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keynote:lesson12 [2010/06/17 09:18] 10921068 |
keynote:lesson12 [2023/08/19 21:02] (current) |
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使得泛函(40)在Γ上取得极值。类似与有条件函数极值的Lagrange方法,有条件泛函极值问题也可以转化为无条件极值来处理。\\ | 使得泛函(40)在Γ上取得极值。类似与有条件函数极值的Lagrange方法,有条件泛函极值问题也可以转化为无条件极值来处理。\\ | ||
* Lagrange定理 | * Lagrange定理 | ||
- | 设$y(x)$,$z(x)$是泛函(40)在边界条件(41)和约束条件(42)下的极值函数。如果曲线:{{ keynote:84-1.png }}\\ | + | 设$y(x)$,$z(x)$是泛函(40)在边界条件(41)和约束条件(42)下的极值函数。如果曲线:{{ keynote:84-1.png }} |
- | 上,$φ_y,φ_z$至少有一个不为零,则必存在函数$λ(x)$,使得$y(x)$,$z(x)$满足泛函{{ keynote:84-2.png }}\\ | + | 上,$φ_y,φ_z$至少有一个不为零,则必存在函数$λ(x)$,使得$y(x)$,$z(x)$满足泛函{{ keynote:84-2.png }} |
- | 的Euler方程组{{ keynote:84-3.png }}\\ | + | 的Euler方程组{{ keynote:84-3.png }} |
- | 其中,$F ^*=F+λ_φ$.\\ | + | 其中, |
+ | \\ $F ^*=F+λ_φ$. \\ | ||
*证明\\ | *证明\\ | ||
- | 不妨设在曲线Γ上,$φ_z≠0$,按隐函数存在定理,可由(42)式确定一个函数$z=ψ(x,y)$,将它带入(40)式,得\\ | + | 不妨设在曲线Γ上,$φ_z≠0$,按隐函数存在定理,可由(42)式确定一个函数$z=ψ(x,y)$,将它带入(40)式,得 |
- | $J=\int_{x_0}^{x_1}F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx≅\int_{x_0}^{x_1}Φ(x,y,y')dx.(45)\\ | + | \\ $J=\int_{x_0}^{x_1}F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx≅\int_{x_0}^{x_1}Φ(x,y,y')dx.(45) \\ |
- | 其中,Φ(x,y,y')=F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx.\\ | + | 其中, |
- | 这样,就把泛函(40)的极值问题转化成了泛函(45)的无条件极值问题。泛函(45)的Euler方程为:\\ | + | \\ Φ(x,y,y')=F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx. \\ |
- | $Φ_y-\frac{d}{d_x}Φ_y'=0$, (46)\\ | + | 这样,就把泛函(40)的极值问题转化成了泛函(45)的无条件极值问题。泛函(45)的Euler方程为: |
+ | \\ $Φ_y-\frac{d}{d_x}Φ_y'=0$, (46) \\ | ||
计算$Φ_y,Φ_y’,\frac{d}{d_x}Φ_y'$,得:{{ keynote:85-1.png }} | 计算$Φ_y,Φ_y’,\frac{d}{d_x}Φ_y'$,得:{{ keynote:85-1.png }} | ||
- | --- //[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17//\\ | + | --- //[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17// |
==== 4.2 等周问题 ==== | ==== 4.2 等周问题 ==== | ||
- | * 问题的提出 | + | * 问题的提出\\ |
- | 我们以前研究过的等周问题是狭义的等周问题,一般的等周问题是指在泛函约束(等周条件) | + | 我们以前研究过的等周问题是狭义的等周问题,一般的等周问题是指在泛函约束(等周条件)\\ |
- | \\ $K[y] = \int_{x_0}^{x_1}G(x,y,y')dx = l$ (48)\\ | + | $K[y] = \int_{x_0}^{x_1}G(x,y,y')dx = l$ (48)\\ |
- | 及边界条件 | + | 及边界条件\\ |
- | \\ $y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$; (49)\\ | + | $y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$; (49)\\ |
- | 下的所有具有二阶连续导数的函数y(x)中求泛函 | + | 下的所有具有二阶连续导数的函数y(x)中求泛函\\ |
- | \\ $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ (50)\\ | + | $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ (50)\\ |
- | 的极值函数,其中,G,l,y等均是给定的函数或常数。 | + | 的极值函数,其中,G,l,y等均是给定的函数或常数。\\ |
- | --- //[[1@1|叶岩明]] 10921068 2010/06/17 11:17//\\ | + | * Euler定理\\ |
+ | 上述广义的等周问题可以由下述Euler定理解决,它把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分问题。\\ | ||
+ | EULER定理 若曲线Γ:y = y(x)在等周条件(48)及边界条件(49)下使泛函(50)达到极值,则存在常数λ,使y(x)满足泛函\\ | ||
+ | <note>note</note> | ||
- | ===== 5 变分问题中的直接法 =====\\ | ||
- | ==== 5.1 里兹法 ====\\ | + | ===== 5 变分问题中的直接法 ===== |
+ | |||
+ | =====5 变分问题中的直接法 ===== | ||
+ | |||
+ | ==== 5.1 里兹法 ==== | ||
基本思想: | 基本思想: | ||
- | 用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线 | + | 用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线\\ |
问题: | 问题: | ||
- | *设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ | + | *设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$\\ |
- | *边界条件是:$y(x_0)=0,y(x_1)=0$ | + | *边界条件是:$y(x_0)=0,y(x_1)=0$\\ |
称为齐次边界 | 称为齐次边界 | ||
*如果给定的边界条件不是齐次的,如$y(x_0)=0,y(x_1)=y_1$,则可令 | *如果给定的边界条件不是齐次的,如$y(x_0)=0,y(x_1)=y_1$,则可令 | ||
- | $y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $ (56) | + | $y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $ (56)\\ |
有$z(x_0)=0,z(x_1)=0$。问题(54)(55)化为齐次边界的边分问题, | 有$z(x_0)=0,z(x_1)=0$。问题(54)(55)化为齐次边界的边分问题, | ||
- | $J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.$ | + | $J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.$\\ |
- | **基本步骤:** | + | **基本步骤:**\\ |
- | 设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内,Y构成线性空间,用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下: | + | 设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内,Y构成线性空间,用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下:\\ |
*选取Y的基函数 | *选取Y的基函数 | ||
- | $\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi+n(x),\cdots$ (57) | + | $\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi_n(x),\cdots$ (57)\\ |
对任意$ y(x) \in Y,y(x) $ 都可以表示为$\{\varphi_i(x)\}$的有限维或无限维线性组合。特别的,对极值函数f(x),也有 | 对任意$ y(x) \in Y,y(x) $ 都可以表示为$\{\varphi_i(x)\}$的有限维或无限维线性组合。特别的,对极值函数f(x),也有 | ||
- | $f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$ | + | $f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$\\ |
- | + | ||
+ | *对每个n,考虑由$\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,生成的线性子空间Yn,设\\ | ||
+ | $y_n(x) = sum_{i=1}^n \alpha \varphi_i(x) \in Y_n$\\ | ||
+ | 由泛函J[y]就确定了n元函数\\ | ||
+ | $J[a_1,\cdots,a_n] = J[y_n]=\int_{x_0}^{x_1}F[x,sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x),sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x)^{'}]dx$\\ | ||
+ | *对每个n,选取$a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n)$使J[yn]、取极值,也就是由方程组\\ | ||
+ | $\frac{\partial}{\partial a_i}J[y_n] = 0, i = 1,2, \cdots,n,$\\ | ||
+ | 来确定$a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n)$,然后用得到的函数\\ | ||
+ | $f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$\\ | ||
+ | 作为变分问题的近似解\\ | ||
+ | 几点说明:\\ | ||
+ | *上面求得的fn是序列(57)中前n个函数所有可能的线性组合中使泛函J[yn]达到极值的函数。这样得到的序列f1,f2,...,fn,...称为J[yn]的极小化序列。\\ | ||
+ | *因为 | ||
+ | $Y_1 \subset Y_2\subset \cdots \subset Y_n \cdots$\\ | ||
+ | 所以 | ||
+ | $J[f_1] \geq J[f_2] \geq \cdots \geq J[f_n]\cdots $\\ | ||
+ | 并且 | ||
+ | $\lim_{n \to \infty} J[f_n] = J[f]$ | ||
+ | ' | ||
+ | *但是,并不能保证fn极限存在,及时存在也不一定收敛于J[y]的极值函数f。但对于常用函数来说,fn不仅逐点收敛,而且一致收敛于f。因此,如果只限于讨论前n项和$f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$,那么,fn就是变分问题的近似解。\\ | ||
+ | 基函数通常选取下列三个函数系之一: | ||
+ | * $\varphi_n(x) = (x-x_0)^n(x_1-x),n= 1,2,...$\\ | ||
+ | * $\varphi_n(x) = (x_1-x)^n(x-x_0),n= 1,2,...$\\ | ||
+ | * $\varphi_n(x) = sin\frac{n \pi (x-x_0)}{x_1-x_0},n= 1,2,...$\\ | ||
Line 127: | Line 155: | ||
- | <未完待续 by 徐斌> | + | --- //[[1@1|徐斌]] 2010/06/22 17:35// |