如果只限于讨论前n项和$f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$,那么,fn就是变分问题的近似解。\\ | ||
+ | 基函数通常选取下列三个函数系之一: | ||
+ | * $\varphi_n(x) = (x-x_0)^n(x_1-x),n= 1,2,...$\\ | ||
+ | * $\varphi_n(x) = (x_1-x)^n(x-x_0),n= 1,2,...$\\ | ||
+ | * $\varphi_n(x) = sin\frac{n \pi (x-x_0)}{x_1-x_0},n= 1,2,...$\\ | ||
- | <未完待续 by 徐斌> | ||
+ | --- //[[1@1|徐斌]] 2010/06/22 17:35// |