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keynote:2011-lesson10

第十课

**变分问题的欧拉方程**

* 变分问题的欧拉方程

  • 由预备定理可知

F_y - \frac{d}{dx} F_{y'} = 0, \alpha \leq x \leq \beta

  • 如果展开\frac{dF_{y'}}{dx}\

F_y - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y'} y' - \frac{\partial^2 F}{\partial' y \partial x} y'' = 0

  • 其中F(x,y,y')必须具有二阶偏导数,y(x)也必须具有二阶偏导数,由此把变分问题转化为微分方程求解。

* 泛函变分问题的一般求解步骤

  1. 从物理上建立泛函及其条件
  2. 通过泛函变分,利用变分法基本预备定理求得欧拉方程
  3. 在边界条件下求解欧拉方程,即微分方程求解

* 变分法与欧拉方程

  • 变分法与欧拉方程代表同一物理问题。欧拉方程求解和从变分法求数值近似解(如有限元,利兹法,伽辽金法等),其效果一样。但欧拉方程求解很困难,而从泛函求近似解通常很方便,因而变分法一直被广为重视。但并不是所有的微分方程都能找到相对应的泛函问题。

钱亚冠 2011/05/06 13:43

**泊松方程**

泊松方程为 \delta_\phi = f   

在这里 \bigtriangledown 代表的是拉普拉斯算子,而 f\phi 可以是在流形上的实数或复数值的方程。 当流形属于欧几里得空间,而拉普拉斯算子通常表示为

\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}
, 因此泊松方程通常写成\bigtriangledown^2\phi = f或者div \quad grad\phi = 0,如果没有f,这个方程就会变成拉普拉斯方程\bigtriangledown \phi = 0。泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是 relaxation method,不断回圈的代数法,就是一个例子。   

数学上,泊松方程属于椭圆型方程(不含时线性方程)。   

泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程,\bigtriangledown \phi = 0(即拉普拉斯方程);当考虑引力场时,有\bigtriangledown \phi = f(f为引力场的质量分布)。后推广至电场磁场,以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解,也可以分离变量法,特征线法求解。

Partial Differential Equation

*Siméon Denis Poisson

  • His teachers: Laplace, Lagrange,
  • Poisson’s terms:Poisson's equation、Poisson's integral、Poisson distribution、Poisson brackets、Poisson's ratio、Poisson's constant

*参考书籍

  • 《微分方程数值解法》
  • 偏微分方程数值解法》

*why PDE?

  • Computer graphics:
    • 场景几何建模:网格去噪,微分阈方法
    • 场景精细绘制:辐射度方法,全局光照明模型
    • 物理动态模拟:织物模拟,流体模拟
  • Image and video processing
    • image segmentation:level-set
    • object tracking:optic flow
  • Artifical intelligence and recognition
    • Time series analysis:randomized PDE
  • High performance computing

*an introduction to PDE

  • History of Differential Equation
  • Fundamental concepts
  • 3 basic PDE
    • Elliptic Equation(椭圆)
    • Parabolic Equation(抛物线)
    • Hyperbolic Equation(双曲线)
  • Solutions

*Simeon Denis Poisson

  • His teachers:Laplace,Lagrange
  • Poisson's terms:
    • Possion's equation
    • possion's integral
    • possion's distribution
    • possion's brackets
    • possion's ratio
    • possion's constant
  • “Life is good for only two things:to study mathematics and to teach it.”

*Background

  • PDE:E(f,fx,fy,fxx,fxy,fyy)=0
  • 物理中的PDE常常是线性和二阶的:
    • A.fxx+2B.fxy+C.fyy+D.fx+E.fy+F.f+G=0

从变分法到偏微分方程(From variational methods to PDE)

* 历史上有很多有名的极值问题,其求解方法可统称为变分法

  • 两点间的最短连线问题
  • 最速下降线问题
  • 短程线问题

* 两点间的最短连线问题

  • 问题假设:
    • 二维平面空间,一点是坐标原点(0,0),一点在(a,b)
    • 两点间的连接曲线是 y = y(x)
    • 曲线的弧长微元是ds^2 = dx^2 + dy^2ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2 * dx}
    • 曲线的总弧长是 s = \int_0^a {(1+y'^2)^{1/2} dx} ,其中s是标量,是y’(x)的一个广义函数,称为泛函,可记为s(y')
  • 数学描述:找出曲线y(x)使得\min_{y'}{\int_0^a{(1+y')^{1/2}dx}},且满足如下端点约束条件:
    1. y(0)=0, x=0
    2. y(a)=b, x=a
  • 其极值问题为:

\delta\Pi=\int_0^\alpha [1 + (y'+\delta y')^2]^{1/2}dx - \int_0^\alpha[1+y'^2]^{1/2}dx

  • 略去\delta y'的高次微量得

\delta \Pi = \int_0^\alpha {\frac{y'+\delta y'}{[1+y'^2]^{1/2}}dx} = 0

  • 分布积分,并利用\delta y(0) = 0, \delta y(a) = 0,得

\delta \Pi = -\int_0^\alpha {\frac{d}{dx}[frac{y'}{(1+y')^{1/2}}]\delta y dx} = 0

  • 由变分法预备定理,给出以下微分方程

\frac{d}{dx} [\frac{y'}{(1+y')^{1/2}}] = 0

  • 积分得 \frac{y'}{(1+y'^2)^{1/2}} \equiv consty' \equiv const
  • 由端点约束条件即得 y = \frac{b}{a} x

* 变分命题

  • 第一类变分问题:
    1. 被积函数包括一阶导数的变分问题
    2. 满足端点约束条件
    3. 在所有的足够光滑函数y(x)中,求使以下泛函为极值

\Pi(y) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y') dx

  • 第二类变分问题:
    1. 两个待定函数: y(x),z(x)
    2. 满足约束条件: \varphi(x, y, z) = 0
    3. 满足端点约束条件
    4. 在所有的足够光滑函数y(x),z(x)中,求使以下泛函为极值

\Pi(y,z) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y',z,z') dx

* 第一类变分问题

  • 设函数y(x)是下式的极值解

\Pi(y) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y')dx

  • 且满足端点条件 y(\alpha)=\bar{y_1}, y(\beta)=\bar{y_2}
  • 设其邻近的函数y(x)+\delta y(x)\也满足端点条件
  • 因此端点变分满足\delta y(\alpha) = \delta y(\beta) = 0
  • 泛函的变分为

\delta\Pi = \Pi(y + \delta y) - \Pi(y) = \int_\alpha^\beta {F(x,y+\delta y, y' + \delta y') - F(x,y,y')}dx

  • 根据微量计算规则,设y(x)y(x) + \delta y(x)是有一阶接近的曲线

F(x, y+\delta y, y' + \delta y') = F(x,y,y') + [\frac{\partial}{\partial y} F(x,y,y')]\partial y + [\frac{\partial}{\partial y'} F(x,y,y')]\partial y'

  • 引入简写符号

F = F(x,y,y'), F_y = \frac{\partial}{\partial y} F(x,y,y'), F_{y'} = \frac{\partial}{\partial y'} F(x,y,y')

  • 可得

\delta F = F_y\delta y + F_{y'} \delta y'

  • 从而,泛函的变分为

\delta \Pi = \int_\alpha^\beta \delta F dx = \int_\alpha^\beta [F_y \delta y + F_{y'} \delta y'] dx

  • 可以证明:函数y(x)的导数的变分等于函数y(x)的变分的导数,亦即导数和变分两种运算可以互换运算顺序:\delta y' = (\delta y)'

本节编撰作者

本节编撰作者(请大家在这里报到):

  • 俞一鹏 (ID: 11021060), 编写了Partial Differential Equation
  • 周伯阳 (ID: 11021061), 编写了From variational methods to PDE
  • 钱亚冠 (ID: 11021062), 编写了变分问题的欧拉方程
  • 程然 (ID: 11021064), 编写了泊松方程

浙江大学2008-2010版权所有,如需转载或引用,请与 作者联系

keynote/2011-lesson10.txt · Last modified: 2014/05/22 08:34 (external edit)