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 ====== PlayGround ======
-以下是对课件的补充和扩展：
+以下是对课件的补充和扩展（介绍RPCA及其在CVPR2010人脸图像上的应用）：
-.不适用于非高斯噪声污染的数据集。
+不适用于非高斯噪声污染的数据集。\\
+设数据$m\times n$矩阵$M=L+S$，$L$为潜在的低秩矩阵，$S$噪声矩阵。如果$S$非高斯噪声，例如稀疏且幅值不定的噪声，那么PCA将失效。\\
-设数据$m\multi\n$矩阵$M=L+S$，$L$为潜在的低秩矩阵，$S$噪声矩阵。如果$S$非高斯噪声，例如稀疏且幅值不定的噪声，那么PCA将失效。
+{{:playground:snap5.jpg|}} {{:playground:snap6.jpg|}}\\
 此时，宜用改进的模型RPCA(Robust PCA)。
 RPCA通过以下目标函数求解：
-<jsmath>\min_{L,S}\gamma \|L\|_{l_{1}}+\|S\|_{*} \;\; s.t. \; M=L+S</jsmath>
+<jsmath>\min_{L,S}\|L\|_{*}+\lambda \|S\|_{l_{1}} \;\; s.t. \; M=L+S</jsmath>
-此凸函数具有唯一最小值。使用ALM(Augmented Lagrange Multiplier)方法通过迭代可快速计算出结果。
+$\lambda$是权重参数，通常设为$\lambda=\frac{1}{\sqrt{\max\{m,n\}}}$。 $\|\cdot\|_{*}$为核范数，即矩阵奇异值之和。$\|\cdot\|_{l_{1}}$为一范数，即矩阵元素绝对值之和。\\
+此凸函数具有唯一最小值。使用ALM(Augmented Lagrange Multiplier)求解，最小化增强的拉格朗日函数：
-$\gamma$是权重参数，通常设为$\frac{1}{\sqrt{}}$
+<jsmath>\min_{L,S,Y}l(L,S,Y)=\min_{L,S,Y}\|L\|_{*}+\lambda \|S\|_{l_{1}}+ tr\{Y^{T}(M-L-S)\}+\frac{\mu}{2}\|M-L-S\|_{F}^{2}</jsmath>
+$\mu$为另一权重，可取值$\mu=nm/(4\|M\|_{1})$。$\|\cdot\|_{F}$为Frobenius范数，即矩阵元素平方和开根号。
+通过迭代计算求最优值:\\
+.初始化：$S_{0}=Y_{0}=0$，$k=0$\\
+.while $\|M-L-S\|_{F}>10^{-7}\|M\|_{F}$ do\\
+.  $L_{k+1}=D_{1/\mu}(M-S_{k}-Y_{k}/\mu)$\\
+.  $S_{k+1}=S_{\lambda/\mu}(M-L_{k+1}+Y_{k}/\mu)$\\
+.  $Y_{k+1}=Y_{k}+\mu (M-L_{k+1}-S_{k+1})$\\
+.  $k=k+1$\\
+.end while\\
+.输出$L,S$\\
-$x^2
+对于标量$x$，函数$S_{a}(x)=sgn(x)max\{|x|-a,0\}$，即截断操作。当输入为矩阵时，对每一元素独立操作。函数$D_a(X)$也是截断操作，但作用于矩阵奇异值：设矩阵$X$的SVD分解为$X=U\Sigma V^{T}$，那么$D_a(X)=US_{a}(\Sigma)V^{T}$。
-===== JSMath test =====
+对RPCA做一些修改，可用于人脸对齐与去噪。这是RPCA研究团队一篇CVPR2010的工作：\\
-You can simple input inline latex syntax like: $x^2+\frac{1}{b}$.
+Yigang Peng, Arvind Ganesh, John Wright, Wenli Xu, and Yi Ma. RASL: Robust Alignment by Sparse and Low-rank Decomposition for Linearly Correlated Images. To appear in CVPR, June 2010.\\
-Have fun. <jsmath>\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}=\infty</jsmath>
+{{:playground:snap3.jpg|}}\\
+(a)算法输入40张同一人不同光照、遮挡，姿势和表情的图片。(b)-(d)为算法输出，算法同时完成对齐(b)、提取真实人脸（c）和分离噪声（异物）(d)。算法主要思路为寻找一组几何变换$\tau$使对齐后的图像$Dº\tau$能被分解为低秩成分和稀疏噪声。
-<note important>浙江大学2008-2009版权所有，如需转载或引用，请与[[zhx@cad.zju.edu.cn | 作者联系]]。</note>
+ <note important> --- //[[fancij@139.com|胡振方]] 2010/04/27 21:50//</note>

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