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keynote:2011-lesson09

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keynote:2011-lesson09 [2011/06/17 05:23]
11021057 [9.1.2.3 微分方程基本概念]
keynote:2011-lesson09 [2014/05/22 08:34] (current)
Line 291: Line 291:
  
 一阶拟线性方程组: 一阶拟线性方程组:
-<​jsmath> ​{\frac\partial u  \partial y}-A(x,y,u){\frac \partial u \partial x}+h(x,​y,​u)=0</​jsmath>​+<​jsmath>​ \frac{\partial u {\partial y}-A(x,y,u) \frac{\partial u} {\partial x}+h(x,​y,​u)=0</​jsmath>​
 二阶拟线性方程: 二阶拟线性方程:
-<​jsmath>​\sum_{i,​j=1}^n a_{ij} ​{\frac {\partial^2 u} \partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i {\frac \partial u \partial x_i}+cu = f</​jsmath>​+<​jsmath>​\sum_{i,​j=1}^n a_{ij} ​ \frac {\partial^2 u} {\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i  \frac {\partial u} {\partial x_i}+cu = f</​jsmath>​
  
 ==定解条件== ==定解条件==
Line 311: Line 311:
     稳定性:当初始数据或边界数据有微小变化时解的变化也应当微小。     稳定性:当初始数据或边界数据有微小变化时解的变化也应当微小。
     适定性:如果定解问题的解在该函数空间存在,唯一并且稳定。     适定性:如果定解问题的解在该函数空间存在,唯一并且稳定。
 +    ​
 +    对两个变量的二阶拟线性方程:
 +<​jsmath>​a(x,​y,​p) \frac {\partial^2 u} {\partial x^2} +2b(x,y,p) \frac {\partial^2 u} {\partial x \partial y}+c(x,y,p) \frac {\partial^2 u} {\partial y^2}+f(x,​y,​p) = 0</​jsmath>​
 +    如果对于固定的(x,​y,​u),​ 有:
 +<​jsmath>​F = ac-b^2 > 0</​jsmath>​,方程是椭圆型;
 +<​jsmath>​F < 0</​jsmath>​,方程是双曲型;
 +<​jsmath>​F = 0</​jsmath>​,方程是抛物型。
 +
 +二次线性偏微分方程的分类
 +
 +<​jsmath>​若A=[a_{ij}]是正定或负定的,则称为椭圆方程. </​jsmath>​
 +<​jsmath>​若A=[a_{ij}]的特征值至少有一个为0,则称为抛物型方程.</​jsmath>​
 +<​jsmath>​若A=[a_{ij}]化为标准型后取正值和取负值的系数的个数都大于1,则称为双曲型.</​jsmath>​
 +例子:
 +(椭圆方程)<​jsmath>​u_{xx} + u_{yy} = f(x,​y)</​jsmath>​
 +(双曲线方程)<​jsmath>​u_{xx} - u_{yy} = f(x,​y)</​jsmath>​
  
 ==叠加原理== ==叠加原理==
     在物理,力学和化学等学科中,许多自然现象具有叠加效应,即几种不同因素同时出现时所产生的效果等于各个因素分别单独出现时产生的叠加(即总和)。     在物理,力学和化学等学科中,许多自然现象具有叠加效应,即几种不同因素同时出现时所产生的效果等于各个因素分别单独出现时产生的叠加(即总和)。
     用数学的话讲,对所有线性系统 F(x)=y,其中 x 是某种程度上的刺激(输入)而 y 是某种反应(输出),刺激的叠加(即“和”)得出分别反应的叠加:     用数学的话讲,对所有线性系统 F(x)=y,其中 x 是某种程度上的刺激(输入)而 y 是某种反应(输出),刺激的叠加(即“和”)得出分别反应的叠加:
-    ​<​jsmath>​F(x_1+x_2+...)=F(x_1)+F(x_2)+...</​jsmath>​+    F(x1+x2+...)=F(x1)+F(x2)+...
     在数学中,这个性质更常被叫做可加性。在绝大多数实际情形中,F 的可加性表明它是一个线性映射,也叫做一个线性函数或线性算子。     在数学中,这个性质更常被叫做可加性。在绝大多数实际情形中,F 的可加性表明它是一个线性映射,也叫做一个线性函数或线性算子。
     ​     ​
keynote/2011-lesson09.txt · Last modified: 2014/05/22 08:34 (external edit)