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--- keynote:lesson10 [2010/06/03 13:26]
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-====== 第十课 泛函与变分 ======
-===== 第一部分 泛函分析 =====
-**目标**：简要地复习在整个课程中将要用到的泛函分析的概念。主要介绍了下面的一些概念\\
-- 函数空间\\
-- 度量空间\\
-- 收敛\\
-- 测度\\
-- 稠子集\\
-- 可分离空间\\
-- 完备度量空间\\
-- 紧致度量空间\\
-- 线性空间\\
-- 线性泛函\\
-- 线性空间的范数和半范数\\
-- 收敛性回顾\\
-- Euclidean空间\\
-- 正交性和基\\
-- Hibert空间\\
-- Delta函数\\
-- 傅立叶变换\\
-- 泛函导数\\
-- 期望\\
-- 大数定律\\
-（定义和概念主要源于Kolmogorov和Fomin的“Introductory Real Analysis”——强烈推荐）
-=== 例子 ===
-**例1**. $R^n$是一个$n$维实数空间，即$n$元组$x=(x_1,...,x_n)$，$y=(y_1,...,y_n)$的集合。如果我们定义点积为\\
-\[(x,y)=\sum_{i=1}^n x_i y_i\]
-那么我们得到了$n$维Euclidean空间。$R^n$中相应的范数和距离是\\
-\[||x||=\sqrt {\sum_{i=1}^n {x_i}^2}\]\\
-\[\rho(x,y)=||x-y||=\sqrt {\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}\].\\
-向量\\
-\[e_1=(1,0,0$\ldots$0)\]
-\[e_2=(0,1,0$\ldots$0)\]
-\[$\cdots$\]
-\[e_n=(0,0,0$\ldots$1)\]\\
-构成了$R^n$中的一个标准正交基。\\
-\\
-**例2**. 元素为$x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots )$，$y=(y_1,y_2,\ldots,y_n,\cdots )$，$\cdots$，其中\\
-\[\sum_{i=0}^{\infty} {x_i}^2 < $\infty$,
-	\sum_{i=1}^{\infty} {y_i}^2 < $\infty$，$\ldots\ldots$\]\\
-的空间$l_2$，当使用点积\\
-\[(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i\]\\
-时，变为一个无限维的Euclidean空间。\\
-$l_2$中最简单的标准正交基包括向量\\
-\[e_1=(1,0,0,0$\ldots$)\]
-\[e_2=(0,1,0,0$\ldots$)\]
-\[e_3=(0,0,1,0$\ldots$)\]
-\[e_4=(0,0,0,1$\ldots$)\]
-\[$\ldots$$\ldots$$\ldots$$\ldots$\]
-存在无限个这样的基。\\
-\\
-**例3**. 当包括$[a.b]$上所有连续函数的空间$C_2[a,b]$使用点积\\
-\[(f,g)=\int_a^b f(t) g(t) dt\]
-时，是另一个Euclidean空间的例子。\\
-在这个空间中正交基的一个重要的例子是如下的函数集合\\
-\[1, $\cos \frac{2\pi nt}{b-a}$, $\sin \frac{2\pi nt}{b-a}$ $(n=1,2,\ldots)$\]
-\\
-==== Hibert空间 ====
-**一个Hibert空间是一个完备的，可分的，并且通常是无限维的Euclidean空间。**\\
-\\
-**一个Hilbert空间是元素$f,g,\ldots$的集合$H$，并且对于该集合有**\\
-**1. $H$是一个定义标量积的Euclidean空间**
-**2. $H$对于度量$\rho(f,g)=||f-g||$是完备的**\\
-**3. $H$是可分的（包含一个可数的处处稠密的子集）**\\
-**4. （通常）$H$是无限维的**\\
-\\
-$l_1$和$l_2$都是Hilbert空间的例子。\\
-\\
-==== delta函数 ====
-我们现在考虑返回$f \in C$在位置$t$的值的泛函（一个评价泛函）\\
-\[$\Phi$ [f]=f(t)\]
-注意这个泛函是退化的因为它并不依赖于整个函数$f$，而只依赖于$f$在特定位置$t$的值。\\
-$\delta (t)$不是一个泛函而是一个分布。\\
-同一泛函可以被写为\\
-\[\Phi [f]=f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(s) \delta (s-t)ds\]
-(在$L_2$中)不存在特性像$\delta(t)$一样的普通函数，我们可以将$\delta(t)$看成是一个在$t!=0$时为零并且在$t=0$时取无限值的函数。因此有\\
-\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt=1\]
-$\delta$函数可以被看作是一个普通函数序列的极限。例如，如果\\
-\[r_{\varepsilon}(t)=\frac{1}{\varepsilon}(U(t)-U(t-\varepsilon))\]
-是一个单位面积矩形脉冲，考虑极限\\
-\[\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{-\infty}^{\infty}f(s)r_{\varepsilon}(s-t)ds\]
-由$r_{\varepsilon}$的定义，因为$f$是连续的，所有有\\
-\[\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{\varepsilon}\int_{t}^{t+\varepsilon}f(s)ds=f(t)\]
-<note important>Edited by Gupeiqin顾珮嵚 10921055 mail:[[gupeiqin@zju.edu.cn]]</note>
-===== 第二部分 变分法简介=====
-==== 第一章 变分概念与变分法基本引理 ====
-**变分概念：**变分学研究的主要内容是泛函的极值，凡是求泛函极值的问题都称作变分问题。\\
-==== 1 变分问题的几个实例 ====
-**例1** 捷线问题（最速降线问题）\\
-**问题：**在同一铅直平面内所有连接不在同一铅直线上的$O$、$B$两点的曲线中，求一条曲线$\Gamma$，使初速度为零的质点仅在重力作用下，自较高点$O$沿$\Gamma$滑到点$B$所需时间最短，如图:{{:keynote:例1.jpg?303*176}}\\
-**求解思路：**利用数学建模写出相应的数学公式；将泛函极值的问题化为相应的欧拉问题；用微分法求解欧拉方程则得到相应的泛函极值。\\
-**解：**设曲线$\Gamma$的方程为$y＝y(x)$，质点质量$m$，下滑到曲线上点$M$时获得速度为$v$，则\\
-由能量守恒、速度的定义与弧长公式分别有：\[mgh=\frac{mv^2}{2}；\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v；\mathrm{d}s={\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]\\
-于是$O$到$B$的总时间为如下积分：\[T=\int_{0}^{T}\mathrm{d}t=\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gh}} \mathrm{d}x\]
-于是问题归结为：求解泛函$T=T[y(x)]$，且满足边界条件：y(0)=0,y(a)=b的极值曲线$\Gamma$
-**例2** 短程线问题\\
-**问题：**设$A(x_0,y_0,z_0)$和$B(x_1,y_1,z_1)$为曲面$\Sigma:\phi(x,y,z)=0$上的两点，求$\Sigma$上过$A，B$的长度最小的曲线$\Gamma$（也叫测地线）\\
-**解：**设曲线$\Gamma$的方程为:
-\[\cases{y=y(x) \\z=z(x) },x_0 \leq x \leq x_1\]\\
-则曲线$\Gamma$的弧长为:
-\[L=\int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1+y'^{2}+z'^{2}} \mathrm{d}x\]\\
-于是问题归结为：求解泛函$L=L[y(x),z(x)]$，中满足边界条件：
-\[\cases{y_0=y(x_0) \\y_1=y(x_1},\cases{z_0=z(x_0) \\z_1=z(x_1}\]\\
-和约束条件：
-\[\phi(x,y,z)=0\]\\
-的极值曲线$\Gamma：y=y(x),z=z(x)$\\
-   <note important>TanMin谭敏_10921056 tanmin@zju.edu.cn 2010/05/28 21:50</note>
-**例3** 等周问题\\
-**问题描述：**求长为定值$l$的平面封闭曲线$\Gamma$，使其所围成的平面区域$D$的面积最大.\\
-**解：**设曲线$\Gamma$的方程为:
-\[\cases{x=x(t) \\y=y(t) },t_0 \leq x \leq t_1\]\\
-则封闭曲线$\Gamma$的弧长为:
-\[l=\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{1+x'^{2}(t)+y'^{2}(t)} \mathrm{d}t\]\\
-由Green公式，$\Gamma$所围面积$A$为\\
-\[A=0.5\int_{t_0}^{t_1} \ {(xy'-yx')} \mathrm{d}t\]\\
-于是等周问题可以归结为：求一对函数$x=x(t),y=y(t)$在其满足约束条件\\
-\[\cases{x(t_0)=x(t_1) \\y(t_0)=y(t_1)}\]\\
-和等周条件
-\[l=\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{1+x'^{2}(t)+y'^{2}(t)} \mathrm{d}t\]\\
-下使得泛函$A$取极大值.\\
-**例4** 最小旋转曲面问题\\
-**问题描述：**在XOY平面内求一条边界固定的曲线，使其绕横轴旋转所产生的空间曲面面积最小.\\
-**解：**设过点$A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)$的曲线$\Gamma$的方程为:
-\[y=y(x),x_0 \leq x \leq x_1\]\\
-则旋转曲面的面积$S$为:\\
-\[S=2\pi \int_{x_0}^{x_1} y{\sqrt{1+y'^{2}}} \mathrm{d}x\]\\
-记$S=S[y(x)]$.于是，最小旋转曲面问题归结为：求曲线\\
-\[y=y(x),x_0 \leq x \leq x_1\]\\
-在其满足约束条件\\
-\[\cases{y(x_0)=y_0 \\y(x_1)=y_1}\]\\
-下使泛函$S$取极小值.\\
-**例5** 旋链形状问题\\
-**问题描述：求长度为$l$，两端系于$A,B$亮点，绝对柔软而不伸长的匀质链的形状.\\
-**解：设链的方程为\[\cases{y=y(x),(t_0 \leq x \leq t_1)}\]链的线密度为p,小弧段$ds$的位能为：\\
-\[\mathrm{d}U=pgy*ds=pgy{\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]
-链的总位能为：
-\[U=pg\int_{0}^{x_1} y{\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]\\
-泛函U的值与曲线函数y=y(x)有关，记U=U[y(x)].于是，旋链形状问题归结为：求函数y=y(x)，在其满足条件：
-\[\cases{\int_{0}^{x_1} {\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x=l,\\y(0)=y_0,\\ x(0)=x_0,}\]\\
-下，使得泛函U最小.\\
-==== 2 变分概念 ====
-**定义1** 设$J[y(x)]$是定义在函数集合$Y={y(x)}$上的泛函，称$y(x)$为$J[y(x)]$的宗量，$Y$为$J[y(x)]$得定义域(或许容许曲线类(簇)).
-**例1**设y(x)∈C[0,1],且\[J[y(x)]=\int_{0}^{1} y(x)\mathrm{d}x\]，试求J[1/(x+1)],J[e^x]及J[1/(1+x^2)]. \\
-*解\\
-     \[J[\frac{1}{1+x}]=\int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d}x=In2\]\\
-\[L=\int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1+y'^{2}+z'^{2}} \mathrm{d}x\]\\
-\[J[frac{1}{1+x^2}]=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}\]\\
-<note important>赖攀_10921057 [10921057@zju.edu.cn]</note>
-**定义6** 如果泛函J[y(x)]的增量ΔJ=J[y+δy]-J[y]可表示为:\\
-\[\ ΔJ=J[y,δy]+β(y,δy)max|δy|,\]\\
-其中,J[y,δy]对δy是线性的,且δy→0时,β(y,δy)→0,则称J[y,δy]为泛函J[y]的变分,\\
-记作δy,即δy=J[y,δy]。\\
-**定义7** 如果\[Φ’(0)=\frac{\mathrm{∂}}{\mathrm{∂}a}J[y+aδy]|a=0\]存在,则称Φ’(0)为泛函J[y]的变分,仍将其记为δJ,即\\
-\[\ δJ=Φ’(0)=\frac{\mathrm{∂}}{\mathrm{∂}a}J[y+aδy]|a=0\]\\
-**定义8** 如设y_0(x)是泛函J[y]的容许曲线簇Y中的某一函数,若对∀y∈Y,都有\\
-\[\ J[y(x)]≤J[y_0(x) (或J[y(x)]≥J[y_0(x)),\]\\
-则称泛函J[y]在y_0(x)处达到极大(小)值,(或绝对极大(小)值),并称y_0(x)为J[y]的极大(小)值曲线。\\
-若y_0(x)的 零阶σ–邻域内所有函数y(x)，都有\\
-\[\ J[y(x)]≤J[y_0(x) (或J[y(x)]≥J[y_0(x)),\]\\
-则称泛函J[y]在y_0(x)处达到强极大(小)值。\\
-若y_0(x)的 一阶σ–邻域内所有函数y(x)，都有\\
-\[\ J[y(x)]≤J[y_0(x) (或J[y(x)]≥J[y_0(x)),\]\\
-则称泛函J[y]在y_0(x)处达到弱极大(小)值。极大(小)值曲线。\\
-**推论1** 强极值必是弱极值，但反之不真。\\
-**推论2** 绝对极值必是强极值。\\
-**推论3** 泛函J[y]达到绝对极值的必要条件也是达到弱极值的必要条件，更是达到强极值的必要条件。\\
-<note important>WuXiaoChun吴晓春_10921058 [10921058@zju.edu.cn] 2010/05/31 18:30</note>

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