keynote:lesson05
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| <jsmath>u(0,x) = f(x),\quad 0<x<a </jsmath> | <jsmath>u(0,x) = f(x),\quad 0<x<a </jsmath> | ||
| <jsmath>u_t(0,x) = g(x), \quad 0<x<a </jsmath> | <jsmath>u_t(0,x) = g(x), \quad 0<x<a </jsmath> | ||
| + | --- //[[1@1|杨学连]] 2010/05/23 19:43// | ||
| ===热传导方程式=== | ===热传导方程式=== | ||
| Line 99: | Line 100: | ||
| Poisson 方程 | Poisson 方程 | ||
| <jsmath>{\partial^2u \over \partial x^2} + {\partial^2u \over \partial y^2} = f(x,y)</jsmath> | <jsmath>{\partial^2u \over \partial x^2} + {\partial^2u \over \partial y^2} = f(x,y)</jsmath> | ||
| + | f=0时称为Laplace方程或调和方程 | ||
| + | 表达势函数与场强之间关系的方程 | ||
| + | ==注意== | ||
| + | 波动方程描述的是能量可转换的情况，而热的传导或扩散是不可逆的过程，古典的变分原理不能应用，但能量守恒定律依然适用，还有一些偏微分方程可以应用质量守恒定律得到，这些都是从物理定律出发得到的偏微分方程，因此，又常常称为数学物理方程。\\ | ||
| + | --- //[[1@1|杨学连]] 2010/05/23 19:43// | ||
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| =====偏微分方程的求解===== | =====偏微分方程的求解===== | ||
| + | ===有限元法的原理（加权余量法和变分法）=== | ||
| + | ==解析法== | ||
| + | 应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分方程）某些复杂问题，很可能根本找不到解析解。 | ||
| + | ==数值法== | ||
| + | 工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可以找到数值解（数学方法）。 | ||
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| + | ===数值求解方法=== | ||
| + | ==基本思想== | ||
| + | 以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。 | ||
| + | ==基本方法== | ||
| + | 假设一个近似解，该解一组（形式上）简单函数的线性组合来表示，线性组合的系数就是一组待定系数\\ | ||
| + | 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解和近似解间误差的目标函数$F$\\ | ||
| + | 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了待定系数，从而也就得到了问题的近似解。 | ||
| + | ==目标函数最小化的目的== | ||
| + | * 一方面，使得近似解最大程度接近真解；\\ | ||
| + | * 另一方面，求得构成近似解的待定系数。\\ \\ | ||
| + | 数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。 | ||
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| + | ===电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法=== | ||
| + | 电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述 | ||
| + | <jsmath> | ||
| + | \nabla^2\vec A - \mu\varepsilon{\partial^2\vec A \over \partial t^2} = -\mu\vec J | ||
| + | </jsmath> | ||
| + | |||
| + | <jsmath> | ||
| + | \nabla^2\Phi - \mu\varepsilon{\partial^2\Phi \over \partial t^2} = - {\rho \over \varepsilon} | ||
| + | </jsmath> | ||
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| + | 两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢量的方程可以分解到个分量上变为标量方程。 | ||
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| + | ==加权余量法== | ||
| + | 在求解场域内，偏微分方程的真解为$\Phi$，近似解为$\bar\Phi$它由一组简单函数$\psi$的线性组合表达，表达中有待定x系数$C_i$ 即： | ||
| + | <jsmath>\bar\Phi = \sum_{i=1}^nC_i\psi_i</jsmath> | ||
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| + | 加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设法使其最小的方法。 | ||
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| + | ==加权余量法误差（即余数）的定义：== | ||
| + | 场域$\Omega$内：$R_\Omega = \nabla^2\bar\Phi - \nabla^2\Phi$ \\ | ||
| + | 边界$\Gamma$上：$R_\Gamma = \bar\Phi_{(\Gamma)}-\Phi_{(\Gamma)}$ | ||
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| + | ==注意：== | ||
| + | 般余数并不表示近似解与真解间的差（场域内），加权余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表近似解接近偏微分方程真解的程度。\\ \\ | ||
| + | 当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 \\ | ||
| + | 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。\\ | ||
| + | |||
| + | 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加权函数的积分为0。－－“加权余量法”的来由。 | ||
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| + | 目标函数： | ||
| + | <jsmath>\int_\Omega w_jR_\Omega d\Omega + \int_\Gamma w_j^*R_\Gamma d\Gamma, \quad\quad j = 1,2,...</jsmath> | ||
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| + | --- //[[1@1|杨学连]] 2010/05/23 19:37// | ||
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