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keynote:2011-lesson07 [2011/06/24 13:03] 11021046 [6本片文档笔记说明] |
keynote:2011-lesson07 [2023/08/19 21:02] (current) |
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+ | ====== 第七课 ====== | ||
+ | ===== 泛函变分问题 ===== | ||
+ | ==== 1. 变分概念 ==== | ||
+ | 关键词:变分定义 宗量 容许曲线类 | ||
+ | * 定义1:设J[y(x)]是定义在函数集合Y = {y(x)}上的泛函,称y(x)为J[y(x)]的**宗量**,Y为J[y(x)]的定义域(或**容许曲线类(簇)**) | ||
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+ | * 定义2:泛函J[y(x)]的宗量y(x)与另一宗量y<sub>0</sub>(x)之差,称为宗量y(x)的**变分**,记为\\ δy = δy(x) = y(x) − y<sub>0</sub>(x) | ||
+ | |||
+ | * 定义3:若max|y(x)-y<sub>0</sub>(x)|很小,则称y(x)与y<sub>0</sub>(x)具有零阶接近,称函数集合\\ {y(x)||y(x)−y<sub>0</sub>(x)| <δ }\\ 为y0(x)的零阶δ-邻域 | ||
+ | |||
+ | * 定义4:如果对∀ε> 0,使对y0(x)的k阶δ-邻域中的任何y(x),都有\\ |J[y(x)] − J[y<sub>0</sub>(x)]| < ε,\\ 则称J[y(x)]是在y0(x)处具有k阶接近度的连续泛函 | ||
+ | |||
+ | * 定义5:设F(x,y,y')是关于三个变元x,y,y'的二阶连续可微函数,x任意固定,η(x)是任意可微函数,ε是无穷小参数,则F(x,y,y')的增量为\\ ΔF = F(x, y+εη,y'+εη') - F(x,y,y')\\ 按Taylor公式,有\\ ΔF = ∂F/∂y εη+∂F/∂y' εη'+R1\\ 其中,R1是较ε->0时高阶的无穷小。称\\ δF = ∂F/∂y εη+∂F/∂y' εη' \\ 为函数F(x,y,y')的变分 | ||
+ | |||
+ | <note tip>变分几号与微分记号是允许交换的,且\\ δF = ∂F/∂y δy+∂F/∂y' δy' \\ 变分具有和函数求导类似的性质:\\ δ(F<sub>1</sub> + F<sub>2</sub>) = δF<sub>1</sub> + δF<sub>2</sub>\\ δ(F<sub>1</sub> * F<sub>2</sub>) = F<sub>2</sub>δF<sub>1</sub> + F<sub>1</sub>δF<sub>2</sub></note> | ||
+ | * 定义6:如果泛函J[y(x)]的增量ΔJ = J[y +δy] - J[y]可表示为\\ ΔJ = J[y, δy] + β(y, δy)max |δy| ,\\ 其中,J[y, δy]对δy而言是线性的,且当δy->0时,β(y, δy)->0,则称J[y, δy]为泛函J[y]的变分,记为δJ,即δJ = J[y,δy]. | ||
+ | |||
+ | * 定义7:(**较弱的变分定义**)如果Φ'(0)=∂J[y+αδy]/∂α|<sub>α=0</sub>存在,则称Φ'(0)为泛函J[y]的变分,仍将其记为δJ,即\\ δJ =Φ'(0)=∂J[y +αδy]∂α|<sub>α=0</sub>. | ||
+ | <note tip>**定义6和定义7下变分之间的关系**\\ 定理1:对于泛函J[y],若按定义6的变分存在,则在定义7意义下的J[y]的变分也存在并且两者相等\\ **定义7的意义**:弱变分定义的的意义在于把泛函极值问题转化成函数极值问题,即化未知问题为已知问题,这是很重要的思维方法</note> | ||
+ | |||
+ | * 定义8:设y<sub>0</sub>(x)是泛函J[y]的容许曲线簇Y种的某一函数,若对∀y∈Y,都有\\ J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),\\ 则称泛函在y<sub>0</sub>(x)处达到极大(小)值,(或**绝对极大(小)值**),并称y<sub>0</sub>(x)为J[y]在极大(小)值曲线\\ 若对于y<sub>0</sub>(x)的零阶σ-邻域内的所有函数y(x),都有\\ J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),\\ 则称泛函在y<sub>0</sub>(x)处达到**强极大(小)值**\\ 若对于y<sub>0</sub>(x)的一阶σ-邻域内的所有函数y(x),都有\\ J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),\\ 则称泛函在y<sub>0</sub>(x)处达到**弱极大(小)值** | ||
+ | * 推论1:强极值必是弱极值,但反之不真 | ||
+ | * 推论2:绝对极值必是强极值 | ||
+ | * 推论3:泛函J[y]达到绝对极值的必要条件也是达到弱极值的必要条件,更是达到强极值的必要条件 | ||
+ | <note>三个推论表明弱极值包含强极值包含绝对极值,如果把三种极值表示成同心圆,则绝对极值最小,弱极值最大</note> | ||
+ | |||
+ | * 定理2:若具有变分的泛函J[y(x)]在y = y<sub>0</sub>(x)达到极值,则δJ|<sub>y = y0(x)</sub> = δJ[y<sub>0</sub>(x)] =0 | ||
+ | |||
+ | <del><del>Strike-through Text</del></del> | ||
+ | ==== 2 固定边界的变分问题 ==== | ||
+ | |||
+ | === 2.1、泛函极值的必要条件 === | ||
+ | 求{{:wxj1.jpg?150}}达到极值的必要条件。\\ | ||
+ | 其中:函数F∈C<sup>2</sup>, y(x<sub>0</sub>)∈C<sup>2</sup>[x0,x1],且满足边界条件:y(x0)=y0, y(x1)=y1。\\ | ||
+ | |||
+ | 一般结论: | ||
+ | 使上述泛函J[y]达到极值的必要条件是 | ||
+ | * Φ'(0) = ξJ(y, ξy) = 0.\\ | ||
+ | 由基本引理1可知,y(x)必须满足欧拉方程 | ||
+ | * F<sub>y</sub> - d / dx(F<sub>y'</sub>) = 0.\\ | ||
+ | |||
+ | 说明:注意到满足欧拉方程仅是泛函取得极值的**必要条件**,欧拉方程的解曲线仅是可能的极值曲线。但在实际问题中,往往可以事先确定泛函的极值是否存在,在确定极值存在的情况下欧拉方程的解曲线就是极值曲线。\\ | ||
+ | |||
+ | 在实际应用中,欧拉方程可以改写成如下几种不同的形式便于计算:\\ | ||
+ | * F<sub>y'y'</sub>y'' + F<sub>y'y'</sub>y' + F<sub>xy'</sub> ? F<sub>y</sub> = 0 | ||
+ | * d / dx(F - y'F<sub>y'</sub>) - F<sub>x</sub> = 0 \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === 2.2含有多个未知数的变分问题 === | ||
+ | 求{{:keynote:wxj2.jpg?230}}达到极值的必要条件。\\ | ||
+ | 其中:F关于所含变量具有二阶连续偏导数,曲线y(x),z(x)∈C<sup>2</sup>[x0,x1],且满足边界条件:y(x0)=y0, y(x1)=y1,z(x0)=z0, z(x1)=z1。\\ | ||
+ | |||
+ | 一般结论: | ||
+ | 使上述泛函J[y, z]达到极值的必要条件是y(x),z(x)满足欧拉方程组: | ||
+ | * F<sub>y</sub> - d / dx(F<sub>y'</sub>) = 0. | ||
+ | * F<sub>z</sub> - d / dx(F<sub>z'</sub>) = 0.\\ | ||
+ | |||
+ | **含有n(n>2)个未知函数的泛函极值的必要条件** | ||
+ | * F<sub>yi</sub> - d / dx(F<sub>yi'</sub>) = 0, i= 1,2,...,n.\\ | ||
+ | ==== 3.1 最简单的可动边界问题 ==== | ||
+ | * 问题的提出 | ||
+ | 上一章,我们讨论了固定边界的变分问题,即:在未知函数$y(x)$的边界点$A(x_0,y_0)$,$B(x_1,y_1)$固定的情况下,求泛函: | ||
+ | \\ $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ (18)\\ | ||
+ | 的极值曲线。这一节讨论的问题,是假定两个边界中的一个或两个可以变动,这时,容许曲线族的范围扩大了。 | ||
+ | 可动边界情况下的容许曲线族,比固定边界情况下的容许曲线族大,前者包含后者。因此,如果函数$y(x)$使可动边界的泛函达到极值,它也能使固定边界的泛函达到极值。所以,这个函数也应该满足使固定边界问题达到极值的必要条件,Euler方程: | ||
+ | \\ $F_y-\frac{d}{d_x}F_y'=0$\\ | ||
+ | Euler方程是一个二阶常微分方程,它的通解$y=y(x,c_1,c_2)$包含了两个任意常数,确定它们需要两个条件。在固定边界的变分问题中,这两个条件是$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$;在边界可变的情况下,就是斜截条件。 | ||
+ | * 斜截条件 | ||
+ | 假设泛函(18)中的未知函数$y(x)$有一个固定的左端点$A(x_0,y_0)$,即,$y(x_0)=y_0$,右端点$B(x_1,y_1)$在某曲线$ω(x,y)=0$上移动。这时右端点$x_1$是变动的。斜截条件就是考察$x_1$应该满足什么特征。 | ||
+ | \\ {{:keynote:20100614_2.jpg|}} | ||
+ | 该公式称为斜截条件,或贯截条件。它表明,如果$y=y(x),(x_0≤x≤x_1)$为变动右端点的泛函极值曲线,则右端点必满足(27) | ||
+ | ==== 4.1 附有约束条件ψ = 0的变分问题 ==== | ||
+ | * 问题的提出 | ||
+ | 这一节我们主要研究泛函 | ||
+ | {{:keynote:泛函公式.jpeg|}} | ||
+ | \\满足边界条件\\ | ||
+ | {{:keynote:边界条件.jpeg|}}\\ | ||
+ | 和约束条件\\ | ||
+ | ψ(x,y,z)=0\\ | ||
+ | 的极值问题,导出泛函j的极值曲线应满足的条件。\\ | ||
+ | * 几何意义 | ||
+ | 这类问题的几何意义是:在曲面ψ(x, y, z)=0上求一条曲线\\ | ||
+ | {{:keynote:曲线.jpeg|}}\\ | ||
+ | 使得泛函在其上取得极值。类似于有条件函数极值的Lagrange方法,有条件泛函极值问题也可以化为无条件极值来处理。\\ | ||
+ | * Lagrange定理 | ||
+ | 设y(x), z(x)是泛函在边界条件和约束条件下的极值,如果在曲线\\ | ||
+ | y = y(x) z = z(x) 上,泛函至少有一个不为零,则必存在函数使y(x), z(x)满足泛函\\ | ||
+ | {{:keynote:1.jpeg|}}\\ | ||
+ | 的Euler方程组:\\ | ||
+ | {{:keynote:2.jpeg|}}\\ | ||
+ | 其中,{{:keynote:3.jpeg|}}\\ | ||
+ | * 例2 | ||
+ | 试求出圆柱面x^2 + y^2 = R^2上,连接点P1(x1, y1, z1)与点P2(x2, y2, z2)的最短曲线。\\ | ||
+ | 解:设圆柱面的参数方程为\\ | ||
+ | {{:keynote:4.jpeg|}}\\ | ||
+ | 因为点P1, p2在圆柱面上,故所求曲线P1P2的x, y坐标与圆柱面的相同,\\ | ||
+ | 只要求出z坐标z = z(t)即可。\\ | ||
+ | 设P1, p2点对应的参数为t1<t2, 则P1P2的弧长为\\ | ||
+ | {{:keynote:5.jpeg|}}\\ | ||
+ | 于是,问题化为:求过P1P2且位于圆柱面上的曲线,使泛函l取极小值。\\ | ||
+ | {{:keynote:6.jpeg|}}\\ | ||
+ | ==== 5 固定边界的变分问题的泛函极值条件与 Euler方程的特殊情况 ==== | ||
+ | 由于已经知道: | ||
+ | {{:keynote:zzm461.png|}}\\ | ||
+ | {{:keynote:zzm462_.png|}}\\ | ||
+ | 然后我们讨论下几种特殊的Euler方程:\\ | ||
+ | 1. F=F(x,y)中不含y‘,则有F对y的偏导{{:keynote:zzm463.png|}},所以F(x,y)是一个普通的函数方程,他可以表示一条或者几条曲线,但未必适合边界条件,因此在一般情况下无解,只有曲线满足边界条件时才有解。\\ | ||
+ | 2.如果有:{{:keynote:zzm464.png|}}\\ | ||
+ | 则此时有Euler方程为:{{:keynote:zzm465.png|}}。与上述一样,这是一个普通的函数方程,但是如果{{:keynote:zzm466.png|}} ,则有Pdx+Qdy是某一个函数 | ||
+ | u(x,y)的全微分,则有:\\ | ||
+ | {{:keynote:zzm467.png|}}\\ | ||
+ | 则此时变分已经失去意义。\\ | ||
+ | 3.F=F(y'),也就是F只依赖于y',则此时有Euler方程为:{{:keynote:zzm468.png|}}\\ | ||
+ | 如果y’‘=0,则y=ax+b是含有两个参数的直线簇。\\ | ||
+ | 如果y’‘!=0,则{{:keynote:zzm469.png|}},解方程得,y'=k(常数),也就是y=kx+c,这是含有一个参数的直线簇,它被包含在前面的直线簇中。\\ | ||
+ | 4.F=F(x,y')不含y,则此时Euler方程为{{:keynote:zzm4610.png|}},它的积分为{{:keynote:zzm4611.png|}},这个是不含y的一阶常微分方程,解此方程则可以得到极值曲线。\\ | ||
+ | 5.F=F(x,y')不含x,则此时由Euler方程(10)可得:\\ | ||
+ | {{:keynote:zzm4612.png|}}\\ | ||
+ | Euler方程具有初积分y'Fy'-F=c,解此方程可得极值曲线。 | ||
+ | ====6本片文档笔记说明 ==== | ||
+ | <note important> 本节编撰作者(请大家在这里报到): | ||
+ | * [[summer@zju.edu.cn|夏菁]] (ID: 11121030), 编写了变分概念 | ||
+ | * [[cswangjing@zju.edu.cn|王静]] (ID: 11021045), 编写了可动边界问题-问题的提出 | ||
+ | * [[coldly_burning@163.com|郭雪昆]] (ID: 11021042), 编写了附有约束条件ψ = 0的变分问题 | ||
+ | * [[wxjwsz@gmail.com|王欣捷]] (ID: 11021043), 编写了固定边界的变分问题(2.1和2.2) | ||
+ | * [[zhouprogram@foxmail.com|周正茂]] (ID: 11021046), 编写了 固定边界的变分问题的泛函极值条件与 Euler方程的特殊情况 | ||
+ | * [[xxxx@xxx.xxx|AuthorName6]] (ID: xxxxxxxxx), 编写了... | ||
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