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--- keynote:lesson10 [2010/06/03 13:24]
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 ===== 第一部分 泛函分析 =====
-**目标**：简要地复习在整个课程中将要用到的泛函分析的概念。主要介绍了下面的一些概念\\
-- 函数空间\\
-- 度量空间\\
-- 收敛\\
-- 测度\\
-- 稠子集\\
-- 可分离空间\\
-- 完备度量空间\\
-- 紧致度量空间\\
-- 线性空间\\
-- 线性泛函\\
-- 线性空间的范数和半范数\\
-- 收敛性回顾\\
-- Euclidean空间\\
-- 正交性和基\\
-- Hibert空间\\
-- Delta函数\\
-- 傅立叶变换\\
-- 泛函导数\\
-- 期望\\
-- 大数定律\\
-（定义和概念主要源于Kolmogorov和Fomin的“Introductory Real Analysis”——强烈推荐）
 === 例子 ===
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 \\
-==== //Hibert空间// ====
+==== Hibert空间 ====
-一个//Hibert//空间是一个完备的，可分的，并且通常是无限维的//Euclidean//空间。\\
+**一个Hibert空间是一个完备的，可分的，并且通常是无限维的Euclidean空间。**\\
-一个//Hilbert//空间是元素$f,g,\ldots$的集合$H$，并且对于该集合有\\
+一个Hilbert空间是元素$f,g,\ldots$的集合$H$，并且对于该集合有\\
-. $H$是一个定义标量积的//Euclidean//空间
+. $H$是一个定义标量积的Euclidean空间
 . $H$对于度量$\rho(f,g)=||f-g||$是完备的\\
 . $H$是可分的（包含一个可数的处处稠密的子集）\\
 . （通常）$H$是无限维的\\
+\\
 $l_1$和$l_2$都是Hilbert空间的例子。\\
 \\
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 我们现在考虑返回$f \in C$在位置$t$的值的泛函（一个评价泛函）\\
 \[$\Phi$ [f]=f(t)\]
-注意这个泛函是退化的因为它并不依赖于整个函数$f$，而只依赖于$f$在特定位置$t$的值。\\
+注意这个泛函是退化的因为它并不依赖于整个函数$f$，而只依赖于$f$在特定位置$t$的值。
 $\delta (t)$不是一个泛函而是一个分布。\\
 同一泛函可以被写为\\
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 **例5** 旋链形状问题\\
 **问题描述：求长度为$l$，两端系于$A,B$亮点，绝对柔软而不伸长的匀质链的形状.\\
-**解：设链的方程为\[\cases{y=y(x),(t_0 \leq x \leq t_1)}\]链的线密度为p,小弧段$ds$的位能为：\\
+**解：设链的方程为\[y=y(x),(t_0 \leq x \leq t_1)\]链的线密度为ρ,小弧段$ds$的位能为：\\
-\[\mathrm{d}U=pgy*ds=pgy{\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]
+\[\mathrm{d}U=ρgy*ds=ρgy{\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]
 链的总位能为：
-\[U=pg\int_{0}^{x_1} y{\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]\\
+\[U=ρg\int_{0}^{x_1} y{\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]\\
 泛函U的值与曲线函数y=y(x)有关，记U=U[y(x)].于是，旋链形状问题归结为：求函数y=y(x)，在其满足条件：
-\[\cases{\int_{0}^{x_1} {\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x=l,\\y(0)=y_0,\\ x(0)=x_0,}\]\\
+\[\cases{\int_{0}^{x_1} {\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x=l,\\y(0)=y_0,x(0)=x_0,}\]\\
 下，使得泛函U最小.\\
 ==== 2 变分概念 ====
-**定义1** 设$J[y(x)]$是定义在函数集合$Y={y(x)}$上的泛函，称$y(x)$为$J[y(x)]$的宗量，$Y$为$J[y(x)]$得定义域(或许容许曲线类(簇)).
+**定义1** 设$J[y(x)]$是定义在函数集合$Y={y(x)}$上的泛函，称$y(x)$为$J[y(x)]$的宗量，$Y$为$J[y(x)]$得定义域(或许容许曲线类(簇)).\\
-**例1**设y(x)∈C[0,1],且\[J[y(x)]=\int_{0}^{1} y(x)\mathrm{d}x\]，试求J[1/(x+1)],J[e^x]及J[1/(1+x^2)]. \\
+**例1**设y(x)∈C[0,1],且\[J[y(x)]=\int_{0}^{1} y(x)\mathrm{d}x,\]试求\[J[\frac{1}{x+1}],J[e^x]及J[\frac{1}{1+x^2}].\]\\
-*解\\
+解\\
-     \[J[\frac{1}{1+x}]=\int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d}x=In2\]\\
+       \[J[\frac{1}{1+x}]=\int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d}x=In2.\]\\
-\[L=\int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1+y'^{2}+z'^{2}} \mathrm{d}x\]\\
+** **\[J[e^x]=\int_{0}^{1}{e^x} \mathrm{d}x=e-1\]
-\[J[frac{1}{1+x^2}]=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}\]\\
+** **\[J[\frac{1}{1+x^2}]=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} \mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}.\]\\
+**定义2** 泛函$J[y(x)]$的宗量$y(x)$与另一宗量$y_0(x)$之差，称为宗量$y(x)$的变分，记为\\
-<note important>赖攀_10921057 [10921057@zju.edu.cn]</note>
+\[δy=δy(x)=y(x)-$y_0(x)$.\]
+**定义3** 若max|y(x)-$y_0(x)$|很小，则y(x)与$y_0(x)$具有零阶接近，称函数集合{y(x)｜｜y(x)-$y_0(x)$|<δ｝为$y_0(x)$的零阶δ-邻域.\\
+ 设k为正整数，若\\
+ max{|y(x)-$y_0(x)$|,|y'(x)-$y_0(x)$|,...|yk(x)-$yk_0(x)$|}很小，则称y(x)与$y_0(x)$有k阶接近，称函数集合\\
+ max{y(x)||y(x)-$y_0(x)$|,|y'(x)-$y_0'(x)$|,...,|yk(x)-$yk_0(x)$|}为$y_0(x)$的k阶δ-邻域.\\
+**定义4** 如果对∨ε＞0，使对$y_0(x)$的k阶δ-邻域中的任何y(x),都有|J[y(x)]-J[$y_0(x)$]|<ε,则称J[y(x)]是在$y_0(x)$处具有k阶接近度的连续泛函.\\
+**定义5**设$F(x,y,y')$是三个变元x,y,y'的二阶连续可微函数，x任意固定,η(x)是任意可微函数,ε是无穷小参数，则$F(x,y,y')$的增量为:
+ △F=F(x,y+εη,y'+εy').\\
+<note important>Edited by 赖攀_10921057 [10921057@zju.edu.cn]</note>
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 <note important>WuXiaoChun吴晓春_10921058 [10921058@zju.edu.cn] 2010/05/31 18:30</note>
+泛函分析概况
+    泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
+　　泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
+赋范线性空间
+　  从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究 Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
+　　泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。
+希尔伯特空间
+　　希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。
+巴拿赫空间
+　　一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。
+　　对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）
+　　在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
+　　微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
+主要结果和定理
+　　泛函分析的主要定理包括：
+. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。
+. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。
+. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。
+. 开映射定理和闭图像定理。
+泛函分析与选择公理
+　　泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn's Leema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。
+[编辑本段]
+泛函分析的研究现状
+　　泛函分析目前包括以下分支：
+. 软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。
+. 巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。
+. 非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。
+. 与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照 Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。
+<note important>ChenLiang陈亮_10921053 cliang@zju.edu.cn 2010/05/31 21:50</note>

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