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keynote:lesson11

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keynote:lesson11 [2010/06/26 01:27]
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keynote:lesson11 [2014/05/22 08:34] (current)
Line 1: Line 1:
  
 +===== **2.1. 泛函极值的必要条件与Euler方程** =====
 +
 +·泛函极值的必要条件
 + 
 + ​最简单的泛函的极值问题:\\
 + $ J[y(x)]= ​ \int_{x_0}^{x_1} {F(x,​y,​y'​)dx,​} $   (5) \\          ​
 + ​其中,$F∈C^2$,容许曲线$y(x)∈C^2[x_0,​x_1]$,且满足边界条件: \\ 
 + ​$y(x_0)=y_0,​ y(x_1)=y_1.$ ​                   (6)      \\      ​
 + ​极值的必要条件:使泛函$J[y]=\int_{x_0}^{x_1} {F(x,​y,​y'​)dx}$达到极值的必要条件,是y(x)满足Euler方程: \\ 
 + $F_y- \frac{d}{dx}F_y=0.$ ​                ​(7) ​          \\
 + ​证明:构造以α为参数的容许曲线族$\overline {y}(\alpha )=y(x)+\alpha \delta y$,\\
 + ​其中,$\delta y$为宗量y(x)的变分,满足$\delta y|_{x=x_0}=\delta y|_{x=x_1}=0$.\\
 + ​所以,$\overline {y}|_{x=x_0}=y_0,\overline {y}|_{x=x_1}=y_1,\overline {y}\in C^2[x_0,​x_1]$.\\
 + ​假设,当α=0时,$\overline {y}=y(x)$是使泛函(18)达到极值的曲线,将$\overline {y}$代入方程(18),得到\\
 + $\Phi (\alpha )=J[y+\alpha \delta y]=\int_{x_0}^{x_1} {F(x,​y+\alpha \delta y,​y'​+\alpha \delta y'​)dx.}$\\
 + ​由于$\Phi (\alpha )$在α=0时取得极值,由极值的必要条件,有\\
 + $\Phi '​(0)=\frac{\partial }{\partial \alpha }J[y+\alpha \delta y]|_{\alpha =0}=\int_{x_0}^{x_1} {(F_y\delta y+F_y\delta y'​)dx}=0.$ ​                         (8)\\
 + ​由分部积分法,并注意到$\delta y|_{x=x_0}=\delta y|_{x=x_1}=0$,有\\
 + ​$\int_{x_0}^{x_1} {F_{y'​}}\delta y'​dx=\int_{x_0}^{x_1} {F_{y'​}}d(\delta y)=F_{y'​}\delta y|_{x_0}^{x_1}-\int_{x_0}^{x_1} {\delta y\frac{d}{dx}F_{y'​}dx}=-\int_{x_0}^{x_1} {\delta y\frac{d}{dx}F_{y'​}dx}$.\\
 + ​将上式代入方程(8),得到\\
 + $\Phi '​(0)=\delta J=\int_{x_0}^{x_1} {[F_y-\frac{d}{dx}F_{y'​}]\delta ydx}=0.$\\
 + ​由基本引理1知,使泛函J[y]达到极值的函数y(x)必满足Euler方程7.\\
 + ​说明:注意到满足Euler方程7仅是泛函取到极值的必要条件,Euler方程7的解曲线仅仅是可能的极值曲线。但是,在实际问题中,往往可以事先确定泛函的极值是否存在。在确定了极值存在的情况下,Euler方程的解曲线就是极值曲线.\\
 +
 +·Euler方程的几种不同形式\\
 + ​为计算简便,Euler方程7,即\\
 + ​$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'​}=0,​$\\
 + ​可以改写成如下形式:\\
 + ​$F_{y'​y'​}y''​+F_{yy'​}y'​+F_{xy'​}-F_y=0$,​(9)\\
 + 和 \\
 + ​$\frac{d}{dx}(F-y'​F_{y'​})-F_x=0$. (10)  \\
 + ​∗**例1.** 求泛函$J[y(x)]=\int_{0}^{1} {(y'​^2+12xy)dx}$满足边界条件y(0)=0,​y(1)=1的极值曲线.\\
 + ​**解:**由于$F(x,​y,​y'​)=y'​^2+12xy$,其Euler方程为\\ ​
 + ​$12x-2y''​=0.$\\
 + ​解此二阶常微分方程,得\\
 + ​$y=x^3+c_1x+c_2.$\\
 + ​由y(0)=0,​y(1)=1得,$c_1=c_2=0$,因此,J[y(x)]的极值曲线为$y=x^{3}$.\\
 + ​∗**例2.** 求泛函$J[y(x)]=\int_{0}^{1} {(y'​^2-y^2-2xy)dx}$满足边界条件y(0)=y(1)=0的极值曲线.\\
 + ​**解:**$F(x,​y,​y'​)=y'​^2-y^2-2xy$,其Euler方程为\\
 + ​$2y''​+2y+2x=0$.\\
 + ​解这个方程,得\\
 + ​$y=c_1cosx+c_2sinx-x.$\\
 + ​由边界条件y(0)=y(1)=0,得$c_1=0,c_2=\frac{1}{sin1}$,于是,J[y(x)]的极值曲线为\\
 + ​$y=\frac{sinx}{sin1}-x.$\\
 + --- //​[[xiaosai567@gmail.com|黄经州]] 2010/05/21 20:52// \\
 +
 + ​·几种特殊的Euler方程 \\ 
 + ​*$F=F(x,​y)$,​F中不含y'​ \\
 + ​此时,Euler方程为$F_y(x,​y)=0$,​这是一个普通的函数方程,它可以表示一条或几条曲线,但未必适合边界条件。因此,在一般情况下无解,只有曲线满足边界条件时有解。\\ ​
 + ​∗**例3.** 讨论泛函$J[y(x)]= ​ \int_{x_0}^{x_1} {y^2dx,​}$,​$y(x_0)=y_0$,​$y(x_1)=y_1$的极值曲线。\\
 + ​**解:**$F=y^2$,​$F_y=2y=0$,​所以$y=0$.故当y_0=y_1=0时有极值曲线$y=0$,​否则无极值曲线。\\
 + * $F=P(x,​y)+Q(x,​y)y'​$,​F是y'​的线性函数。\\
 + ​此时,Euler方程为$P_y=Q_x$.与上述情况一样,这也是一个普通的函数方程。\\
 + ​但是,如果$P_y=Q_x$,​则$Pdx+Qdy$是某一函数u(x,​y)的全微分,
 + ​因而$ J[y(x)]= ​ \int_{x_0}^{x_1} {(P+Qy'​)dx,​} =\int_{x_0,​y_0}^{x_1,​y_1}{Pdx+Qdy,​}= \int_{x_0,​y_0}^{x_1,​y_1}{du}=u(x_1,​y_1)-u(x_0,​y_0)=const$\\
 + ​此时变分失去意义。\\
 + ​∗**例4.** 讨论泛函$J[y(x)]= ​ \int_{x_0}^{x_1} {(y+xy'​)dx}$,​$y(x_0)=y_0$,​$y(x_1)=y_1$的极值曲线。\\
 + ​**解:**此时,Euler方程成为恒等式,变分失去意义。\\
 + * $F=F(y'​)$,​F只依赖于$y'​$\\
 + ​若$y''​=0$,​则$y=c_1(x)+c_2$是含有两个参数的直线簇。\\
 +若y''​≠0,​则$F_{y'​y'​}(y'​)=0$,​解之得,$y'​=k(常数)$,​即,$y=kx+c$.这是含有一个参数的直线簇,它包含在前面的直线簇中。\\
 +∗**例5.** 在联接两点$A(x_0,​y_0)$,​$B(x_1,​y_1)$的所有平面曲线中,试求长度最短的曲线。\\
 +解:问题可以化为在边界条件$y(x_0)=y_0$,​$y(x_1)=y_1$下求泛函\\
 +$J[y(x)]= ​ \int_{x_0}^{x_1} {\sqrt (1+y'​^2)dx}$的极小值。\\
 +由于$F=sqrt(1+y'​^2)$仅依赖于y',​它的极值曲线为直线簇$y=c_1(x)+c_2$,​代入边界条件确定$c_1$,​$c_2$,​得\\
 +$y=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$.因此,所求最短曲线就是连接A,B两点的直线。\\
 + * $F=F(x,​y'​)$,​F不含$y$\\
 +此时,Euler方程为$\frac{d}{dx}F_{y'​}(x,​y'​)=0$,​它的积分为$F_{y'​}(x,​y'​)=c_1$.这是不含y的一阶常微分方程,解此方程即得可能的极值曲线。\\
 +∗**例6.** 求泛函$J[y]=\int_{x_0}^{x_1} {\frac{\sqrt {1+y'​^2 }}{x}}dx$,​$y(x_0)=y_0$,​$y(x_1)=y_1$,​的极值曲线。\\
 +解:$F=\frac{\sqrt {1+y'​^2} }{x}$的Euler方程为\\
 +$\frac{d}{dx}\frac{y'​}{x\sqrt {1+y'​2} }=0$\\
 +它的初积分为$\frac{y'​}{x\sqrt {1+y'​^2} }=c,​\Rightarrow x=\frac{y'​}{c\sqrt {1+y'​^2} }$\\
 +令$y'​=tant$,​则:\\
 +$x=\frac{tant}{c\sqrt {tan^2t} }=\frac{1}{t}sint=c_1sint,​c_1=\frac{1}{t}$\\
 +$dy=y'​dx=tant\cdot c_1costdt=c_1sintdt$,​\\
 +$y=-c_1cost+c_2$.\\
 +故有,$\left\{ {\begin{array}\ {x=c_1sint,​} ​ \\ {y=-c_1cost+c_2} ​ \\  \end{array} } \right.$\\
 +消去参数t,得,$x^2+(y-c_2)^2=c_1^2$.\\
 +这表示圆心在纵轴上的一簇圆,其中,$c_1$,​$c_2$由边界条件确定。 \\ 
 +<note important>​edited by 杨冰(0921060)2010/​05/​22 </​note> ​ \\
 +
 +∗**例7.** 求最速降线问题的解,即求 \\ $T=\int_{0}^{a} {\frac{\sqrt {1+y'​^2}}{\sqrt{2gy}}}dx$,​$y(0)=0$,​$y(a)=b$,​的极值曲线。\\
 +解:$F=\frac{\sqrt {1+y'​^2}}{\sqrt{2gy}}$不含x,​故Euler方程具有初始积分$y'​F_{y'​}=c$,​即\\
 +$y'​\frac{y'​}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'​^2}}-\frac{\sqrt{1+y'​^2}}{\sqrt{2gy}}=c$\\
 +化简,得$y(1+y'​^2)=c_1.$\\
 +令$y'​=cot\frac{t}{2}$,​则\\
 +$y=\frac{c_1}{1+y'​^2}=c_1sin^2\frac{t}{2}=\frac{c_1}{2}(1-cost)$\\
 +$dx=\frac{dy}{y'​}=\frac{\frac{c_1}{2}sint}{cot\frac{t}{2}}=\frac{c_1}{2}(1-cost)dt.$\\
 +故\\
 +$\left\{ {\begin{array}\ {x=\frac{c_1}{2}(t-sint)+c_2,​} ​ \\ {y= \frac{c_1}{2}\frac{c_1}{2}(1-cost)}. ​   \\  \end{array} } \right.$\\
 +由t=0时,x=0,​得$c_2=0$,​而$c_1$由y(a)=b定出。于是,最速降线问题的解为\\
 +$\left\{ {\begin{array}\ {x=\frac{c_1}{2}(t-sint),​} ​ \\ {y= \frac{c_1}{2}\frac{c_1}{2}(1-cost)}. ​   \\  \end{array} } \right.$\\
 +摆线。这是一条过A,B两点的摆线。\\
 +
 +∗**例8.** 求最小旋转面面积问题的解,即求泛函 \\
 +$S[y]=2π\int_{x_0}^{x_1}{y\sqrt{1+y'​^2}}dx$,​$y(x_0)=y_0$,​$y(x_1)=y_1$ \\ 的极值曲线。 \\
 +解:Euler方程具有初积分$y'​F_{y'​}=c$,即 \\
 +$2πy \frac{y'​^2}{\sqrt{1+y'​^2}}-2πy\sqrt{1+y'​^2}=c$ \\
 +化简得,$y=c\sqrt{1+y'​^2}.$ \\
 +令$y'​=sinht$,代入上式得 \\
 +$y=c_1cosht,​$ \\
 +$dx=\frac{dy}{y'​}=\frac{c_1sinht}{sinht}dt=c_1dt.$ \\
 +于是,所求曲面是由平面曲线 \\
 +$\left\{ {\begin{array}\ {x={c_1}t-c_2,​} ​ \\ {y= c_1cosht}. ​   \\  \end{array} } \right.$\\
 +绕OX轴旋转而成的,消去参数t,得 \\
 +$y=c_1cosh\frac{x-c_2}{c_1},​$ \\
 +其中,$c_1$,​$c_2$由$y(x_0)=y_0$,​$y(x_1)=y_1$确定,因此,最小曲面是悬链面。 \\  ​
 +
 +====**2.2. 含有多个未知函数的变分问题**==== \\
 +★含两个未知函数的泛函极值的必要条件 ​ \\
 +    ☆问题: \\
 +    $J[y(x),​z(x)]=\int_{x_0}^{x_1}{F(x,​y,​z,​y',​z'​)}dx,​$ ​             (11) \\ 
 +    其中,F关于所含变量具有二阶连续领导,容许曲线$y(x)$,​$z(x)$∈$C^2[x_0,​x_1]$,​且满足边界条件: \\
 +    $\left\{ {\begin{array}\ {y(x_0)=y_0,​ y(x_1)=y_1,​} ​ \\ {z(x_0)=z_0,​ z(x_1)=z_1}. ​   \\  \end{array} } \right.$ \\
 +    ☆极值的必要条件:使泛函$J[y(x),​z(x)]=\int_{x_0}^{x_1}{F(x,​y,​z,​y',​z'​)}dx$达到极值的必要条件是,y(x),​z(x)满足Eular方程组,即: \\
 +     ​$\left\{ {\begin{array}\ {F_y-\frac{d}{dx}F_{y'​}=0,​} ​ \\ {F_z-\frac{d}{dx}F_{z'​}=0}. ​       \\  \end{array} } \right.$ ​      ​(12)\\
 +     
 +     ​☆例1.求泛函$J[y,​z]=\int_{0}^{\frac{π}{2}{(y'​^2+z'​^2+2yz)}}dx$满足边界条件: \\
 +     ​$\left\{ {\begin{array}\ {y(x_0)=0, y(\frac{π}{2})=1,​} ​ \\ {z(x_0)=0, z(\frac{π}{2})=-1}. ​   \\  \end{array} } \right.$ \\
 +     ​的极值曲线。 \\
 +     ​解:$F=y'​^2+z'​^2+2yz$,​故Eular方程组为:\\
 +         ​$\left\{ {\begin{array}\ {2z-\frac{d}{dx}(2y'​)=0,​} ​ \\ {2y-\frac{d}{dx}(2z'​)=0}. ​       \\  \end{array} } \right.$\\
 +         ​得: \\
 +         ​$\left\{ {\begin{array}\ {z-y^{(2)}=0,​} ​ \\ {y-z^{(2)}=0}. ​       \\  \end{array} } \right.$\\
 +     ​由此方程组消去z,​得$y^{(4)}-y=0$,其通解为:\\
 +         ​$\left\{ {\begin{array}\ {y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3cosx+c_4sinx,​} ​ \\ {z=y''​=c_1e^x+c_2e^{-x}-c_3cosx-c_4sinx}. ​       \\  \end{array} } \right.$\\
 +     ​由边界条件可确定$c_1=c_2=c_3=0$,​$c_4=1$,​故,所求极值曲线为: \\
 +     ​$\left\{ {\begin{array}\ {y=sinx,​} ​ \\ {z=-sinx}. ​       \\  \end{array} } \right.$\\
 +
 +            <​note>​ edited by 谭小球(0921062)2010/​06/​10</​note>​\\
 + ​★例2 求泛函$J[y(x),​z(x)]=\int_{x_0}^{x_1}{F(y',​z'​)dx,​}$ 的极值曲线,其中假设 F_{y'​y'​}-F^2_{y'​z'​} ≠0 \\
 +解:因为F_y=F_z=0,​故Euler方程组为 \\
 +$\left\{ {\begin{array}\ {\frac{d}{dx}(F_{y'​})=0,​} ​ \\ {\frac{d}{dx}(F_{z'​})=0}. ​       \\  \end{array} } \right.$\\
 +得:\\
 +$\left\{ {\begin{array}\ {F_{y'​y'​}y"​+F_{y'​z'​}z"​=0,​} ​ \\ {F_{y'​z'​}y"​+F_{z'​z'​}z"​=0}. ​       \\  \end{array} } \right.$\\
 +根据假设条件,该方程只有零解y"​=0,​z"​=0,​即 \\
 +$\left\{ {\begin{array}\ {y=c_1x+c_2,​} ​ \\ {z=c_3x+c_4}. ​       \\  \end{array} } \right.$\\
 +是所求的极值曲线。\\
 +·含n(n>​2)个未知函数的泛函极值的必要条件\\
 +泛函$J=\int_{x_0}^{x_1}{F(x,​y_1,​y_2,​…,​y_n,​y'​_1,​y'​_2,​…y'​_n)dx,​}$在满足边界条件 \\
 +$\left\{ {\begin{array}\ {y_i(x_0)=y_{i0},​} ​ \\ {y_i(x_1)=y_{i1}},​i=1,​2,​…n, ​       \\  \end{array} } \right.$\\
 +下,取得极值的必要条件是y_1(x),​y_2(x),​…,​y_n(x),​满足Euler方程组\\
 +F_{yi}-\frac{d}{dx}(F_{y'​i})=0,​i=1,​2,​…n. \\
 +上述方程组通解中的常数,可以由所给的边界条件确定。\\
 +  <​note>​ edited by 杨立春(10921048)2010/​06/​26</​note>​
keynote/lesson11.txt · Last modified: 2014/05/22 08:34 (external edit)