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keynote:lesson05

第五课 偏微分方程导引

微分方程的历史

微积分方程这门学科产生于十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。 和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容。 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶,他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

数值方法

微分方程的另一个主要的推动力是有效的数值算法。比如Carl Runge在微分方程数值解上的贡献,著名的Runge-Kutta方法现在依然在被使用。到了20世纪后半叶,由于计算机技术的发展,许多数学家和计算机学家在用微分方程数值解方面做了许多工作。

总结

  • 微分方程涉及及物理等学科的各个方面。它的进步是和生产实践分不开的。
  • 微分方程的发展是和微积分的发展密切相关的。
  • 近代的计算机技术使得微分方程数值解成为可能。

微积分初步

曲线积分

弧长曲线积分

实例:

曲线形构件的质量
\widehat{A B}的线密度\rho (x,y)连续,求 \widehat{A B} 的质量\mathbf{M}
匀质之质量:\mathbf{M} = \rho * s
分割M_1, M_2,…,M_{n-1}. \Delta s_i 表示 \widehat{M_{i-1} M_i} 的长度。
取近似 \Delta M_i \approx \rho (\xi_i , \eta _i) * \Delta s_i
求和 \mathbf{M} \approx \sum _{i=1}^n \rho(\xi_i,\eta_i)* \Delta s_i
取极限 \mathbf{M} = \lim_{\lambda \to 0} \sum _{i=1}^n \rho(\xi_i,\eta_i)* \Delta s_i

定义

定义: 设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界,在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds,又Mi(x,y)是L上的任一点,作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds,记λ=max(ds) ,若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在,且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关,则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分,记为:∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分曲线,对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

性质

1. \int_{L}[f(x,y)\pm g(x,y)] ds = \int_{L}f(x,y)ds \pm \int_{L}g(x,y) ds
2. \int_Lkf(x,y)ds = k\int_Lf(x,y) ds k为常数
3. \int_{L_1 + L_2}f(x,y)ds = \int_{L_1}f(x,y)ds + \int_{L_2}f(x,y)ds

坐标曲线积分

实例
定义

设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,P(x,y),Q(x,y)在L上有界,在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把分成个有向小弧段 \widehat{M_{i-1}M_i} (i=1,2,…,n; M0=A, M_n = B ),设 \Delta x_i = x_i - x_{i-1}, \Delta y_i = y_i - y_{i-1},当各段小弧长度最大值λ→0时候 \sum_{i=1}^n P(x_i,y_i) \Delta x_i 存在,则称极限值为f(x,y)在L上对坐标x的曲线积分,记为: \int_L P(x,y)dx = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n P(x_i,y_i) \Delta x_i .
类似的定义\int_L Q(x,y)dy = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n Q(x_i,y_i) \Delta y_i
P、Q被称为被积函数,L叫积分弧段。 存在条件:当P、Q在光滑线弧L上连续时,第二类曲线积分存在。
组合形式: \int_L P(x,y)dx + \int_L Q(x,y)dy = \int_L{P(x,y) dx + Q(x,y) dy} = \int_L \vec F \cdot \vec d s .\\其中 \vec F = P\vec i + Q \vec j, \vec ds = dx \vec i + dy \vec j.

性质

1. \int_{L_1+L_2}{Pdx + Qdy} = \int_{L_1}{Pdx+Qdy} + \int_{L_2}{Pdx + Qdy}
2. \int_{-L}{Pdx} = -\int_{L}{Pdx}, \int_{-L}{Qdy} = -\int_{L}{Qdy}
\int_{-L}{Pdx + Qdy} = -\int_{L}{Pdx+Qdy}

两类曲线积分之间的联系

\int_L Pdx+Qdy = \int_L(P cos \alpha + Q cos \beta)ds

格林公式

在物理学与数学中, 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为D的双重积分。 格林定理是斯托克斯定理的二维特例,以英国数学家乔治·格林(George Green)命名。 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有

\int\int_D(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \oint_{L^+} P dx + Q dy
其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。
此公式叫做格林公式,它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。

参数曲线积分

曲面积分

====== 数学上,曲面积分(面积分)是在曲面上的定积分(曲面可以是空间中的弯曲子集);它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面,可以在上面对标量场(也即,返回数值的函数)进行积分,也可以对向量场(也即,返回向量值的函数)积分。 面积分在物理中有大量应用,特别是在电磁学的经典理论中。(维基百科定义)先看一个例子(图1):设有一构件占空间曲面Σ,其质量分布密度函数为(密度分布)ρ(x,y,z),求构件的质量。 同样,对于密度不均匀的物件,也不可以直接利用ρS(这里的S代表的是面积,下同)处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题,就需要利用曲面积分;dm=ρ(x,y,z)*ds;m=∫ρ(x,y,z)*ds,就是对面积的曲面积分。设曲面Σ是光滑的,函数f(x,y,z)在Σ上有界.把Σ分成n小块Δsi(Δsi同时也表示第i小块曲面的面积),设点(ξ_i,η_i,zeta_i)为Δsi上任意取定的点,作乘积f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)•Δsi , 并作和 \sum _{i=1}^n \rho(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)* \Delta s_i

图图5_1

若当各小块曲面直径的最大值λ→0时, 和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面Σ上对面积的曲面积分或第一类曲面积分. 记为 图5_2====

坐标曲面积分

观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面法向量的指向决定曲面的侧,决定了侧的曲面称为有向曲面

微分方程基本概念

基本的微分方程

拉普拉斯方程

u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0
适用于重力场或静电场。

泊松方程

u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f(x,y,z)
适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。

波动方程式

未知函數 u(x,y,z,t):

u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )
\ddot u=c^2\nabla^2u

双曲线方程

定义

u_{tt} - a^2\triangle u = f
一维齐次情况
u_{tt} - a^2u_{xx} = 0
边界条件
u(t,0) = \alpha(t)
u(t,a) = \beta(t)
初始条件
u(0,x) = f(x),\quad 0<x<a
u_t(0,x) = g(x), \quad 0<x<a
杨学连 2010/05/23 19:43

热传导方程式

u_t = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )

其中 k 代表該材料的熱導率

椭圆方程(位势方程)

Poisson 方程

{\partial^2u \over \partial x^2} + {\partial^2u \over \partial y^2} = f(x,y)
f=0时称为Laplace方程或调和方程 表达势函数与场强之间关系的方程

注意

波动方程描述的是能量可转换的情况,而热的传导或扩散是不可逆的过程,古典的变分原理不能应用,但能量守恒定律依然适用,还有一些偏微分方程可以应用质量守恒定律得到,这些都是从物理定律出发得到的偏微分方程,因此,又常常称为数学物理方程。
杨学连 2010/05/23 19:43


偏微分方程的求解

有限元法的原理(加权余量法和变分法)

解析法

应用范围有限,适用于理论求解,但有强烈的物理含义(常系数微分方程)某些复杂问题,很可能根本找不到解析解。

数值法

工程实际中应用广泛,复杂场域问题,但物理含义不很清楚。任何问题总可以找到数值解(数学方法)。

数值求解方法

基本思想

以偏微分方程的近似解来代替其真解,只要近似解与真解足够接近,就可以近似解作为问题的解,并满足足够的精度。

基本方法

假设一个近似解,该解一组(形式上)简单函数的线性组合来表示,线性组合的系数就是一组待定系数
然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解和近似解间误差的目标函数F
用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了待定系数,从而也就得到了问题的近似解。

目标函数最小化的目的
  • 一方面,使得近似解最大程度接近真解;
  • 另一方面,求得构成近似解的待定系数。

数学上,构成目标函数的方法很多,不同的构成方法就形成了不同的数值解法,电磁场中就常见的是:加权余量法和变分法。

电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法-加权余量法

电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述

\nabla^2\vec A - \mu\varepsilon{\partial^2\vec A \over \partial t^2} = -\mu\vec J

\nabla^2\Phi - \mu\varepsilon{\partial^2\Phi \over \partial t^2} = - {\rho \over \varepsilon}

两个偏微分方程形式相同,故以电位方程的求解过程为例。磁位矢量的方程可以分解到个分量上变为标量方程。

加权余量法

在求解场域内,偏微分方程的真解为\Phi,近似解为\bar\Phi它由一组简单函数\psi的线性组合表达,表达中有待定x系数C_i 即:

\bar\Phi = \sum_{i=1}^nC_i\psi_i

加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差(即余数),并设法使其最小的方法。

加权余量法误差(即余数)的定义:

场域\Omega内:R_\Omega = \nabla^2\bar\Phi - \nabla^2\Phi
边界\Gamma上:R_\Gamma = \bar\Phi_{(\Gamma)}-\Phi_{(\Gamma)}

注意:

般余数并不表示近似解与真解间的差(场域内),加权余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别(即余数),来代表近似解接近偏微分方程真解的程度。

当余数小于要求的精度时,就可以认为近似解就是偏微分方程的解。
要减少余数,我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。

为有效表达减小余数的效果,还选取适当的加权函数,以使余数和该加权函数的积分为0。--“加权余量法”的来由。

目标函数:

\int_\Omega w_jR_\Omega d\Omega + \int_\Gamma w_j^*R_\Gamma d\Gamma, \quad\quad j = 1,2,…

杨学连 2010/05/23 19:37

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