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keynote:2011-lesson05 [2011/06/09 20:17] 11021029 |
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+ | ====== 第五课 泛函分析概要 ====== | ||
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+ | ===== 参考文献 ===== | ||
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+ | 苏家铎,潘杰,方毅,狄成恩.泛函分析与变分法.中国科学技术大学出版社.1993\\ | ||
+ | 钱伟长.格林函数和变分法在电磁场和电磁波计算中的应用.上海大学出版社.2000\\ | ||
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+ | ===== 基本概念 ===== | ||
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+ | *函数空间 | ||
+ | *度量空间 | ||
+ | *收敛 | ||
+ | *测度 | ||
+ | *稠子集 | ||
+ | *可分离空间 | ||
+ | *完备度量空间 | ||
+ | *紧致度量空间 | ||
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+ | ===== 变分问题实例 ===== | ||
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+ | 最速降线问题(捷线问题) | ||
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+ | 设O, A是高度不同,且不在同一铅垂线上的两定点,如果不计摩擦和空气阻力,一质点m在重力作用下从O点沿一曲线降落至A 点,问曲线呈何种形状时,质点降落的时间最短。 | ||
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+ | ===== 函数空间 ===== | ||
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+ | 函数空间是由函数构成的空间,在该空间中,每个函数可以被看作一个点。 | ||
+ | 空间满足两个条件: | ||
+ | -定义在一个数域上; | ||
+ | -空间的元素在这个数域上取值. | ||
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+ | ===== 度量空间 ===== | ||
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+ | *度量空间是定义了距离的空间,包含一个空间//X//和一个距离//ρ//的对//(X,ρ)//。 | ||
+ | *距离ρ为对于所有//x,y∈X//定义的单值实函数,满足三个特性: | ||
+ | -非负性://ρ(x,y)≥0//,//ρ(x,y)=0//当且仅当//x=y//; | ||
+ | -对称性://ρ(x,y)=ρ(y,x)//; | ||
+ | -三角不等式://ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)//. | ||
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+ | ===== 收敛 ===== | ||
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+ | 度量空间//S//中的开/闭球是满足如下条件的点//x∈S//的集合,\\ | ||
+ | //ρ(x<sub>0</sub>,x)<r//, 开球\\ | ||
+ | //ρ(x<sub>0</sub>,x)≤r//, 闭球\\ | ||
+ | 半径为//ε//,且中心是//x<sub>0</sub>//的一个//ε//领域,记为//O<sub>ε</sub>(x<sub>0</sub>)//. | ||
+ | |||
+ | 如果\\ | ||
+ | ∀//ε>0//, ∃//N<sub>ε</sub>//,使得\\ | ||
+ | ∀//n>N<sub>ε</sub>//, //x<sub>n</sub>∈O<sub>ε</sub>(x<sub>0</sub>)//\\ | ||
+ | 则//{x<sub>n</sub>}//收敛于//x//. | ||
+ | |||
+ | //{x<sub>n</sub>}//收敛于//x//当且仅当//lim<sub>n→∞</sub>ρ(x,x<sub>n</sub>)=0//. | ||
+ | |||
+ | ===== 测度 ===== | ||
+ | |||
+ | 一个集合//E//的测度//μ(E)//是如下概念的自然扩展: | ||
+ | -一个线段//Δ//的长度//l(Δ)//: //∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx, f(x) = 1//; | ||
+ | -一个空间//G//的容量//V(G)//: //∫∫<sub>Ω</sub>f(x)dΩ, f(x) = 1//; | ||
+ | -空间一个区域的非负函数的积分: //∫∫<sub>Ω</sub>f(x)dΩ, f(x) ≥ 0//. | ||
+ | |||
+ | 集函数:设//X//是非空集合,//S//是//X//上的集类,定义在//S//上的函数称为集函数. | ||
+ | |||
+ | 环:定义了加法和乘法的空间. | ||
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+ | 测度的严格定义为: | ||
+ | 设//R//为//X//上的环,//μ//是定义在//R//上的非负的广义实值(可以取+∞)集函数,且满足如下条件: | ||
+ | -//μ(Ø) = 0// | ||
+ | -(可列可加性)对任何一列互不相交的//A<sub>n</sub>∈R,(n = 1, 2, ...)//,且//∪<sup>∞</sup><sub>i = 1</sub>A<sub>i</sub>∈R//,有//μ(∪<sup>∞</sup><sub>i = 1</sub>A<sub>i</sub>) = ∑<sup>∞</sup><sub>i = 1</sub>μ(A<sub>i</sub>)//, | ||
+ | | ||
+ | 则称//μ//为//R//的测度. | ||
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+ | ===== 可测函数 ===== | ||
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+ | 外测度:一切包含集合//E//的开集的测度的下确界,记为: | ||
+ | |||
+ | //m<sup>*</sup>E = inf<sub>G⊃E</sub>{mG}//. | ||
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+ | 内测度:一切包含于集合//E//的闭集的测度的上确界,记为: | ||
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+ | //m<sub>*</sub>E = sup<sub>F⊂E</sub>{mF}//. | ||
+ | |||
+ | 可测集://E//为有界集,当//E//的外侧度等于//E//的内测度时,称//E//为(勒贝格)可测的. | ||
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+ | 可测函数:设//f//为可测集//E//上的实值函数,如果对每个实数//a//,集合//E(f > a)//恒可测(勒贝格可测),则称//f//是//E//上的(勒贝格)可测函数. | ||
+ | |||
+ | ===== Lebesgue积分 ===== | ||
+ | |||
+ | 设//f//是一个Lebesgue可测函数(它具有有限测度),它可取不超过可数个不同值 | ||
+ | |||
+ | //y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, ..., y<sub>n</sub>, ...// | ||
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+ | 则在集合//A//上的//f//的Lebesgue积分 | ||
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+ | //∫<sub>A</sub>f(x)dμ// | ||
+ | |||
+ | 定义为: | ||
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+ | //∑<sub>n</sub>y<sub>n</sub>μ(A<sub>n</sub>)//, | ||
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+ | 其中, | ||
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+ | //A<sub>n</sub> = {x : x∈A, f(x) = y<sub>n</sub>}//, | ||
+ | |||
+ | 测度//μ//为Lebesgue测度. | ||
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+ | 函数//f//的Lebesgue积分存在仅当上述级数绝对收敛. | ||
+ | |||
+ | ===== Riemann积分与Lebesgue积分的比较 ===== | ||
+ | |||
+ | 与Lebesgue积分相比,更为传统的是Riemann积分. 它是将无穷小的竖直矩形面积的无限和的极限: | ||
+ | |||
+ | //∫<sub>A</sub>f(x)dx = ∑<sub>n</sub>f(x<sub>n</sub>)Δx<sub>n</sub>//. | ||
+ | |||
+ | 在Riemann积分的意义下,只有连续和分段连续的函数才是可积的. 下列函数的Riemann积分不存在: | ||
+ | |||
+ | f(t) = 1, if t is rational; f(t) = 0, otherwise. | ||
+ | |||
+ | 但上述函数的Lebesgue积分存在. Lebesgue可积函数的范围比Riemann可积函数的范围广. | ||
+ | |||
+ | <note>一些连续函数如//f(x) = x<sup>2</sup>//的值域是实数集的一个子集,且不是有理数集的子集。这些函数的值域中有无限不可数个不同的函数值,这不符合Lebesgue积分的限制(f可取不超过可数个不同的值)。这样的函数还是Lebesgue可积的吗?如果不是,是否就不应该有Lebesgue可积函数的范围比Riemann可积函数的范围更广的结论?</note> | ||
+ | |||
+ | ===== 稠密 ===== | ||
+ | |||
+ | *定义:设R是度量空间,A,E⊂R,若E中任何一点的邻域都含有A中的点,称A在E中稠密(A的闭包包含E); | ||
+ | *例子: | ||
+ | -径向基函数全体在C[a,b]中稠密(可逼近任何C[a,b]中的函数); | ||
+ | -全体多项式构成的线性空间P在C[a,b]中稠密; | ||
+ | -设E是可测集,//L<sup>p</sup>(E,μ)//中的有界可测函数全体是//L<sup>p</sup>(E,μ)//(1≤p<∞)中稠密; | ||
+ | |||
+ | ===== 可分 ===== | ||
+ | |||
+ | *定义:设R是度量空间,A⊂R,如果存在至多可数集在A中稠密,称A是可数集。 | ||
+ | *例子: | ||
+ | -N维欧氏空间//E<sup>n</sup>//是可分的(有理数全体是可数集且在); | ||
+ | -空间//l<sup>p</sup>//是可分的; | ||
+ | -C[a,b]和//L<sup>p</sup>[a,b]//是可分的; | ||
+ | -有界数列全体组成的空间l<sup>∞</sup>是不可分的; | ||
+ | |||
+ | ===== 完备性 ===== | ||
+ | |||
+ | *Cauchy序列:设(R,ρ)是度量空间,{//x<sub>n</sub>//}是R中的序列,若对于正数ε,存在N(ε),使得当n,m≥N(ε)时,有:ρ(//x<sub>n</sub>//,//x<sub>m</sub>//) < ε, 称{x<sub>n</sub>}是R中的基本序列。 | ||
+ | | ||
+ | *完备性定义:如果度量空间R中的任何基本序列都收敛,称R是完备空间。 | ||
+ | *例子: | ||
+ | -C[a,b]是一个完备空间; | ||
+ | -空间//L<sup>p</sup>(E,μ)//(p≥1)是完备的; | ||
+ | -空间//l<sup>p</sup>//(p≥1)是完备的; | ||
+ | -(//C[a,b],||*||<sub>1</sub>//)是不完备空间,其中||f||<sub>1</sub>//=//∫<sub>[a,b]</sub>|f(t)|dt | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== 度量空间的完备化 ===== | ||
+ | |||
+ | *定义:设R是度量空间,如果有完备的度量空间//R<sub>1</sub>//,使R保距同构于//R<sub>1</sub>//的稠密子空间,则称//R<sub>1</sub>//是R的完备化空间。(任一度量空间必存在完备化空间) | ||
+ | |||
+ | *紧空间 | ||
+ | -一个度量空间是紧致的,当且仅当它是完全有界的,并且是完备的。 | ||
+ | -设R使一个度量空间,ε是一个任意整数。那么,如果对于每一个x∈M,至少存在一个点a∈A,使得ρ(x,a)<ε成立,那么,A⊂R被称为对于集合M⊂R的一个ε网 | ||
+ | -给定一个度量空间R和一个子集M⊂R,假定对于每一个ε>0,具有一个有限ε网,那么,M被称为完全有界的, | ||
+ | 注:一个紧空间对于所有ε>0,都具有一个有限ε网 | ||
+ | |||
+ | *例子: | ||
+ | -在n维Euclidean空间//R<sup>n</sup>//中,完全有界等价于有界。如果//M⊂R<sup>n</sup>//有界,那么,M被包含在某个超立方体Q中。我们能够将这个超立方体划分为一些边长为ε的更小的超立方体。小立方体的顶点来自Q的一个有限//sqrt(n)*ε/2// | ||
+ | ===== 本章贡献者 ===== | ||
+ | <note important> 本节编撰作者(请大家在这里报到): | ||
+ | * [[fool1025@163.com|金耀]] (ID: 11021032), 编写了... | ||
+ | * [[you@zju.edu.cn|章明]] (ID: xxxxxxxx), 编写了... | ||
+ | * [[mbill@zju.edu.cn|毛旷]] (ID: xxxxxxxx), 编写了... | ||
+ | * [[yizhongzhang@zju.edu.cn|张译中]] (ID: 11021029), 编写了... | ||
+ | * [[xxxx@xxx.xxx|AuthorName4]] (ID: xxxxxxxx), 编写了... | ||
+ | * [[xxxx@xxx.xxx|AuthorName5]] (ID: xxxxxxxx), 编写了... | ||
+ | * [[xxxx@xxx.xxx|AuthorName6]] (ID: xxxxxxxx), 编写了... | ||
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