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keynote:2011-lesson10
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第十课
**变分问题的欧拉方程**
* 变分问题的欧拉方程
- 由预备定理可知
F_y - \frac{d}{dx} F_{y'} = 0, \alpha \leq x \leq \beta
- 如果展开\frac{dF_{y'}}{dx}\
F_y - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y'} y' - \frac{\partial^2 F}{\partial' y \partial x} y'' = 0
- 其中F(x,y,y')必须具有二阶偏导数，y(x)也必须具有二阶偏导数，由此把变分问题转化为微分方程求解。
* 泛函变分问题的一般求解步骤
- 从物理上建立泛函及其条件
- 通过泛函变分，利用变分法基本预备定理求得欧拉方程
- 在边界条件下求解欧拉方程，即微分方程求解
* 变分法与欧拉方程
- 变分法与欧拉方程代表同一物理问题。欧拉方程求解和从变分法求数值近似解（如有限元，利兹法，伽辽金法等），其效果一样。但欧拉方程求解很困难，而从泛函求近似解通常很方便，因而变分法一直被广为重视。但并不是所有的微分方程都能找到相对应的泛函问题。
— 钱亚冠 2011/05/06 13:43
**泊松方程**
泊松方程为 \delta_\phi = f
在这里 \bigtriangledown 代表的是拉普拉斯算子，而 f和 \phi 可以是在流形上的实数或复数值的方程。 当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}
，
因此泊松方程通常写成\bigtriangledown^2\phi = f或者div \quad grad\phi = 0，如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程\bigtriangledown \phi = 0。泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是 relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。
数学上，泊松方程属于椭圆型方程（不含时线性方程）。
泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，\bigtriangledown \phi = 0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有\bigtriangledown \phi = f（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。
Partial Differential Equation
*Siméon Denis Poisson
- His teachers: Laplace, Lagrange,
- Poisson’s terms:Poisson's equation、Poisson's integral、Poisson distribution、Poisson brackets、Poisson's ratio、Poisson's constant
*参考书籍
- 《微分方程数值解法》
- 偏微分方程数值解法》
*why PDE？
- Computer graphics:
- 场景几何建模：网格去噪，微分阈方法
- 场景精细绘制：辐射度方法，全局光照明模型
- 物理动态模拟：织物模拟，流体模拟
- Image and video processing
- image segmentation：level-set
- object tracking：optic flow
- Artifical intelligence and recognition
- Time series analysis:randomized PDE
- High performance computing
*an introduction to PDE
- History of Differential Equation
- Fundamental concepts
- 3 basic PDE
- Elliptic Equation(椭圆）
- Parabolic Equation（抛物线）
- Hyperbolic Equation（双曲线）
- Solutions
*Simeon Denis Poisson
- His teachers:Laplace，Lagrange
- Poisson's terms:
- Possion's equation
- possion's integral
- possion's distribution
- possion's brackets
- possion's ratio
- possion's constant
- “Life is good for only two things:to study mathematics and to teach it.”
*Background
- PDE：E(f,fx,fy,fxx,fxy,fyy)=0
- 物理中的PDE常常是线性和二阶的：
- A.fxx+2B.fxy+C.fyy+D.fx+E.fy+F.f+G=0
从变分法到偏微分方程（From variational methods to PDE）
* 历史上有很多有名的极值问题，其求解方法可统称为变分法
- 两点间的最短连线问题
- 最速下降线问题
- 短程线问题
* 两点间的最短连线问题
- 问题假设：
- 二维平面空间，一点是坐标原点(0,0)，一点在(a,b)
- 两点间的连接曲线是 y = y(x)
- 曲线的弧长微元是ds^2 = dx^2 + dy^2或ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2 * dx}
- 曲线的总弧长是 s = \int_0^a {(1+y'^2)^{1/2} dx} ，其中s是标量，是y’(x)的一个广义函数，称为泛函，可记为s(y')
- 数学描述：找出曲线y(x)使得\min_{y'}{\int_0^a{(1+y')^{1/2}dx}}，且满足如下端点约束条件：
- y(0)=0, x=0
- y(a)=b, x=a
- 其极值问题为：
\delta\Pi=\int_0^\alpha [1 + (y'+\delta y')^2]^{1/2}dx - \int_0^\alpha[1+y'^2]^{1/2}dx
- 略去\delta y'的高次微量得
\delta \Pi = \int_0^\alpha {\frac{y'+\delta y'}{[1+y'^2]^{1/2}}dx} = 0
- 分布积分，并利用\delta y(0) = 0, \delta y(a) = 0，得
\delta \Pi = -\int_0^\alpha {\frac{d}{dx}[frac{y'}{(1+y')^{1/2}}]\delta y dx} = 0
- 由变分法预备定理，给出以下微分方程
\frac{d}{dx} [\frac{y'}{(1+y')^{1/2}}] = 0
- 积分得 \frac{y'}{(1+y'^2)^{1/2}} \equiv const ⇒ y' \equiv const
- 由端点约束条件即得 y = \frac{b}{a} x
* 变分命题
- 第一类变分问题：
- 被积函数包括一阶导数的变分问题
- 满足端点约束条件
- 在所有的足够光滑函数y(x)中，求使以下泛函为极值
\Pi(y) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y') dx
- 第二类变分问题：
- 两个待定函数： y(x)，z(x)
- 满足约束条件： \varphi(x, y, z) = 0
- 满足端点约束条件
- 在所有的足够光滑函数y(x)，z(x)中，求使以下泛函为极值
\Pi(y,z) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y',z,z') dx
* 第一类变分问题
- 设函数y(x)是下式的极值解
\Pi(y) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y')dx
- 且满足端点条件 y(\alpha)=\bar{y_1}, y(\beta)=\bar{y_2}
- 设其邻近的函数y(x)+\delta y(x)\也满足端点条件
- 因此端点变分满足\delta y(\alpha) = \delta y(\beta) = 0
- 泛函的变分为
\delta\Pi = \Pi(y + \delta y) - \Pi(y) = \int_\alpha^\beta {F(x,y+\delta y, y' + \delta y') - F(x,y,y')}dx
- 根据微量计算规则，设y(x)和y(x) + \delta y(x)是有一阶接近的曲线
F(x, y+\delta y, y' + \delta y') = F(x,y,y') + [\frac{\partial}{\partial y} F(x,y,y')]\partial y + [\frac{\partial}{\partial y'} F(x,y,y')]\partial y'
- 引入简写符号
F = F(x,y,y'), F_y = \frac{\partial}{\partial y} F(x,y,y'), F_{y'} = \frac{\partial}{\partial y'} F(x,y,y')
- 可得
\delta F = F_y\delta y + F_{y'} \delta y'
- 从而，泛函的变分为
\delta \Pi = \int_\alpha^\beta \delta F dx = \int_\alpha^\beta [F_y \delta y + F_{y'} \delta y'] dx
- 可以证明：函数y(x)的导数的变分等于函数y(x)的变分的导数，亦即导数和变分两种运算可以互换运算顺序：\delta y' = (\delta y)'
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