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keynote:lesson07 [2010/04/23 12:12] 10921037 |
keynote:lesson07 [2023/08/19 21:02] |
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- | ====== 第七课 ====== | ||
- | =====第一节 数学基础 ===== | ||
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- | ====数学基础—微分几何简介 ==== | ||
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- | * 参数曲线: | ||
- | {{:keynote:a1.jpg|}} | ||
- | * 正则曲线: | ||
- | {{:keynote:a2.jpg|}} | ||
- | * 曲线切线: | ||
- | {{:keynote:a3.jpg|}} | ||
- | * 弧长参数: | ||
- | 如果曲线切线满足 | ||
- | {{:keynote:a4.jpg|}} | ||
- | 则p表示曲线上以某点为标准的弧长。 | ||
- | * 曲线弧长公式: | ||
- | {{:keynote:a5.jpg|}} | ||
- | * 点积: | ||
- | {{:keynote:a6.jpg|}} | ||
- | 求导后: | ||
- | {{:keynote:a7.jpg|}} | ||
- | * 曲率: | ||
- | {{:keynote:a8.jpg|}} | ||
- | * 设T、N分别为曲线切线和发现,则Frenet公式为: | ||
- | {{:keynote:a9.jpg|}}{{:keynote:a10.jpg|}} | ||
- | * 曲率性质:旋转、平移不变,缩放变。某点曲率也就是该点对应圆半径的倒数。 | ||
- | * 平均曲率和高斯曲率:每个正则曲面都有两个主曲率。这两个的平均值就是平均曲率,两个的积是高斯曲率。 | ||
- | --- //[[dp@zju.edu.cn|杜鹏]] 2010/04/19 9:00// | ||
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- | ==== 数学基础—数学形态学 ==== | ||
- | * 是一个经典的基于几何的理论 | ||
- | * 广泛应用于图像处理 | ||
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- | === 形态算子 === | ||
- | 一组空间滤波操作 | ||
- | 用于改变二值区域的形状 | ||
- | 腐蚀:减少物体边界的象素数 | ||
- | 膨胀:增加物体边界的象素数 | ||
- | 复合方法 | ||
- | 开:腐蚀,然后膨胀 | ||
- | 闭:膨胀,然后腐蚀 | ||
- | 下面是一个图像效果例子: | ||
- | {{:keynote:7-1-1.jpg|}} | ||
- | |||
- | == 膨胀与腐蚀(Dilation, Erosion) == | ||
- | * 数学形态学里面最重要的操作 | ||
- | * 腐蚀将图像的尺寸减少 | ||
- | * 膨胀增加图像的尺寸 | ||
- | * 可以用来消除图像上小的亮斑噪声和不规则的边 | ||
- | |||
- | 腐蚀 | ||
- | 定义:物体的颜色是白,背景是黑 | ||
- | 定义腐蚀模板为 | ||
- | 1 1 1 | ||
- | 1 1 1 | ||
- | 1 1 1 | ||
- | 将模板与图像进行加操作 | ||
- | 如果有,则结果为1,否则为0 | ||
- | |||
- | 模板的效果相当于去掉物体边界处的单个象素 | ||
- | 4种情况: | ||
- | 当前处理象素为1,邻域象素为1-》1 | ||
- | 当前处理象素为0,邻域象素为1-》0 | ||
- | 当前处理象素为0,邻域象素为1、0的混合-》0 | ||
- | 当前处理象素为1,邻域象素为1 、0的混合-》1 | ||
- | |||
- | 原始图像到腐蚀后的图像变化效果如下图所示: | ||
- | {{:keynote:7-1-2.jpg|}} | ||
- | | ||
- | 膨胀 | ||
- | 膨胀是腐蚀的逆操作 | ||
- | 模板文件是 | ||
- | 0 0 0 | ||
- | 0 0 0 | ||
- | 0 0 0 | ||
- | 其效果相当于在物体的边界添加单个象素 | ||
- | |||
- | 4种情况: | ||
- | 当前处理象素为0,邻域象素为0-》0 | ||
- | 当前处理象素为1,邻域象素为1-》1 | ||
- | 当前处理象素为1,邻域象素为1、0的混合-》1 | ||
- | 当前处理象素为0,邻域象素为1 、0的混合-》1 | ||
- | 逻辑操作算子是Or | ||
- | |||
- | 原始图像到膨胀后的图像变化效果如下图所示: | ||
- | {{:keynote:7-1-3.jpg|}} | ||
- | |||
- | == 开操作与闭操作 == | ||
- | 开操作 | ||
- | 开操作相当于先做腐蚀操作,再做膨胀操作 | ||
- | 效果相当于去掉单个象素,但是保留原来的形状何尺寸。 | ||
- | |||
- | 原始图像到开操作后的图像变化效果如下图所示: | ||
- | {{:keynote:7-1-4.jpg|}} | ||
- | | ||
- | 闭操作 | ||
- | 闭操作是开操作的逆操作 | ||
- | 先膨胀,然后腐蚀 | ||
- | 它可以用来填补一些小洞 | ||
- | |||
- | 原始图像到闭操作后的图像变化效果如下图所示: | ||
- | {{:keynote:7-1-5.jpg|}} | ||
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- | 轮廓抽取 | ||
- | 先做腐蚀操作, 再将腐蚀结果图像减去原始图像 | ||
- | 效果如下图所示: | ||
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- | {{:keynote:7-1-6.jpg|}} | ||
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- | === 数学形态学 === | ||
- | {{:keynote:7-1-7.jpg|}} | ||
- | |||
- | === 形态学与曲线演化=== | ||
- | {{:keynote:7-1-8.jpg|}} | ||
- | |||
- | 法线速度的一般表示: | ||
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- | {{:keynote:7-1-9.jpg|}} | ||
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- | 例子: | ||
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- | {{:keynote:7-1-10.jpg|}} | ||
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- | --- //[[fireofdreams@163.com|王锋]] 2010/04/19 10:18// | ||
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- | ==== 数学基础—隐函数,距离函数 ==== | ||
- | === 隐函数 === | ||
- | 隐函数(implicit function):自变量和因变量之间的法则是由一个方程式所确定 | ||
- | F(x,y)=0 | ||
- | y=y(x) | ||
- | 例子: | ||
- | {{:keynote:7-3-1.jpg|}} | ||
- | === 距离场函数 === | ||
- | 距离函数定义:\\ | ||
- | {{:keynote:k1.jpg|}} | ||
- | |||
- | 距离函数的性质: {{:keynote:7-3-2.jpg|}}\\ | ||
- | 带符号的距离场隐函数:\\ | ||
- | {{:keynote:7-3-3.jpg|}}\\ {{:keynote:7-3-4.jpg|}}\\ {{:keynote:7-3-5.jpg|}}\\ | ||
- | 例子: {{:keynote:7-3-6.jpg|}}\\ {{:keynote:7-3-7.jpg|}} | ||
- | |||
- | |||
- | --- //[[kangjj628@163.com|康菁菁]] 2010/04/23 10:58// | ||
- | |||
- | ==== 动态可变形模型 ==== | ||
- | === Snake是什么? === | ||
- | * 动态轮廓模型; 参数模型 | ||
- | * 由Kass,Witkin和Terzopoulos在1987年提出 | ||
- | * 能量最小化模式 | ||
- | * 决定于它的形状和图像内部的位置 | ||
- | === 传统的Snake模型 === | ||
- | Snake模型 (1987) [Kass-Witkin-Terzopoulos] | ||
- | * 平面的参数化曲线 C:R→R×R | ||
- | * 沿着这条曲线的成本函数 | ||
- | {{:keynote:7-3-10.jpg|}} | ||
- | * 内部项(internal term)表示 | ||
- | * 图像项(image term)引导轮廓线向目标图像属性变化(强梯度) | ||
- | * 外部项(external term)可以用来说明用户定义的约束,或者是对所重建的结构的一些先验知识 | ||
- | * 这个成本函数的最小化是对以上这几项的平衡考虑 | ||
- | === 动态轮廓模型的组成部分 === | ||
- | 内部项(internal term):\\ | ||
- | {{:keynote:7-3-11.jpg|}} | ||
- | * 一阶导数使得snake像膜一样运动 | ||
- | * 二阶导数使得snake像薄片一样运动 | ||
- | 图像项(image term):\\ | ||
- | {{:keynote:7-3-12.jpg|}} | ||
- | * 可以引导snake变化成 | ||
- | * 等值线{{:keynote:7-3-13.jpg|}},边界线{{:keynote:7-3-14.jpg|}},或终止。 | ||
- | 其他的约束...:气球模型,区域snake... | ||
- | === 内力 === | ||
- | * 弹力(alpha力)——向内拉 | ||
- | {{:keynote:7-3-15.jpg|}} | ||
- | * 弯曲力(beta力)——对曲线进行平滑而不是收缩 | ||
- | {{:keynote:7-3-16.jpg|}} | ||
- | === 外力 === | ||
- | * 图像梯度力 | ||
- | * 是不同snake模型之间的主要区别 | ||
- | * 传统snake模型的F<sub>ext</sub> :{{:keynote:7-3-18.jpg|}} | ||
- | * 怎样选择E<sub>ext</sub>——在边界上呈现更小的值 | ||
- | {{:keynote:7-3-19.jpg|}} | ||
- | === 优化动态轮廓 === | ||
- | 运用Euler-Lagrange方程\\ | ||
- | {{:keynote:7-3-22.jpg|}}\\ | ||
- | 用来更新从原始曲线向目标图像变化过程中的位置 | ||
- | * 初始化曲线,用一定数量的控制点和一个基本函数集 | ||
- | * 解上面的方程,然后更新控制点的位置 | ||
- | * 重新设置更新后的曲线的参数,然后继续以上的步骤直到收敛 | ||
- | 参数动态轮廓: | ||
- | * 用一系列的点表示 | ||
- | * 每个点迭代变化位置 | ||
- | {{:keynote:7-3-23.jpg|}}\\ | ||
- | 几何动态轮廓: | ||
- | * 用一系列系数表示 | ||
- | * 在每一轮迭代之前采样 | ||
- | * 每个样本都发生变化 | ||
- | * 计算新的参数(插值) | ||
- | {{:keynote:7-3-24.jpg|}} | ||
- | === 动态可变形模型 === | ||
- | 经典的可变形模型-snakes | ||
- | * 假设:物体在图像中的边界是分段连续或光滑的,并且用参数表示为{{:keynote:7-3-25.jpg|}} | ||
- | * 轮廓的能量约束表示为{{:keynote:7-3-26.jpg|}} | ||
- | * 其中S表示对边界线的内部约束,P表示对边界线的外部约束 | ||
- | * S可以定义为{{:keynote:7-3-27.jpg|}}\\ 分别表示对曲线的张量和硬度的限制 | ||
- | * P可以定义为{{:keynote:7-3-28.jpg|}}\\ 表示曲线被吸引到梯度大(可能是边界)的区域 | ||
- | * 上式的Euler-Lagrange方程为\\ {{:keynote:7-3-29.jpg|}} | ||
- | 动态snake | ||
- | * 经典的snake是一个静态问题,如果将问题的求解看作是曲线的演化,曲线变为{{:keynote:7-3-31.jpg|}}则上面问题可以化为 \\ {{:keynote:7-3-32.jpg|}}\\ 该式的稳定解就是原静态问题的解,其中前两项可以看作曲线的惯性力和粘滞力。 | ||
- | 动态可变形模型的求解 | ||
- | * 一般的方法式将几何模型v表示为局部或全局基函数的线性组合(利用有限元法,有限差分法,或者样条函数法等),然后将问题转化为求解线性参数。 | ||
- | * 一般的形式为\\ {{:keynote:7-3-34.jpg|}}\\ 其中K叫做刚性矩阵。最后的方程可以化为一个二次常微分形式\\ {{:keynote:7-3-35.jpg|}} | ||
- | === 传统snake模型存在的问题 === | ||
- | * 捕捉范围 | ||
- | * 收敛性不好\\ {{:keynote:7-3-36.jpg|}} | ||
- | === 外力——气球(balloons) === | ||
- | * L.D.Cohen and I.Cohen,1993 | ||
- | * 将曲线向外推\\ {{:keynote:7-3-37.jpg|}} | ||
- | * 问题:收敛性不好\\ {{:keynote:7-3-38.jpg|}} | ||
- | === 外力——GVF === | ||
- | * C Xu and J.L.Prince,1998 | ||
- | * GVF(gradient vector flow 梯度向量流):{{:keynote:7-3-39.jpg|}} | ||
- | * 边界图: {{:keynote:7-3-40.jpg|}} | ||
- | * 能量最小化: {{:keynote:7-3-41.jpg|}} | ||
- | === 结果 === | ||
- | {{:keynote:7-3-43.jpg|}} | ||
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- | === 更多有关snake模型... === | ||
- | * snake模型不改变拓扑信息 | ||
- | * 其他模型: | ||
- | * 带有拓扑控制的snake模型---Stephan Bischoff, Leif Kobbelt | ||
- | * 更高维的模型: | ||
- | * GVF—C.Xu,98 | ||
- | * L.Cohen,95 | ||
- | * ... | ||
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- | --- //[[kangjj628@163.com|康菁菁]] 2010/04/23 11:10// | ||
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