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keynote:lesson11

**2.1. 泛函极值的必要条件与Euler方程**

·泛函极值的必要条件

最简单的泛函的极值问题:
J[y(x)]= \int_{x_0}^{x_1} {F(x,y,y')dx,} (5)
其中,F∈C^2,容许曲线y(x)∈C^2[x_0,x_1],且满足边界条件:
y(x_0)=y_0, y(x_1)=y_1. (6)
极值的必要条件:使泛函J[y]=\int_{x_0}^{x_1} {F(x,y,y')dx}达到极值的必要条件,是y(x)满足Euler方程:
F_y- \frac{d}{dx}F_y=0. (7)
证明:构造以α为参数的容许曲线族\overline {y}(\alpha )=y(x)+\alpha \delta y
其中,\delta y为宗量y(x)的变分,满足\delta y|_{x=x_0}=\delta y|_{x=x_1}=0.
所以,\overline {y}|_{x=x_0}=y_0,\overline {y}|_{x=x_1}=y_1,\overline {y}\in C^2[x_0,x_1].
假设,当α=0时,\overline {y}=y(x)是使泛函(18)达到极值的曲线,将\overline {y}代入方程(18),得到
\Phi (\alpha )=J[y+\alpha \delta y]=\int_{x_0}^{x_1} {F(x,y+\alpha \delta y,y'+\alpha \delta y')dx.}
由于\Phi (\alpha )在α=0时取得极值,由极值的必要条件,有
\Phi '(0)=\frac{\partial }{\partial \alpha }J[y+\alpha \delta y]|_{\alpha =0}=\int_{x_0}^{x_1} {(F_y\delta y+F_y\delta y')dx}=0. (8)
由分部积分法,并注意到\delta y|_{x=x_0}=\delta y|_{x=x_1}=0,有
\int_{x_0}^{x_1} {F_{y'}}\delta y'dx=\int_{x_0}^{x_1} {F_{y'}}d(\delta y)=F_{y'}\delta y|_{x_0}^{x_1}-\int_{x_0}^{x_1} {\delta y\frac{d}{dx}F_{y'}dx}=-\int_{x_0}^{x_1} {\delta y\frac{d}{dx}F_{y'}dx}.
将上式代入方程(8),得到
\Phi '(0)=\delta J=\int_{x_0}^{x_1} {[F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}]\delta ydx}=0.
由基本引理1知,使泛函J[y]达到极值的函数y(x)必满足Euler方程7.
说明:注意到满足Euler方程7仅是泛函取到极值的必要条件,Euler方程7的解曲线仅仅是可能的极值曲线。但是,在实际问题中,往往可以事先确定泛函的极值是否存在。在确定了极值存在的情况下,Euler方程的解曲线就是极值曲线.

·Euler方程的几种不同形式
为计算简便,Euler方程7,即
F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0,
可以改写成如下形式:
F_{y'y'}y+F_{yy'}y'+F_{xy'}-F_y=0,(9)

\frac{d}{dx}(F-y'F_{y'})-F_x=0. (10)
例1. 求泛函
J[y(x)]=\int_{0}^{1} {(y'^2+12xy)dx}满足边界条件y(0)=0,y(1)=1的极值曲线.
解:由于
F(x,y,y')=y'^2+12xy,其Euler方程为
12x-2y
=0.

解此二阶常微分方程,得
y=x^3+c_1x+c_2.
由y(0)=0,y(1)=1得,c_1=c_2=0,因此,J[y(x)]的极值曲线为y=x^{3}.
例2. 求泛函J[y(x)]=\int_{0}^{1} {(y'^2-y^2-2xy)dx}满足边界条件y(0)=y(1)=0的极值曲线.
解:F(x,y,y')=y'^2-y^2-2xy,其Euler方程为
2y+2y+2x=0.
解这个方程,得
y=c_1cosx+c_2sinx-x.
由边界条件y(0)=y(1)=0,得
c_1=0,c_2=\frac{1}{sin1},于是,J[y(x)]的极值曲线为
y=\frac{sinx}{sin1}-x.
黄经州 2010/05/21 20:52
·几种特殊的Euler方程
*
F=F(x,y),F中不含y'
此时,Euler方程为
F_y(x,y)=0,这是一个普通的函数方程,它可以表示一条或几条曲线,但未必适合边界条件。因此,在一般情况下无解,只有曲线满足边界条件时有解。
例3. 讨论泛函
J[y(x)]= \int_{x_0}^{x_1} {y^2dx,},y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1的极值曲线。
解:
F=y^2,F_y=2y=0,所以y=0.故当y_0=y_1=0时有极值曲线y=0,否则无极值曲线。
*
F=P(x,y)+Q(x,y)y',F是y'的线性函数。
此时,Euler方程为
P_y=Q_x.与上述情况一样,这也是一个普通的函数方程。
但是,如果
P_y=Q_x,则Pdx+Qdy是某一函数u(x,y)的全微分, 因而 J[y(x)]= \int_{x_0}^{x_1} {(P+Qy')dx,} =\int_{x_0,y_0}^{x_1,y_1}{Pdx+Qdy,}= \int_{x_0,y_0}^{x_1,y_1}{du}=u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0)=const
此时变分失去意义。
例4. 讨论泛函
J[y(x)]= \int_{x_0}^{x_1} {(y+xy')dx},y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1的极值曲线。
解:此时,Euler方程成为恒等式,变分失去意义。
*
F=F(y'),F只依赖于y'
y
=0
,则y=c_1(x)+c_2是含有两个参数的直线簇。
若y≠0,则F_{y'y'}(y')=0,解之得,y'=k(常数),即,y=kx+c.这是含有一个参数的直线簇,它包含在前面的直线簇中。
例5. 在联接两点A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)的所有平面曲线中,试求长度最短的曲线。
解:问题可以化为在边界条件y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1下求泛函
J[y(x)]= \int_{x_0}^{x_1} {\sqrt (1+y'^2)dx}的极小值。
由于F=sqrt(1+y'^2)仅依赖于y',它的极值曲线为直线簇y=c_1(x)+c_2,代入边界条件确定c_1,c_2,得
y=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0).因此,所求最短曲线就是连接A,B两点的直线。
* F=F(x,y'),F不含y
此时,Euler方程为\frac{d}{dx}F_{y'}(x,y')=0,它的积分为F_{y'}(x,y')=c_1.这是不含y的一阶常微分方程,解此方程即得可能的极值曲线。
例6. 求泛函J[y]=\int_{x_0}^{x_1} {\frac{\sqrt {1+y'^2 }}{x}}dx,y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1,的极值曲线。
解:F=\frac{\sqrt {1+y'^2} }{x}的Euler方程为
\frac{d}{dx}\frac{y'}{x\sqrt {1+y'2} }=0
它的初积分为\frac{y'}{x\sqrt {1+y'^2} }=c,\Rightarrow x=\frac{y'}{c\sqrt {1+y'^2} }
y'=tant,则:
x=\frac{tant}{c\sqrt {tan^2t} }=\frac{1}{t}sint=c_1sint,c_1=\frac{1}{t}
dy=y'dx=tant\cdot c_1costdt=c_1sintdt,
y=-c_1cost+c_2.
故有,\left\{ {\begin{array}\ {x=c_1sint,}
{y=-c_1cost+c_2}
\end{array} } \right.

消去参数t,得,x^2+(y-c_2)^2=c_1^2.
这表示圆心在纵轴上的一簇圆,其中,c_1,c_2由边界条件确定。
<note important>edited by 杨冰(0921060)2010/05/22 </note>
例7. 求最速降线问题的解,即求
T=\int_{0}^{a} {\frac{\sqrt {1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}}dx,y(0)=0,y(a)=b,的极值曲线。
解:F=\frac{\sqrt {1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}不含x,故Euler方程具有初始积分y'F_{y'}=c,即
y'\frac{y'}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}}-\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}=c
化简,得y(1+y'^2)=c_1.
y'=cot\frac{t}{2},则
y=\frac{c_1}{1+y'^2}=c_1sin^2\frac{t}{2}=\frac{c_1}{2}(1-cost)
dx=\frac{dy}{y'}=\frac{\frac{c_1}{2}sint}{cot\frac{t}{2}}=\frac{c_1}{2}(1-cost)dt.

\left\{ {\begin{array}\ {x=\frac{c_1}{2}(t-sint)+c_2,}
{y= \frac{c_1}{2}\frac{c_1}{2}(1-cost)}.
\end{array} } \right.

由t=0时,x=0,得c_2=0,而c_1由y(a)=b定出。于是,最速降线问题的解为
\left\{ {\begin{array}\ {x=\frac{c_1}{2}(t-sint),}
{y= \frac{c_1}{2}\frac{c_1}{2}(1-cost)}.
\end{array} } \right.

摆线。这是一条过A,B两点的摆线。
例8. 求最小旋转面面积问题的解,即求泛函
S[y]=2π\int_{x_0}^{x_1}{y\sqrt{1+y'^2}}dx,y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1
的极值曲线。
解:Euler方程具有初积分y'F_{y'}=c,即
2πy \frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}}-2πy\sqrt{1+y'^2}=c
化简得,y=c\sqrt{1+y'^2}.
y'=sinht,代入上式得
y=c_1cosht,
dx=\frac{dy}{y'}=\frac{c_1sinht}{sinht}dt=c_1dt.
于是,所求曲面是由平面曲线
\left\{ {\begin{array}\ {x={c_1}t-c_2,}
{y= c_1cosht}.
\end{array} } \right.

绕OX轴旋转而成的,消去参数t,得
y=c_1cosh\frac{x-c_2}{c_1},
其中,c_1,c_2y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1确定,因此,最小曲面是悬链面。
====2.2. 含有多个未知函数的变分问题====
★含两个未知函数的泛函极值的必要条件
☆问题:
J[y(x),z(x)]=\int_{x_0}^{x_1}{F(x,y,z,y',z')}dx, (11)
其中,F关于所含变量具有二阶连续领导,容许曲线y(x),z(x)C^2[x_0,x_1],且满足边界条件:
\left\{ {\begin{array}\ {y(x_0)=y_0, y(x_1)=y_1,}
{z(x_0)=z_0, z(x_1)=z_1}.
\end{array} } \right.

☆极值的必要条件:使泛函J[y(x),z(x)]=\int_{x_0}^{x_1}{F(x,y,z,y',z')}dx达到极值的必要条件是,y(x),z(x)满足Eular方程组,即:
\left\{ {\begin{array}\ {F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0,}
{F_z-\frac{d}{dx}F_{z'}=0}.
\end{array} } \right.
(12)
☆例1.求泛函J[y,z]=\int_{0}^{\frac{π}{2}{(y'^2+z'^2+2yz)}}dx满足边界条件:
\left\{ {\begin{array}\ {y(x_0)=0, y(\frac{π}{2})=1,}
{z(x_0)=0, z(\frac{π}{2})=-1}.
\end{array} } \right.

的极值曲线。
解:F=y'^2+z'^2+2yz,故Eular方程组为:
\left\{ {\begin{array}\ {2z-\frac{d}{dx}(2y')=0,}
{2y-\frac{d}{dx}(2z')=0}.
\end{array} } \right.

得:
\left\{ {\begin{array}\ {z-y^{(2)}=0,}
{y-z^{(2)}=0}.
\end{array} } \right.

由此方程组消去z,得y^{(4)}-y=0,其通解为:
\left\{ {\begin{array}\ {y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3cosx+c_4sinx,}
{z=y''=c_1e^x+c_2e^{-x}-c_3cosx-c_4sinx}.
\end{array} } \right.

由边界条件可确定c_1=c_2=c_3=0,c_4=1,故,所求极值曲线为:
\left\{ {\begin{array}\ {y=sinx,}
{z=-sinx}.
\end{array} } \right.

<note> edited by 谭小球(0921062)2010/06/10</note>
★例2 求泛函J[y(x),z(x)]=\int_{x_0}^{x_1}{F(y',z')dx,} 的极值曲线,其中假设 F_{y'y'}-F^2_{y'z'} ≠0
解:因为F_y=F_z=0,故Euler方程组为
\left\{ {\begin{array}\ {\frac{d}{dx}(F_{y'})=0,}
{\frac{d}{dx}(F_{z'})=0}.
\end{array} } \right.

得:
\left\{ {\begin{array}\ {F_{y'y'}y”+F_{y'z'}z”=0,}
{F_{y'z'}y”+F_{z'z'}z”=0}.
\end{array} } \right.

根据假设条件,该方程只有零解y”=0,z”=0,即
\left\{ {\begin{array}\ {y=c_1x+c_2,}
{z=c_3x+c_4}.
\end{array} } \right.

是所求的极值曲线。
·含n(n>2)个未知函数的泛函极值的必要条件
泛函J=\int_{x_0}^{x_1}{F(x,y_1,y_2,…,y_n,y'_1,y'_2,…y'_n)dx,}在满足边界条件
\left\{ {\begin{array}\ {y_i(x_0)=y_{i0},}
{y_i(x_1)=y_{i1}},i=1,2,…n,
\end{array} } \right.

下,取得极值的必要条件是y_1(x),y_2(x),…,y_n(x),满足Euler方程组
F_{yi}-\frac{d}{dx}(F_{y'i})=0,i=1,2,…n.
上述方程组通解中的常数,可以由所给的边界条件确定。
<note> edited by 杨立春(10921048)2010/06/26</note>

keynote/lesson11.txt · Last modified: 2014/05/22 08:34 (external edit)