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keynote:lesson12 [2010/06/17 15:04] 10921068 |
keynote:lesson12 [2023/08/19 21:02] |
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- | ====== 第十二课 变分法简介 ====== | ||
- | ===== 3 可动边界的变分问题 ===== | ||
- | ==== 3.1 最简单的可动边界问题 ==== | ||
- | * 问题的提出 | ||
- | 上一章,我们讨论了固定边界的变分问题,即:在未知函数$y(x)$的边界点$A(x_0,y_0)$,$B(x_1,y_1)$固定的情况下,求泛函: | ||
- | \\ $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ (18)\\ | ||
- | 的极值曲线。这一节讨论的问题,是假定两个边界中的一个或两个可以变动,这时,容许曲线族的范围扩大了。 | ||
- | 可动边界情况下的容许曲线族,比固定边界情况下的容许曲线族大,前者包含后者。因此,如果函数$y(x)$使可动边界的泛函达到极值,它也能使固定边界的泛函达到极值。所以,这个函数也应该满足使固定边界问题达到极值的必要条件,Euler方程: | ||
- | \\ $F_y-\frac{d}{d_x}F_y'=0$\\ | ||
- | Euler方程是一个二阶常微分方程,它的通解$y=y(x,c_1,c_2)$包含了两个任意常数,确定它们需要两个条件。在固定边界的变分问题中,这两个条件是$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$;在边界可变的情况下,就是斜截条件。 | ||
- | * 斜截条件 | ||
- | 假设泛函(18)中的未知函数$y(x)$有一个固定的左端点$A(x_0,y_0)$,即,$y(x_0)=y_0$,右端点$B(x_1,y_1)$在某曲线$ω(x,y)=0$上移动。这时右端点$x_1$是变动的。斜截条件就是考察$x_1$应该满足什么特征。 | ||
- | \\ {{:keynote:20100614_2.jpg|}} | ||
- | 该公式称为斜截条件,或贯截条件。它表明,如果$y=y(x),(x_0≤x≤x_1)$为变动右端点的泛函极值曲线,则右端点必满足(27) | ||
- | ==== 3.2 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$型泛函的可动边界问题==== | ||
- | * 问题的提出 | ||
- | 这一节,讨论泛函 | ||
- | \\ $J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$ (31)\\ | ||
- | 的可动边界的极值问题,为简单起见,假定$J[y,z]$的一个边界点$A(x_0,y_0,z_0)$是固定的,另一个边界点$B(x_1,y_1,z_1)$是可以移动的。\\ | ||
- | 设泛函(51)的极值曲线为{{:keynote:20100614_3.jpg|}}.类似于上一节的讨论可知,$y(x)$和$z(x)$必满足Euler方程组:\\{{:keynote:20100614_4.jpg|}}\\ | ||
- | 这个方程组的通解中含有四个任意常数,由于B点变动,又增加了一个常数,这样,在通解中一共有五个常数需要确定。另一方面,由于A点固定。得到了两个方程,为了确定五个常数,还需要三个方程。 | ||
- | * 斜截条件 | ||
- | 对于左端点$A(x_0,y_0,z_0)$固定,而右端点$B(x_1,y_1,z_1)$可变动的情形$J[y,z]$取极值的必要条件δJ=0经化简后可写成{{:keynote:20100614_5.jpg|}}\\ | ||
- | 上式中,$δx_1$,$δy_1$,$δz_1$是任意的,即点B可以按照任意方式移动。三种情况情况如下: | ||
- | - 若$δx_1$,$δy_1$,$δz_1$相互无关,由(32)可得:{{:keynote:20100614_6.jpg|}}\\ | ||
- | - 若右端点B沿曲线$y=φ(x)$,$z=ψ(x)$移动,即$δy_1=φ'(x_1)δx_1,δz_1=ψ'(x_1)δx_1$得:{{:keynote:7.jpg|}}\\ | ||
- | - 若右端点B在某曲面$Φ(x,y,z)=0$上移动,此时,$Φ_{x_{1}}δx_1+Φ_{y_{1}}δy_1+Φ_{z_{1}}δz_1=0$有:{{:keynote:20100614_8.jpg|}} | ||
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- | --- //[[1@1|曹斌]] 10921066 2010/06/14 15:43// | ||
- | ==== 3.3 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y',y'')dx$型泛函的可动边界问题 ==== | ||
- | * 问题的提出\\ | ||
- | 这一节,讨论泛函$y(x_0)=0,y(x_1)=0$ (37)\\ | ||
- | 的可动边界的极值问题.为简单起见,首先假定左边界起点$A(x_0,y_0,y'_0)$是固定的,另一个边界点$B(x_1,y_1,y'_1)$是可以移动的.设泛函(37)的极值曲线为$y=y(x)$,它满足Euler-Poisson方程:{{ keynote:76-4.png }}\\ | ||
- | 这是一个四阶常微分方程,通解中含有四个任意常数。由于B点变动,所以$x_1$也是待定的。这样一共有五个常数需要确定。另一方面,由于A点固定,由$y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_0'$可以确定出Euler-Poisson方程通解中的两个任意常数。为了确定另外三个待定常数,还需要三个方程。这些方程可以由泛函取极值的基本必要条件$δJ=0$得到. | ||
- | * 斜截条件 | ||
- | 为计算$δJ=0$,首先计算泛函的增量$ΔJ$,然后分离出线性主部$δJ=0$。设泛函(37)在曲线$y=y(x)$上取得极值,任取一条容许曲线$y=y(x)+δy$,当$x=x_0$时,对应于点A;当$x=x_1+δx_1$时,对应于点$B(x_1+δx_1,y_1+δy_1,y'_1+δy'_1)$.与前两节的推导类似,有{{ keynote:77-1.png }}及{{ keynote:77-2.png }}应用中值定理,并由F以及$y(x)$,$y'(x)$,$y''(x)$诸函数的连续性,得到{{ keynote:77-3.png }}\\ | ||
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- | =====4 条件极值的变分问题===== | ||
- | ==== 4.1 附有约束条件φ=0的变分问题 ==== | ||
- | * 问题的提出 | ||
- | 这一节,我们主要研究泛函\\ | ||
- | $J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$ (40)\\ | ||
- | 满足边界条件{{ keynote:83-1.png }}(41)\\ | ||
- | $φ(x,y,z)=0$, (42)\\ | ||
- | 的极值问题,导出泛函J的极值曲线应满足的条件。\\ | ||
- | * 几何意义 | ||
- | 这类问题的几何意义是:在曲面$φ(x,y,z)=0$上求一条曲线{{ keynote:83-2.png }} \\ | ||
- | 使得泛函(40)在Γ上取得极值。类似与有条件函数极值的Lagrange方法,有条件泛函极值问题也可以转化为无条件极值来处理。\\ | ||
- | * Lagrange定理 | ||
- | 设$y(x)$,$z(x)$是泛函(40)在边界条件(41)和约束条件(42)下的极值函数。如果曲线:{{ keynote:84-1.png }}\\ | ||
- | 上,$φ_y,φ_z$至少有一个不为零,则必存在函数$λ(x)$,使得$y(x)$,$z(x)$满足泛函{{ keynote:84-2.png }}\\ | ||
- | 的Euler方程组{{ keynote:84-3.png }}\\ | ||
- | 其中,$F ^*=F+λ_φ$.\\ | ||
- | *证明\\ | ||
- | 不妨设在曲线Γ上,$φ_z≠0$,按隐函数存在定理,可由(42)式确定一个函数$z=ψ(x,y)$,将它带入(40)式,得 | ||
- | \\$J=\int_{x_0}^{x_1}F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx≅\int_{x_0}^{x_1}Φ(x,y,y')dx.(45)\\ | ||
- | 其中, | ||
- | \\Φ(x,y,y')=F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx.\\ | ||
- | 这样,就把泛函(40)的极值问题转化成了泛函(45)的无条件极值问题。泛函(45)的Euler方程为: | ||
- | \\$Φ_y-\frac{d}{d_x}Φ_y'=0$, (46)\\ | ||
- | 计算$Φ_y,Φ_y’,\frac{d}{d_x}Φ_y'$,得:{{ keynote:85-1.png }} | ||
- | --- //[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17//\\ | ||
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- | ==== 4.2 等周问题 ==== | ||
- | * 问题的提出\\ | ||
- | 我们以前研究过的等周问题是狭义的等周问题,一般的等周问题是指在泛函约束(等周条件)\\ | ||
- | $K[y] = \int_{x_0}^{x_1}G(x,y,y')dx = l$ (48)\\ | ||
- | 及边界条件\\ | ||
- | $y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$; (49)\\ | ||
- | 下的所有具有二阶连续导数的函数y(x)中求泛函\\ | ||
- | $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ (50)\\ | ||
- | 的极值函数,其中,G,l,y等均是给定的函数或常数。\\ | ||
- | * Euler定理\\ | ||
- | 上述广义的等周问题可以由下述Euler定理解决,它把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分问题。\\ | ||
- | --- //未完待续 yym// | ||
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- | ===== 5 变分问题中的直接法 =====\\ | ||
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- | ==== 5.1 里兹法 ====\\ | ||
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- | 基本思想: | ||
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- | 用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线 | ||
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- | 问题: | ||
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- | *设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ | ||
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- | *边界条件是:$y(x_0)=0,y(x_1)=0$ | ||
- | 称为齐次边界 | ||
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- | *如果给定的边界条件不是齐次的,如$y(x_0)=0,y(x_1)=y_1$,则可令 | ||
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- | $y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $ (56) | ||
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- | 有$z(x_0)=0,z(x_1)=0$。问题(54)(55)化为齐次边界的边分问题, | ||
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- | $J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.$ | ||
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- | **基本步骤:** | ||
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- | 设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内,Y构成线性空间,用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下: | ||
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- | *选取Y的基函数 | ||
- | $\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi+n(x),\cdots$ (57) | ||
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- | 对任意$ y(x) \in Y,y(x) $ 都可以表示为$\{\varphi_i(x)\}$的有限维或无限维线性组合。特别的,对极值函数f(x),也有 | ||
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- | $f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$ | ||
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- | <未完待续 by 徐斌> |