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+====== 第七课 ======
+=====第一节 数学基础 =====
+====数学基础—微分几何简介 ====
+  * 参数曲线：
+ {{:keynote:a1.jpg|}}
+  * 正则曲线：
+{{:keynote:a2.jpg|}}
+  * 曲线切线：
+ {{:keynote:a3.jpg|}}
+  * 弧长参数：
+如果曲线切线满足
+ {{:keynote:a4.jpg|}}
+则p表示曲线上以某点为标准的弧长。
+  * 曲线弧长公式：
+ {{:keynote:a5.jpg|}}
+  * 点积：
+ {{:keynote:a6.jpg|}}
+求导后：
+ {{:keynote:a7.jpg|}}
+  * 曲率：
+ {{:keynote:a8.jpg|}}
+  * 设T、N分别为曲线切线和发现，则Frenet公式为：
+ {{:keynote:a9.jpg|}}{{:keynote:a10.jpg|}}
+  * 曲率性质：旋转、平移不变，缩放变。某点曲率也就是该点对应圆半径的倒数。
+  * 平均曲率和高斯曲率：每个正则曲面都有两个主曲率。这两个的平均值就是平均曲率，两个的积是高斯曲率。
+ --- //[[dp@zju.edu.cn|杜鹏]] 2010/04/19 9:00//
+==== 数学基础—数学形态学 ====
+  * 是一个经典的基于几何的理论
+  * 广泛应用于图像处理
+=== 形态算子 ===
+   一组空间滤波操作
+   用于改变二值区域的形状
+       腐蚀：减少物体边界的象素数
+       膨胀：增加物体边界的象素数
+       复合方法
+          开：腐蚀，然后膨胀
+          闭：膨胀，然后腐蚀
+下面是一个图像效果例子：
+{{:keynote:7-1-1.jpg|}}
+== 膨胀与腐蚀（Dilation, Erosion） ==
+  * 数学形态学里面最重要的操作
+  * 腐蚀将图像的尺寸减少
+  * 膨胀增加图像的尺寸
+  * 可以用来消除图像上小的亮斑噪声和不规则的边
+腐蚀
+   定义：物体的颜色是白，背景是黑
+   定义腐蚀模板为
+     1     1
+     1     1
+     1     1
+   将模板与图像进行加操作
+   如果有，则结果为1，否则为0
+   模板的效果相当于去掉物体边界处的单个象素
+种情况:
+     当前处理象素为1，邻域象素为1－》1
+     当前处理象素为0，邻域象素为1－》0
+     当前处理象素为0，邻域象素为1、0的混合－》0
+     当前处理象素为1，邻域象素为1 、0的混合－》1
+原始图像到腐蚀后的图像变化效果如下图所示：
+{{:keynote:7-1-2.jpg|}}
+膨胀
+   膨胀是腐蚀的逆操作
+   模板文件是
+     0     0
+     0     0
+     0     0
+   其效果相当于在物体的边界添加单个象素
+种情况:
+     当前处理象素为0，邻域象素为0－》0
+     当前处理象素为1，邻域象素为1－》1
+     当前处理象素为1，邻域象素为1、0的混合－》1
+     当前处理象素为0，邻域象素为1 、0的混合－》1
+  逻辑操作算子是Or
+原始图像到膨胀后的图像变化效果如下图所示：
+{{:keynote:7-1-3.jpg|}}
+== 开操作与闭操作 ==
+开操作
+   开操作相当于先做腐蚀操作，再做膨胀操作
+   效果相当于去掉单个象素，但是保留原来的形状何尺寸。
+原始图像到开操作后的图像变化效果如下图所示：
+{{:keynote:7-1-4.jpg|}}
+闭操作
+   闭操作是开操作的逆操作
+   先膨胀，然后腐蚀
+   它可以用来填补一些小洞
+原始图像到闭操作后的图像变化效果如下图所示：
+{{:keynote:7-1-5.jpg|}}
+轮廓抽取
+   先做腐蚀操作， 再将腐蚀结果图像减去原始图像
+效果如下图所示：
+{{:keynote:7-1-6.jpg|}}
+=== 数学形态学 ===
+{{:keynote:7-1-7.jpg|}}
+=== 形态学与曲线演化===
+{{:keynote:7-1-8.jpg|}}
+法线速度的一般表示:
+{{:keynote:7-1-9.jpg|}}
+例子：
+{{:keynote:7-1-10.jpg|}}
+--- //[[fireofdreams@163.com|王锋]] 2010/04/19 10:18//
+==== 数学基础—隐函数，距离函数 ====
+=== 隐函数 ===
+隐函数(implicit function)：自变量和因变量之间的法则是由一个方程式所确定
+             F(x,y)=0
+            y=y(x)
+例子:   x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>-1=0
+=== 距离场函数 ===
+距离函数定义:\\
+{{:keynote:k1.jpg|}}
+距离函数的性质：  {{:keynote:7-3-2.jpg|}}\\
+带符号的距离场隐函数：\\
+{{:keynote:7-3-3.jpg|}}\\ {{:keynote:7-3-4.jpg|}}\\ {{:keynote:7-3-5.jpg|}}\\
+例子: {{:keynote:7-3-6.jpg|}}\\ {{:keynote:7-3-7.jpg|}}
+ --- //[[kangjj628@163.com|康菁菁]] 2010/04/23 10:58//
+==== 动态可变形模型 ====
+=== Snake是什么? ===
+  * 动态轮廓模型; 参数模型
+  * 由Kass,Witkin和Terzopoulos在1987年提出
+  * 能量最小化模式
+  * 决定于它的形状和图像内部的位置
+=== 传统的Snake模型 ===
+Snake模型 (1987) [Kass-Witkin-Terzopoulos]
+  * 平面的参数化曲线 C:R→R×R
+  * 沿着这条曲线的成本函数
+{{:keynote:7-3-10.jpg|}}
+  * 内部项(internal term)表示
+  * 图像项(image term)引导轮廓线向目标图像属性变化(强梯度)
+  * 外部项(external term)可以用来说明用户定义的约束，或者是对所重建的结构的一些先验知识
+  * 这个成本函数的最小化是对以上这几项的平衡考虑
+=== 动态轮廓模型的组成部分 ===
+内部项(internal term)：\\
+{{:keynote:7-3-11.jpg|}}
+  * 一阶导数使得snake像膜一样运动
+  * 二阶导数使得snake像薄片一样运动
+图像项(image term)：\\
+{{:keynote:7-3-12.jpg|}}
+  * 可以引导snake变化成
+    * 等值线{{:keynote:7-3-13.jpg|}}，边界线{{:keynote:7-3-14.jpg|}}，或终止。
+其他的约束...：气球模型，区域snake...
+=== 内力 ===
+  * 弹力(alpha力)——向内拉
+{{:keynote:7-3-15.jpg|}}
+  * 弯曲力(beta力)——对曲线进行平滑而不是收缩
+{{:keynote:7-3-16.jpg|}}
+=== 外力 ===
+  * 图像梯度力
+  * 是不同snake模型之间的主要区别
+  * 传统snake模型的F<sub>ext</sub> ：{{:keynote:7-3-18.jpg|}}
+  * 怎样选择E<sub>ext</sub>——在边界上呈现更小的值
+{{:keynote:7-3-19.jpg|}}
+=== 优化动态轮廓 ===
+运用Euler-Lagrange方程\\
+{{:keynote:7-3-22.jpg|}}\\
+用来更新从原始曲线向目标图像变化过程中的位置
+  * 初始化曲线，用一定数量的控制点和一个基本函数集
+  * 解上面的方程，然后更新控制点的位置
+  * 重新设置更新后的曲线的参数，然后继续以上的步骤直到收敛
+参数动态轮廓:
+  * 用一系列的点表示
+  * 每个点迭代变化位置
+{{:keynote:7-3-23.jpg|}}\\
+几何动态轮廓:
+  * 用一系列系数表示
+  * 在每一轮迭代之前采样
+  * 每个样本都发生变化
+  * 计算新的参数(插值)
+{{:keynote:7-3-24.jpg|}}
+=== 动态可变形模型 ===
+经典的可变形模型－snakes
+  * 假设：物体在图像中的边界是分段连续或光滑的，并且用参数表示为{{:keynote:7-3-25.jpg|}}
+  * 轮廓的能量约束表示为{{:keynote:7-3-26.jpg|}}
+    * 其中S表示对边界线的内部约束，P表示对边界线的外部约束
+    * S可以定义为{{:keynote:7-3-27.jpg|}}\\ 分别表示对曲线的张量和硬度的限制
+    * P可以定义为{{:keynote:7-3-28.jpg|}}\\ 表示曲线被吸引到梯度大(可能是边界)的区域
+  * 上式的Euler-Lagrange方程为\\ {{:keynote:7-3-29.jpg|}}
+动态snake
+  * 经典的snake是一个静态问题，如果将问题的求解看作是曲线的演化，曲线变为{{:keynote:7-3-31.jpg|}}则上面问题可以化为 \\ {{:keynote:7-3-32.jpg|}}\\ 该式的稳定解就是原静态问题的解，其中前两项可以看作曲线的惯性力和粘滞力。
+动态可变形模型的求解
+  * 一般的方法式将几何模型v表示为局部或全局基函数的线性组合(利用有限元法，有限差分法，或者样条函数法等)，然后将问题转化为求解线性参数。
+  * 一般的形式为\\ {{:keynote:7-3-34.jpg|}}\\ 其中K叫做刚性矩阵。最后的方程可以化为一个二次常微分形式\\ {{:keynote:7-3-35.jpg|}}
+=== 传统snake模型存在的问题 ===
+  * 捕捉范围
+  * 收敛性不好\\ {{:keynote:7-3-36.jpg|}}
+=== 外力——气球(balloons) ===
+  * L.D.Cohen and I.Cohen,1993
+  * 将曲线向外推\\ {{:keynote:7-3-37.jpg|}}
+  * 问题：收敛性不好\\ {{:keynote:7-3-38.jpg|}}
+=== 外力——GVF ===
+  * C Xu and J.L.Prince,1998
+  * GVF(gradient vector flow 梯度向量流):{{:keynote:7-3-39.jpg|}}
+  * 边界图: {{:keynote:7-3-40.jpg|}}
+  * 能量最小化: {{:keynote:7-3-41.jpg|}}
+=== 结果 ===
+{{:keynote:7-3-43.jpg|}}
+=== 更多有关snake模型... ===
+  * snake模型不改变拓扑信息
+  * 其他模型：
+    * 带有拓扑控制的snake模型---Stephan Bischoff, Leif Kobbelt
+  * 更高维的模型：
+    * GVF—C.Xu,98
+    * L.Cohen,95
+    * ...
+ --- //[[kangjj628@163.com|康菁菁]] 2010/04/23 11:10//

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