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--- keynote:lesson12 [2010/06/22 17:34]
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+++ keynote:lesson12 [2014/05/22 16:34]
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-====== 第十二课  变分法简介 ======
-===== 3 可动边界的变分问题 =====
-==== 3.1 最简单的可动边界问题 ====
-  * 问题的提出
-上一章，我们讨论了固定边界的变分问题，即：在未知函数$y(x)$的边界点$A(x_0,y_0)$,$B(x_1,y_1)$固定的情况下，求泛函：
-\\    $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$   (18)\\
-的极值曲线。这一节讨论的问题，是假定两个边界中的一个或两个可以变动，这时，容许曲线族的范围扩大了。
-可动边界情况下的容许曲线族，比固定边界情况下的容许曲线族大，前者包含后者。因此，如果函数$y(x)$使可动边界的泛函达到极值，它也能使固定边界的泛函达到极值。所以，这个函数也应该满足使固定边界问题达到极值的必要条件，Euler方程：
-\\    $F_y-\frac{d}{d_x}F_y'=0$\\
-Euler方程是一个二阶常微分方程，它的通解$y=y(x,c_1,c_2)$包含了两个任意常数，确定它们需要两个条件。在固定边界的变分问题中，这两个条件是$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$;在边界可变的情况下，就是斜截条件。
-  * 斜截条件
-假设泛函（18）中的未知函数$y(x)$有一个固定的左端点$A(x_0,y_0)$，即，$y(x_0)=y_0$,右端点$B(x_1,y_1)$在某曲线$ω(x,y)=0$上移动。这时右端点$x_1$是变动的。斜截条件就是考察$x_1$应该满足什么特征。
-\\             {{:keynote:20100614_2.jpg|}}
-该公式称为斜截条件，或贯截条件。它表明，如果$y=y(x),(x_0≤x≤x_1)$为变动右端点的泛函极值曲线，则右端点必满足(27)
-==== 3.2 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$型泛函的可动边界问题====
-  * 问题的提出
-这一节，讨论泛函
-\\    $J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$  （31）\\
-的可动边界的极值问题，为简单起见，假定$J[y,z]$的一个边界点$A(x_0,y_0,z_0)$是固定的，另一个边界点$B(x_1,y_1,z_1)$是可以移动的。\\
-设泛函（51）的极值曲线为{{:keynote:20100614_3.jpg|}}.类似于上一节的讨论可知，$y(x)$和$z(x)$必满足Euler方程组:\\{{:keynote:20100614_4.jpg|}}\\
-这个方程组的通解中含有四个任意常数，由于B点变动，又增加了一个常数，这样，在通解中一共有五个常数需要确定。另一方面，由于A点固定。得到了两个方程，为了确定五个常数，还需要三个方程。
-  * 斜截条件
-对于左端点$A(x_0,y_0,z_0)$固定，而右端点$B(x_1,y_1,z_1)$可变动的情形$J[y,z]$取极值的必要条件δJ=0经化简后可写成{{:keynote:20100614_5.jpg|}}\\
-上式中，$δx_1$,$δy_1$,$δz_1$是任意的，即点B可以按照任意方式移动。三种情况情况如下：
-  - 若$δx_1$,$δy_1$,$δz_1$相互无关，由(32)可得：{{:keynote:20100614_6.jpg|}}\\
-  - 若右端点B沿曲线$y=φ(x)$,$z=ψ(x)$移动，即$δy_1=φ'(x_1)δx_1,δz_1=ψ'(x_1)δx_1$得：{{:keynote:7.jpg|}}\\
-  - 若右端点B在某曲面$Φ(x,y,z)=0$上移动，此时，$Φ_{x_{1}}δx_1+Φ_{y_{1}}δy_1+Φ_{z_{1}}δz_1=0$有：{{:keynote:20100614_8.jpg|}}
- --- //[[1@1|曹斌]]  10921066 2010/06/14 15:43//
-==== 3.3 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y',y'')dx$型泛函的可动边界问题 ====
-* 问题的提出\\
-这一节，讨论泛函$y(x_0)=0,y(x_1)=0$             (37)\\
-的可动边界的极值问题.为简单起见，首先假定左边界起点$A(x_0,y_0,y'_0)$是固定的,另一个边界点$B(x_1,y_1,y'_1)$是可以移动的.设泛函（37）的极值曲线为$y=y(x)$,它满足Euler-Poisson方程:{{ keynote:76-4.png }}\\
-这是一个四阶常微分方程，通解中含有四个任意常数。由于B点变动，所以$x_1$也是待定的。这样一共有五个常数需要确定。另一方面，由于A点固定，由$y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_0'$可以确定出Euler-Poisson方程通解中的两个任意常数。为了确定另外三个待定常数，还需要三个方程。这些方程可以由泛函取极值的基本必要条件$δJ=0$得到.
-* 斜截条件
-为计算$δJ=0$，首先计算泛函的增量$ΔJ$,然后分离出线性主部$δJ=0$。设泛函（37）在曲线$y=y（x）$上取得极值，任取一条容许曲线$y=y（x）+δy$,当$x=x_0$时，对应于点A;当$x=x_1+δx_1$时，对应于点$B(x_1+δx_1,y_1+δy_1,y'_1+δy'_1)$.与前两节的推导类似，有{{ keynote:77-1.png }}及{{ keynote:77-2.png }}应用中值定理，并由F以及$y(x)$,$y'(x)$,$y''(x)$诸函数的连续性，得到{{ keynote:77-3.png }}\\
-=====4 条件极值的变分问题=====
-==== 4.1 附有约束条件φ=0的变分问题 ====
-* 问题的提出
-这一节，我们主要研究泛函\\
-$J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$    (40)\\
-满足边界条件{{ keynote:83-1.png }}(41)\\
-$φ(x,y,z)=0$,      (42)\\
-的极值问题，导出泛函J的极值曲线应满足的条件。\\
-* 几何意义
-这类问题的几何意义是：在曲面$φ(x,y,z)=0$上求一条曲线{{ keynote:83-2.png }} \\
-使得泛函（40）在Γ上取得极值。类似与有条件函数极值的Lagrange方法，有条件泛函极值问题也可以转化为无条件极值来处理。\\
-* Lagrange定理
-设$y(x)$,$z(x)$是泛函（40）在边界条件（41）和约束条件（42）下的极值函数。如果曲线：{{ keynote:84-1.png }}
-上，$φ_y,φ_z$至少有一个不为零，则必存在函数$λ(x)$,使得$y(x)$,$z(x)$满足泛函{{ keynote:84-2.png }}
-的Euler方程组{{ keynote:84-3.png }}
-其中，
-\\   $F ^*=F+λ_φ$.   \\
-*证明\\
-不妨设在曲线Γ上，$φ_z≠0$,按隐函数存在定理，可由（42）式确定一个函数$z=ψ(x,y)$,将它带入（40）式，得
-\\    $J=\int_{x_0}^{x_1}F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx≅\int_{x_0}^{x_1}Φ(x,y,y')dx.(45)   \\
-其中，
-\\    Φ(x,y,y')=F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx.   \\
-这样，就把泛函（40）的极值问题转化成了泛函（45）的无条件极值问题。泛函（45）的Euler方程为：
-\\    $Φ_y-\frac{d}{d_x}Φ_y'=0$, (46)   \\
-计算$Φ_y，Φ_y’，\frac{d}{d_x}Φ_y'$,得：{{ keynote:85-1.png }}
- --- //[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17//
-==== 4.2 等周问题 ====
-* 问题的提出\\
-我们以前研究过的等周问题是狭义的等周问题，一般的等周问题是指在泛函约束（等周条件）\\
-    $K[y] = \int_{x_0}^{x_1}G(x,y,y')dx = l$   (48)\\
-及边界条件\\
-    $y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$;   (49)\\
-下的所有具有二阶连续导数的函数y(x)中求泛函\\
-    $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$   (50)\\
-的极值函数，其中，G，l，y等均是给定的函数或常数。\\
-* Euler定理\\
-上述广义的等周问题可以由下述Euler定理解决，它把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分问题。\\
-EULER定理 若曲线Γ：y = y(x)在等周条件（48）及边界条件（49）下使泛函（50）达到极值，则存在常数λ，使y(x)满足泛函\\
- --- //[[1@1|徐斌]] 2010/06/22 16:30//
-===== 5 变分问题中的直接法 =====
-==== 5.1 里兹法 ====
-基本思想：
-用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线\\
-问题：
-*设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$\\
-*边界条件是：$y(x_0)=0,y(x_1)=0$\\
-称为齐次边界
-*如果给定的边界条件不是齐次的，如$y(x_0)=0,y(x_1)=y_1$,则可令
-$y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $    (56)\\
-有$z(x_0)=0,z(x_1)=0$。问题（54）（55）化为齐次边界的边分问题，
-$J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.$\\
-**基本步骤：**\\
-设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内，Y构成线性空间，用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下：\\
-*选取Y的基函数
-$\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi+n(x),\cdots$     (57)\\
-对任意$ y(x) \in Y,y(x) $ 都可以表示为$\{\varphi_i(x)\}$的有限维或无限维线性组合。特别的，对极值函数f(x),也有
-$f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$\\
-*对每个n,考虑由$\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,生成的线性子空间Yn，设\\
-$y_n(x) = sum_{i=1}^n \alpha \varphi_i(x) \in Y_n$\\
-由泛函J[y]就确定了n元函数，\\
-<未完待续 by 徐斌>\\

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