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--- keynote:2011-lesson10 [2011/06/28 17:23]
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+====== 第十课 ======
+===**变分问题的欧拉方程**===
+* 变分问题的欧拉方程
+	* 由预备定理可知
+		\[ F_y - \frac{d}{dx} F_{y'} = 0, \alpha \leq x \leq \beta \]
+	* 如果展开$\frac{dF_{y'}}{dx}\$
+		\[F_y - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y'} y' - \frac{\partial^2 F}{\partial' y \partial x} y'' = 0 \]
+	* 其中$F(x,y,y')$必须具有二阶偏导数，y(x)也必须具有二阶偏导数，由此把变分问题转化为微分方程求解。
+* 泛函变分问题的一般求解步骤
+	- 从物理上建立泛函及其条件
+	- 通过泛函变分，利用变分法基本预备定理求得欧拉方程
+	- 在边界条件下求解欧拉方程，即微分方程求解
+* 变分法与欧拉方程
+	* 变分法与欧拉方程代表同一物理问题。欧拉方程求解和从变分法求数值近似解（如有限元，利兹法，伽辽金法等），其效果一样。但欧拉方程求解很困难，而从泛函求近似解通常很方便，因而变分法一直被广为重视。但并不是所有的微分方程都能找到相对应的泛函问题。
+<note important> --- //[[qyg@zju.edu.cn|钱亚冠]] 2011/05/06 13:43//</note>
+===**泊松方程**===
+泊松方程为 $\delta_\phi = f$
+在这里 $\bigtriangledown$ 代表的是拉普拉斯算子，而 $f$和 $\phi$ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。 当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为
+\[\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\]，
+因此泊松方程通常写成$\bigtriangledown^2\phi = f$或者$div \quad grad\phi = 0$，如果没有$f$，这个方程就会变成拉普拉斯方程$\bigtriangledown \phi = 0$。泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是 relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。
+数学上，泊松方程属于椭圆型方程（不含时线性方程）。
+泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，$\bigtriangledown \phi = 0$（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有$\bigtriangledown \phi = f$（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。
+===Partial Differential Equation===
+*Siméon Denis Poisson
+    *His teachers: Laplace, Lagrange,
+    *Poisson’s terms:Poisson's equation、Poisson's integral、Poisson distribution、Poisson brackets、Poisson's ratio、Poisson's constant
+*参考书籍
+    *《微分方程数值解法》
+    *偏微分方程数值解法》
+*why PDE？
+    *Computer graphics:
+         *场景几何建模：网格去噪，微分阈方法
+         *场景精细绘制：辐射度方法，全局光照明模型
+         *物理动态模拟：织物模拟，流体模拟
+    *Image and video processing
+         *image segmentation：level-set
+         *object tracking：optic flow
+    *Artifical intelligence and recognition
+         *Time series analysis:randomized PDE
+    *High performance computing
+*an introduction to PDE
+    *History of Differential Equation
+    *Fundamental concepts
+    *3 basic PDE
+        *Elliptic Equation(椭圆）
+        *Parabolic Equation（抛物线）
+        *Hyperbolic Equation（双曲线）
+    *Solutions
+*Simeon Denis Poisson
+    *His teachers:Laplace，Lagrange
+    *Poisson's terms:
+        *Possion's equation
+        *possion's integral
+        *possion's distribution
+        *possion's brackets
+        *possion's ratio
+        *possion's constant
+    *"Life is good for only two things:to study mathematics and to teach it."
+*Background
+    *PDE：E(f,fx,fy,fxx,fxy,fyy)=0
+    *物理中的PDE常常是线性和二阶的：
+          *A.fxx+2B.fxy+C.fyy+D.fx+E.fy+F.f+G=0
+    * {{:2011:2011:pde1.jpg|}}
+====== 从变分法到偏微分方程（From variational methods to PDE） ======
+* 历史上有很多有名的极值问题，其求解方法可统称为变分法
+	*两点间的最短连线问题
+	*最速下降线问题
+	*短程线问题
+* 两点间的最短连线问题
+	* 问题假设：
+		* 二维平面空间，一点是坐标原点(0,0)，一点在(a,b)
+		* 两点间的连接曲线是 $y = y(x)$
+		* 曲线的弧长微元是$ds^2 = dx^2 + dy^2$或$ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2 * dx}$
+		* 曲线的总弧长是 $s = \int_0^a {(1+y'^2)^{1/2} dx} $，其中s是标量，是$y’(x)$的一个广义函数，称为泛函，可记为$s(y')$
+	* 数学描述：找出曲线$y(x)$使得$\min_{y'}{\int_0^a{(1+y')^{1/2}dx}}$，且满足如下端点约束条件：
+		- $y(0)=0, x=0$
+		- $y(a)=b, x=a$
+	* 其极值问题为：
+		\[\delta\Pi=\int_0^\alpha [1 + (y'+\delta y')^2]^{1/2}dx - \int_0^\alpha[1+y'^2]^{1/2}dx \]
+	* 略去$\delta y'$的高次微量得
+		\[\delta \Pi = \int_0^\alpha {\frac{y'+\delta y'}{[1+y'^2]^{1/2}}dx} = 0 \]
+	* 分布积分，并利用$\delta y(0) = 0$, $\delta y(a) = 0$，得
+		\[\delta \Pi = -\int_0^\alpha {\frac{d}{dx}[frac{y'}{(1+y')^{1/2}}]\delta y dx} = 0\]
+	* 由变分法预备定理，给出以下微分方程
+		\[\frac{d}{dx} [\frac{y'}{(1+y')^{1/2}}] = 0 \]
+	* 积分得 $\frac{y'}{(1+y'^2)^{1/2}} \equiv const$ => $y' \equiv const$
+	* 由端点约束条件即得 $ y = \frac{b}{a} x$
+* 变分命题
+	* 第一类变分问题：
+		- 被积函数包括一阶导数的变分问题
+		- 满足端点约束条件
+		- 在所有的足够光滑函数y(x)中，求使以下泛函为极值
+		\[ \Pi(y) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y') dx\]
+	* 第二类变分问题：
+		- 两个待定函数： y(x)，z(x)
+		- 满足约束条件： $\varphi(x, y, z) = 0$
+		- 满足端点约束条件
+		- 在所有的足够光滑函数y(x)，z(x)中，求使以下泛函为极值
+		\[ \Pi(y,z) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y',z,z') dx\]
+* 第一类变分问题
+	* 设函数y(x)是下式的极值解
+		\[\Pi(y) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y')dx\]
+		* 且满足端点条件 $y(\alpha)=\bar{y_1}$, $y(\beta)=\bar{y_2}$
+	* 设其邻近的函数$y(x)+\delta y(x)\$也满足端点条件
+		* 因此端点变分满足$\delta y(\alpha) = \delta y(\beta) = 0$
+	* 泛函的变分为
+		\[ \delta\Pi = \Pi(y + \delta y) - \Pi(y) = \int_\alpha^\beta {F(x,y+\delta y, y' + \delta y') - F(x,y,y')}dx \]
+	* 根据微量计算规则，设$y(x)$和$y(x) + \delta y(x)$是有一阶接近的曲线
+		\[ F(x, y+\delta y, y' + \delta y') = F(x,y,y') + [\frac{\partial}{\partial y} F(x,y,y')]\partial y + [\frac{\partial}{\partial y'} F(x,y,y')]\partial y' \]
+	* 引入简写符号
+		\[ F = F(x,y,y'), F_y = \frac{\partial}{\partial y} F(x,y,y'), F_{y'} = \frac{\partial}{\partial y'} F(x,y,y') \]
+	* 可得
+		\[\delta F = F_y\delta y + F_{y'} \delta y' \]
+	* 从而，泛函的变分为
+		\[\delta \Pi = \int_\alpha^\beta \delta F dx = \int_\alpha^\beta [F_y \delta y + F_{y'} \delta y'] dx \]
+	* 可以证明：函数y(x)的导数的变分等于函数y(x)的变分的导数，亦即导数和变分两种运算可以互换运算顺序：$\delta y' = (\delta y)'$
+====== 本节编撰作者 ======
+<note important> 本节编撰作者(请大家在这里报到)：
+  * [[xxxx@xxx.xxx|俞一鹏]] (ID: 11021060)，   编写了Partial Differential Equation
+  * [[zby@zju.edu.cn|周伯阳]] (ID: 11021061)，   编写了From variational methods to PDE
+  * [[qyg@zju.edu.cn|钱亚冠]] (ID: 11021062)，   编写了变分问题的欧拉方程
+  * [[rancheng@zju.edu.cn|程然]] (ID: 11021064)，   编写了泊松方程
+浙江大学2008-2010版权所有，如需转载或引用，请与[[zhx@cad.zju.edu.cn | 作者联系]]。
+</note>

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