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--- keynote:lesson11 [2010/06/10 15:16]
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-===== **2.1. 泛函极值的必要条件与Euler方程** =====
-·泛函极值的必要条件
- 最简单的泛函的极值问题：\\
- $ J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {F(x,y,y')dx,} $   (5) \\
- 其中，$F∈C^2$，容许曲线$y(x)∈C^2[x_0,x_1]$，且满足边界条件： \\
- $y(x_0)=y_0, y(x_1)=y_1.$                    (6)      \\
- 极值的必要条件：使泛函$J[y]=\int_{x_0}^{x_1} {F(x,y,y')dx}$达到极值的必要条件，是y(x)满足Euler方程： \\
- $F_y- \frac{d}{dx}F_y=0.$                 (7)           \\
- 证明：构造以α为参数的容许曲线族$\overline {y}(\alpha )=y(x)+\alpha \delta y$，\\
- 其中，$\delta y$为宗量y(x)的变分，满足$\delta y|_{x=x_0}=\delta y|_{x=x_1}=0$.\\
- 所以，$\overline {y}|_{x=x_0}=y_0，\overline {y}|_{x=x_1}=y_1，\overline {y}\in C^2[x_0,x_1]$.\\
- 假设，当α=0时，$\overline {y}=y(x)$是使泛函(18)达到极值的曲线，将$\overline {y}$代入方程(18)，得到\\
- $\Phi (\alpha )=J[y+\alpha \delta y]=\int_{x_0}^{x_1} {F(x,y+\alpha \delta y,y'+\alpha \delta y')dx.}$\\
- 由于$\Phi (\alpha )$在α=0时取得极值，由极值的必要条件，有\\
- $\Phi '(0)=\frac{\partial }{\partial \alpha }J[y+\alpha \delta y]|_{\alpha =0}=\int_{x_0}^{x_1} {(F_y\delta y+F_y\delta y')dx}=0.$                          (8)\\
- 由分部积分法，并注意到$\delta y|_{x=x_0}=\delta y|_{x=x_1}=0$，有\\
- $\int_{x_0}^{x_1} {F_{y'}}\delta y'dx=\int_{x_0}^{x_1} {F_{y'}}d(\delta y)=F_{y'}\delta y|_{x_0}^{x_1}-\int_{x_0}^{x_1} {\delta y\frac{d}{dx}F_{y'}dx}=-\int_{x_0}^{x_1} {\delta y\frac{d}{dx}F_{y'}dx}$.\\
- 将上式代入方程(8)，得到\\
- $\Phi '(0)=\delta J=\int_{x_0}^{x_1} {[F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}]\delta ydx}=0.$\\
- 由基本引理1知，使泛函J[y]达到极值的函数y(x)必满足Euler方程7.\\
- 说明：注意到满足Euler方程7仅是泛函取到极值的必要条件，Euler方程7的解曲线仅仅是可能的极值曲线。但是，在实际问题中，往往可以事先确定泛函的极值是否存在。在确定了极值存在的情况下，Euler方程的解曲线就是极值曲线.\\
-·Euler方程的几种不同形式\\
- 为计算简便，Euler方程7，即\\
- $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0,$\\
- 可以改写成如下形式：\\
- $F_{y'y'}y''+F_{yy'}y'+F_{xy'}-F_y=0$,(9)\\
- 和 \\
- $\frac{d}{dx}(F-y'F_{y'})-F_x=0$. (10)  \\
- ∗**例1.** 求泛函$J[y(x)]=\int_{0}^{1} {(y'^2+12xy)dx}$满足边界条件y(0)=0,y(1)=1的极值曲线.\\
- **解：**由于$F(x,y,y')=y'^2+12xy$，其Euler方程为\\
- $12x-2y''=0.$\\
- 解此二阶常微分方程，得\\
- $y=x^3+c_1x+c_2.$\\
- 由y(0)=0,y(1)=1得，$c_1=c_2=0$，因此，J[y(x)]的极值曲线为$y=x^{3}$.\\
- ∗**例2.** 求泛函$J[y(x)]=\int_{0}^{1} {(y'^2-y^2-2xy)dx}$满足边界条件y(0)=y(1)=0的极值曲线.\\
- **解：**$F(x,y,y')=y'^2-y^2-2xy$，其Euler方程为\\
- $2y''+2y+2x=0$.\\
- 解这个方程，得\\
- $y=c_1cosx+c_2sinx-x.$\\
- 由边界条件y(0)=y(1)=0，得$c_1=0，c_2=\frac{1}{sin1}$，于是，J[y(x)]的极值曲线为\\
- $y=\frac{sinx}{sin1}-x.$\\
- --- //[[xiaosai567@gmail.com|黄经州]] 2010/05/21 20:52// \\
- ·几种特殊的Euler方程 \\
- *$F=F(x,y)$,F中不含y' \\
- 此时，Euler方程为$F_y(x,y)=0$,这是一个普通的函数方程，它可以表示一条或几条曲线，但未必适合边界条件。因此，在一般情况下无解，只有曲线满足边界条件时有解。\\
- ∗**例3.** 讨论泛函$J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {y^2dx,}$,$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$的极值曲线。\\
- **解：**$F=y^2$,$F_y=2y=0$,所以$y=0$.故当y_0=y_1=0时有极值曲线$y=0$,否则无极值曲线。\\
- * $F=P(x,y)+Q(x,y)y'$,F是y'的线性函数。\\
- 此时，Euler方程为$P_y=Q_x$.与上述情况一样，这也是一个普通的函数方程。\\
- 但是，如果$P_y=Q_x$,则$Pdx+Qdy$是某一函数u(x,y)的全微分，
- 因而$ J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {(P+Qy')dx,} =\int_{x_0,y_0}^{x_1,y_1}{Pdx+Qdy,}= \int_{x_0,y_0}^{x_1,y_1}{du}=u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0)=const$\\
- 此时变分失去意义。\\
- ∗**例4.** 讨论泛函$J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {(y+xy')dx}$,$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$的极值曲线。\\
- **解：**此时，Euler方程成为恒等式，变分失去意义。\\
- * $F=F(y')$,F只依赖于$y'$\\
- 若$y''=0$,则$y=c_1(x)+c_2$是含有两个参数的直线簇。\\
-若y''≠0,则$F_{y'y'}(y')=0$,解之得，$y'=k(常数)$,即，$y=kx+c$.这是含有一个参数的直线簇，它包含在前面的直线簇中。\\
-∗**例5.** 在联接两点$A(x_0,y_0)$,$B(x_1,y_1)$的所有平面曲线中，试求长度最短的曲线。\\
-解：问题可以化为在边界条件$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$下求泛函\\
-$J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {\sqrt (1+y'^2)dx}$的极小值。\\
-由于$F=sqrt(1+y'^2)$仅依赖于y',它的极值曲线为直线簇$y=c_1(x)+c_2$,代入边界条件确定$c_1$,$c_2$,得\\
-$y=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$.因此，所求最短曲线就是连接A，B两点的直线。\\
- * $F=F(x,y')$,F不含$y$\\
-此时，Euler方程为$\frac{d}{dx}F_{y'}(x,y')=0$,它的积分为$F_{y'}(x,y')=c_1$.这是不含y的一阶常微分方程，解此方程即得可能的极值曲线。\\
-∗**例6.** 求泛函$J[y]=\int_{x_0}^{x_1} {\frac{\sqrt {1+y'^2 }}{x}}dx$,$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$,的极值曲线。\\
-解：$F=\frac{\sqrt {1+y'^2} }{x}$的Euler方程为\\
-$\frac{d}{dx}\frac{y'}{x\sqrt {1+y'2} }=0$\\
-它的初积分为$\frac{y'}{x\sqrt {1+y'^2} }=c,\Rightarrow x=\frac{y'}{c\sqrt {1+y'^2} }$\\
-令$y'=tant$,则：\\
-$x=\frac{tant}{c\sqrt {tan^2t} }=\frac{1}{t}sint=c_1sint,c_1=\frac{1}{t}$\\
-$dy=y'dx=tant\cdot c_1costdt=c_1sintdt$,\\
-$y=-c_1cost+c_2$.\\
-故有，$\left\{ {\begin{array}\ {x=c_1sint,}  \\ {y=-c_1cost+c_2}  \\  \end{array} } \right.$\\
-消去参数t，得，$x^2+(y-c_2)^2=c_1^2$.\\
-这表示圆心在纵轴上的一簇圆，其中，$c_1$,$c_2$由边界条件确定。
-<note important>edited by 杨冰(0921060)2010/05/22 </note>
-∗**例7.** 求最速降线问题的解，即求 \\ $T=\int_{0}^{a} {\frac{\sqrt {1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}}dx$,$y(0)=0$,$y(a)=b$,的极值曲线。\\
-解：$F=\frac{\sqrt {1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}$不含x,故Euler方程具有初始积分$y'F_{y'}=c$,即\\
-$y'\frac{y'}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}}-\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}=c$\\
-化简，得$y(1+y'^2)=c_1.$\\
-令$y'=cot\frac{t}{2}$,则\\
-$y=\frac{c_1}{1+y'^2}=c_1sin^2\frac{t}{2}=\frac{c_1}{2}(1-cost)$\\
-$dx=\frac{dy}{y'}=\frac{\frac{c_1}{2}sint}{cot\frac{t}{2}}=\frac{c_1}{2}(1-cost)dt.$\\
-故\\
-$ \left\{ {\begin{array} {x=\frac{c_1}{2}(t-sint)+c_2,}  \\ {y=\frac{c_1}{2}(1-\frac{c_1}{2}(1-cost}.  \\  \end{array} } \right\.$ \\
-由t=0时，x=0,得c_2=0,而c_1由y(a)=b定出。于是，最速降线问题的解为\\
-$\left\{ {\begin{array} {x=\frac{c_1}{2}(t-sint),} \\ {y=\frac{c_1}{2}(1-\frac{c_1}{2}(1-cost}.\end{array} } \right\.$ \\
-摆线。这是一条过A，B两点的摆线。
-<note important>edited by 谭小球(0921062)2010/06/10</note>

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