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--- keynote:lesson05 [2010/05/23 18:08]
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-====== 第五课 偏微分方程导引 ======
-=====微分方程的历史=====
-微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
-和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
-偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
-====数值方法====
-微分方程的另一个主要的推动力是有效的数值算法。比如Carl Runge在微分方程数值解上的贡献，著名的Runge-Kutta方法现在依然在被使用。到了20世纪后半叶，由于计算机技术的发展，许多数学家和计算机学家在用微分方程数值解方面做了许多工作。
-====总结====
-  * 微分方程涉及及物理等学科的各个方面。它的进步是和生产实践分不开的。
-  * 微分方程的发展是和微积分的发展密切相关的。
-  * 近代的计算机技术使得微分方程数值解成为可能。
-=====微积分初步=====
-====曲线积分====
-===弧长曲线积分===
-==实例:==
-曲线形构件的质量\\ $ \widehat{A B}$的线密度$\rho (x,y)$连续,求 $ \widehat{A B}$ 的质量$\mathbf{M}$。\\ 匀质之质量：$\mathbf{M} = \rho * s $ \\ 分割$M_1, M_2,...,M_{n-1}.$ $ \Delta s_i $表示 $ \widehat{M_{i-1} M_i} $的长度。\\ 取近似 $ \Delta M_i \approx \rho (\xi_i , \eta _i) * \Delta s_i $ \\ 求和 $ \mathbf{M} \approx \sum _{i=1}^n \rho(\xi_i,\eta_i)* \Delta s_i $ \\ 取极限 $\mathbf{M} = \lim_{\lambda \to 0} \sum _{i=1}^n \rho(\xi_i,\eta_i)* \Delta s_i  $
-==定义==
-定义：
-设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
-==性质==
-. $ \int_{L}[f(x,y)\pm g(x,y)] ds =  \int_{L}f(x,y)ds \pm \int_{L}g(x,y) ds  $\\
-. $ \int_Lkf(x,y)ds = k\int_Lf(x,y) ds $ k为常数\\
-. $ \int_{L_1 + L_2}f(x,y)ds = \int_{L_1}f(x,y)ds + \int_{L_2}f(x,y)ds $\\
-===坐标曲线积分===
-==实例==
-==定义==
-设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,P(x,y)，Q(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把分成个有向小弧段$ \widehat{M_{i-1}M_i} $ (i=1,2,...,n; M0=A, $ M_n = B $)，设 $ \Delta x_i = x_i - x_{i-1}, \Delta y_i = y_i - y_{i-1}$，当各段小弧长度最大值λ→0时候$ \sum_{i=1}^n P(x_i,y_i) \Delta x_i $存在，则称极限值为f(x,y)在L上对坐标x的曲线积分，记为: $\int_L P(x,y)dx = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n P(x_i,y_i) \Delta x_i $.\\ 类似的定义$\int_L Q(x,y)dy = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n Q(x_i,y_i) \Delta y_i $\\ P、Q被称为被积函数，L叫积分弧段。
-存在条件：当P、Q在光滑线弧L上连续时，第二类曲线积分存在。\\
-组合形式：
-$ \int_L P(x,y)dx + \int_L Q(x,y)dy = \int_L{P(x,y) dx + Q(x,y) dy} = \int_L \vec F \cdot \vec d s $.\\其中 $\vec F = P\vec i + Q \vec j, \vec ds = dx \vec i + dy \vec j$.
-==性质==
-. $ \int_{L_1+L_2}{Pdx + Qdy} = \int_{L_1}{Pdx+Qdy} + \int_{L_2}{Pdx + Qdy}$\\
-. $ \int_{-L}{Pdx} = -\int_{L}{Pdx}, \int_{-L}{Qdy} = -\int_{L}{Qdy}$\\ $ \int_{-L}{Pdx + Qdy} = -\int_{L}{Pdx+Qdy}$\\
-===两类曲线积分之间的联系===
-$ \int_L Pdx+Qdy = \int_L(P cos \alpha + Q cos \beta)ds$
-===格林公式===
-在物理学与数学中， 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为D的双重积分。 格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George Green）命名。
-设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有\\
-<jsmath> \int\int_D(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \oint_{L^+} P dx + Q dy </jsmath>
-其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。\\
-此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。
-==参数曲线积分==
-====曲面积分====
-======    数学上，曲面积分（面积分）是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也即，返回数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也即，返回向量值的函数）积分。
-面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的经典理论中。（维基百科定义）先看一个例子（图1）：设有一构件占空间曲面Σ，其质量分布密度函数为(密度分布)ρ（x,y,z），求构件的质量。 同样，对于密度不均匀的物件，也不可以直接利用ρS（这里的S代表的是面积,下同）处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题，就需要利用曲面积分；dm=ρ(x,y,z)*ds；m=∫ρ(x,y,z)*ds，就是对面积的曲面积分。设曲面Σ是光滑的,函数f(x,y,z)在Σ上有界.把Σ分成n小块Δsi(Δsi同时也表示第i小块曲面的面积),设点(ξ_i,η_i,zeta_i)为Δsi上任意取定的点,作乘积f($\xi_i,\eta_i,\zeta_i)•Δsi $, 并作和 $ \sum _{i=1}^n \rho(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)* \Delta s_i $ \\
- ======
-图图5_1{{:keynote:4a77b2af07159adf7dd92a78.jpg|}} 、
-======  ======
-若当各小块曲面直径的最大值λ→0时, 和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面Σ上对面积的曲面积分或第一类曲面积分. 记为
-图5_2{{:keynote:图5_2.jpg|}}====
-===== 坐标曲面积分 =====
-观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面法向量的指向决定曲面的侧，决定了侧的曲面称为有向曲面
-{{:keynote:图5_3.jpg|}}
-====== ======
-====微分方程基本概念====
-====基本的微分方程====
-===拉普拉斯方程===
-<jsmath>u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0 </jsmath>适用于重力场或静电场。
-===泊松方程===
-<jsmath>u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f(x,y,z)</jsmath>
-适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。
-===波动方程式===
-未知函數 ''u''(''x'',''y'',''z'',''t''):
-<jsmath>u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )</jsmath>
-<jsmath>\ddot u=c^2\nabla^2u</jsmath>
-===双曲线方程===
-定义
-<jsmath>u_{tt} - a^2\triangle u = f</jsmath>
-一维齐次情况
-<jsmath>u_{tt} - a^2u_{xx} = 0</jsmath>
-边界条件
-<jsmath>u(t,0) = \alpha(t)</jsmath>
-<jsmath>u(t,a) = \beta(t)</jsmath>
-初始条件
-<jsmath>u(0,x) = f(x),\quad 0<x<a </jsmath>
-<jsmath>u_t(0,x) = g(x), \quad 0<x<a </jsmath>
-===热传导方程式===
-<jsmath>u_t = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} )</jsmath>
-其中 ''k'' 代表該材料的熱導率
-===椭圆方程（位势方程）===
-Poisson 方程
-<jsmath>{\partial^2u \over \partial x^2} + {\partial^2u \over \partial y^2} = f(x,y)</jsmath>
-f=0时称为Laplace方程或调和方程
-表达势函数与场强之间关系的方程
-==注意==
-波动方程描述的是能量可转换的情况，而热的传导或扩散是不可逆的过程，古典的变分原理不能应用，但能量守恒定律依然适用，还有一些偏微分方程可以应用质量守恒定律得到，这些都是从物理定律出发得到的偏微分方程，因此，又常常称为数学物理方程。
-=====偏微分方程的求解=====

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