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keynote:lesson06 [2010/04/15 22:46] 10921061 |
keynote:lesson06 [2023/08/19 21:02] |
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- | ====== 第六课 泊松方程 ====== | ||
- | ===== 关于泊松 ===== | ||
- | 泊松的老师-拉普拉斯。LOL都是大牛呀。 | ||
- | 泊松也是大牛,以泊松命名的词汇,如 | ||
- | - 泊松方程 | ||
- | - 泊松分布 | ||
- | - 泊松常量 | ||
- | ===== 背景知识 ===== | ||
- | ==== 变分命题与一般极值问题 ==== | ||
- | 历史上有很多有名的极值问题,其求解方法可以统称为变分法,如: | ||
- | - 两点间的最短连线问题 | ||
- | - 最速下降线问题 | ||
- | - 短线程问题 | ||
- | - ... | ||
- | === 两点间的最短连线问题 === | ||
- | 为什么”任意两点间的最短连线是连接两端的连线“? | ||
- | {{:keynote:l.gif|}} | ||
- | <note tip>8-)很常识的问题,但要问为什么,估计很少人能够用数学的方法来回答。</note> | ||
- | - 问题的假设 | ||
- | - 二维平面空间,一点坐标是原点(0,0),一点在(a,b) | ||
- | - 两点间的连接曲线是y=y(x) | ||
- | - 曲线的弧长微分是<jsmath>ds^2=dx^2+dy^2</jsmath>或 {{:keynote:111-1.jpg|}} | ||
- | - 曲线的总弧长是{{:keynote:111-2.jpg|}} | ||
- | | ||
- | - 问题的数学描述 | ||
- | 找出具有曲线y(x)使得 | ||
- | {{:keynote:6-1-10-1.jpg|}} | ||
- | 同时必须满足端点的约束条件(constraint condition) | ||
- | {{:keynote:6-1-10-2.jpg|}} | ||
- | - 其变分极值问题为 | ||
- | {{:keynote:6-1-11-1.jpg|}} | ||
- | - 略去的高次微量得 | ||
- | {{:keynote:6-1-11-2.jpg|}} | ||
- | - 分部积分,并利用,得 | ||
- | {{:keynote:6-1-11-3.jpg|}} | ||
- | - 由变分法预备定理,给出以下微分方程 | ||
- | {{:keynote:6-1-12-1.jpg|}} | ||
- | - 积分得 | ||
- | {{:keynote:6-1-12-2.jpg|}} | ||
- | - 由端点约束条件得 | ||
- | y=(b/a)x | ||
- | |||
- | ===== 变分命题 ===== | ||
- | * 第一类变分问题: | ||
- | * 被积函数包括一阶导数的变分问题 | ||
- | * 满足端点约束条件 | ||
- | * 在所有的足够光滑函数y(x)中,求使以下泛函为极值 | ||
- | <jsmath> \Pi(y)= \int^β_αF(x,y,y')dx</jsmath> | ||
- | * 第二类变分问题: | ||
- | * 两个待定函数:y(x),z(x) | ||
- | * 满足约束条件:φ(x,y,z)=0 | ||
- | * 满足端点条件 | ||
- | * 在所有的足够光滑函数y(x),z(x)中,求使以下泛函为极值 | ||
- | <jsmath>\Pi(y,z)=\int^β_αF(x,y,y',z,z')dx</jsmath> | ||
- | --- //[[qiuweiwei@zju.edu.cn|邱炜伟]] 2010/04/11 21:28// | ||
- | |||
- | ===== 变分中的符号 ===== | ||
- | * 给定函数y(x) | ||
- | * 宗量:x | ||
- | * 函数:y(x) | ||
- | * 宗量的增量:Δx | ||
- | * 函数的增量: | ||
- | * Δy=y(x+Δx)-y(x) | ||
- | * 当两点无限接近: | ||
- | * Δx→dx,Δy→dy | ||
- | * 略去高阶微量: | ||
- | * dy=y’(x)dx | ||
- | * 当在x处取得函数极值 | ||
- | * dy=0 | ||
- | * 给定泛函 Π(y) | ||
- | * 宗量:y | ||
- | * 泛函:Π(y) | ||
- | * 函数的变分:δy (函数y(x)在定义域内与y(x)+δy(x)处无限接近 | ||
- | * 泛函的变分: | ||
- | * δΠ=Π(y+δy)-Π(y) | ||
- | * 在计算δΠ时可以展开Π(y+δy)中的被积函数只保留线性项 | ||
- | * 当在y处取得泛函极值 | ||
- | * δΠ=0 | ||
- | --- //[[qiuweiwei@zju.edu.cn|邱炜伟]] 2010/04/11 21:32// | ||
- | ===== 第一类变分问题 ===== | ||
- | * 设函数y(x)是下式的极值解 <jsmath>\Pi(y)=\int^\beta_\alpha F(x,y,y')dx</jsmath> | ||
- | * 且满足端点条件<jsmath>y(\alpha)= \overline{y_1},y(\beta)= \overline{y_2}</jsmath> | ||
- | * 设其邻近的函数y(x)+δy(x)也满足端点条件 | ||
- | * 因此端点变分满足δy(α)=δy(β)=0 | ||
- | * 泛函的变分为<jsmath>\delta\Pi=\Pi(y+\delta{y})-\Pi(y)=\int^\beta_\alpha{F(x,y+\delta{y},y'+\delta{y}')-F(x,y,y')}dx </jsmath> | ||
- | * 根据微量计算规则,设y(x)和y(x)+δy(x)是有一阶接近的曲线<jsmath>F(x,y+\delta y,y'+\delta y')=F(x,y,y')+\bigg[\frac{\partial}{\partial y}F(x,y,y')\bigg ]\delta y+\bigg[\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y')\bigg ]\delta y'</jsmath> | ||
- | * 引入简写符号<jsmath>F=F(x,y,y'),F_y=\frac{\partial}{\partial y}F(x,y,y'),F_y'=\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y')</jsmath> | ||
- | * 可得<jsmath>\delta F=F_y\delta y + F_y'\delta y'</jsmath> | ||
- | * 泛函的变分为:<jsmath>\delta \Pi=\int^\beta _\alpha \delta Fdx=\int^\beta _\alpha \Big [F_y\delta y+F_y'\delta y'\Big ]dx</jsmath> | ||
- | * 可以证明:函数y(x)的导数的变分等于函数y(x)的变分的导数,亦即导数和变分两种运算**可以互换**运算顺序:<jsmath>\delta y'=\big(\delta y\big )'</jsmath> | ||
- | --- //[[qiuweiwei@zju.edu.cn|邱炜伟]] 2010/04/12 20:51// | ||
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- | ===== 变分问题的欧拉方程 ===== | ||
- | * 由预备定理可知:<jsmath>F_y-\frac{d}{dx}F_y'=0,\alpha \leq x\leq\beta</jsmath> | ||
- | * 如果展开dF<sub>y'/</sub>dx\[ F_y-\frac{{\partial}^2 F}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial}^2 F}{\partial y\partial y'}y'-\frac{{\partial}^2 F}{\partial y'\partial x}y''=0 \] | ||
- | * 其中F(x,y,y’)必须具有二阶偏导数,y(x)也必须具有二阶偏导数。 | ||
- | <note>**由此把变分问题转化为微分方程求解**</note> | ||
- | --- //[[qiuweiwei@zju.edu.cn|邱炜伟]] 2010/04/12 20:53// | ||
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- | ===== 泛函变分问题的一般求解步骤 ===== | ||
- | <note tip>1.从物理上建立泛函及其条件\\ | ||
- | 2.通过泛函变分,利用变分法基本预备定理求得欧拉方程\\ | ||
- | 3.在边界条件下求解欧拉方程,即微分方程求解</note> | ||
- | ===== 变分法与欧拉方程 ===== | ||
- | * 变分法与欧拉方程代表同一物理问题 | ||
- | * 欧拉方程求解和从变分法求数值近似解(如有限元,利兹法,伽辽金法等),其效果一样 | ||
- | | ||
- | * 欧拉方程求解很困难,但从泛函求近似解通常很方便,因而变分法一直被广为重视。 | ||
- | * 但并不是所有的微分方程都能找到相对应的泛函问题。 | ||
- | --- //[[qiuweiwei@zju.edu.cn|邱炜伟]] 2010/04/12 20:50// | ||
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- | ===== 泊松方程 ===== | ||
- | ==== 泊松方程 ==== | ||
- | 泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。方程形式如下: | ||
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- | $\Delta f = -\rho$ | ||
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- | 这里的 $\Delta$ 代表的是拉普拉斯算子, | ||
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- | | $\Delta\equiv\displaystyle {\partial ^2 \over\partial ^2x}+{\partial ^2 \over\partial ^2y}$ | | ||
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- | 而 $f$ 和 $\rho$ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。其中$\rho$可以表示为$\rho =\rho (x,y)$的形式。 | ||
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- | ==== 变分解释 ==== | ||
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- | $f^*=arg\min_f\int\!\!\!\int_\Omega\|\nabla f-v\|^2$ | ||
- | 满足 | ||
- | $f^*|_{\partial\Omega}=f|_{\partial\Omega}$ | ||
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- | 令$F=\|\nabla f-v\|^2$,那么,根据欧拉方程:$F_f-\displaystyle {\partial\over\partial x}F_{f_x}-{\partial\over\partial y}F_{f_y}=0$ | ||
- | 可以得到如下的形式: | ||
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- | $\Delta f=div(v) $ 满足 $f^*|_{\partial\Omega}=f|_{\partial\Omega}$ | ||
- | |||
- | 其中$v$是一个向量场,但并不一定是梯度场。 | ||
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- | <note tip>$div(v)$表示v的散度,如果把v表示成$v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$的形式,则$div(v)$可以由公式 | ||
- | |||
- | $div(v)=\displaystyle {\partial P\over\partial x}+{\partial Q\over\partial y} + {\partial R\over\partial z}$ | ||
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- | 给出。</note> | ||
- | ====边界条件==== | ||
- | {{:keynote:boundaryconditions.png|}} | ||
- | |||
- | 注:图中$\Omega$表示某一给定的区域,$\partial\Omega$表示区域的边界,$ds$的方向表示在边界$\partial\Omega$处的(向外的)法向。 | ||
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- | * Dirichlet 边界条件:$f|_{\partial\Omega}$ | ||
- | <note tip>狄利克雷边界条件(Dirichlet boundary condition)也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”,指定微分方程的解在边界处的值。</note> | ||
- | * Neumann 边界条件:${\displaystyle{ {\partial f}\over{\partial s}}|_{\partial\Omega}}$ | ||
- | <note tip>诺伊曼边界条件(Neumann boundary condition) 也被称为常微分方程或偏微分方程的“第二类边界条件”。诺伊曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分。</note> | ||
- | ===解的存在性=== | ||
- | 如果指定了在$\partial\Omega$上的Dirichlet边界条件或Neumann边界条件,那么泊松方程在区域$\Omega$中的解是唯一可确定的 | ||
- | ====泊松方程的物理原型==== | ||
- | 前面也讲到,泊松方程在静电学和理论物理中是比较常见的,下面说的两个物理原型也是分别来自这两个领域的。 | ||
- | ===静电势=== | ||
- | 一个电荷的静电场如下图所示: | ||
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- | {{:keynote:electrostaticpotential.png|}} {{:keynote:electrostaticpotential_derivation.png|}} | ||
- | |||
- | 其中,$\rho (x)$表示电荷密度,$\Phi$表示电势,$E$表示电场。电荷之间作用力的公式$\displaystyle F={{q_1 q_2 r}\over{4\pi\varepsilon _0r^3}}$,其中的$\varepsilon _0$为真空电容率。 | ||
- | |||
- | 我们知道,高斯定律的积分形式可以表示为: | ||
- | <jsmath>\displaystyle\oint _s{E\cdot ds} = \int _V{{\rho (x)}\over{\varepsilon _0}}dv</jsmath> | ||
- | 高斯散度定理的向量表示为: | ||
- | <jsmath>\displaystyle\oint _s{E\cdot ds} = \int _V{\nabla\cdot E}dv</jsmath> | ||
- | 根据以上两式,可以得到 | ||
- | <jsmath>\displaystyle \nabla\cdot E={{\rho (x)}\over{\varepsilon _0}}</jsmath> | ||
- | 再由$E=-\nabla\Phi$可得泊松方程如下: | ||
- | <jsmath>\Delta\Phi = \displaystyle- {{\rho (x)}\over{\varepsilon _0}}</jsmath> | ||
- | |||
- | 因此,电场$E$,电势$\Phi$,电荷密度$\rho$之间的关系可以表示成如下图所示的形式: | ||
- | {{:keynote:electrostaticpotential_relationship.png|}} | ||
- | ===以及=== | ||
- | {{:keynote:electrical_field.jpg|}} | ||
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- | ===重力场=== | ||
- | 一个重力场的示意图如下: | ||
- | |||
- | {{:keynote:gravitationalpotential.png|}} | ||
- | |||
- | 与静电场中类似的,在重力场中,$\rho (x)$表示质量密度,$\Phi$表示重力势,$g$表示力场(重力加速度)。物体受到的重力的公式表示为$\displaystyle F={{mMGr}\over{r^3}}$,由高斯定理、$g=-\nabla\Phi$以及$F=mg$可得到如下的泊松方程: | ||
- | <jsmath>\Delta\Phi = -4\pi G\rho (x)</jsmath> | ||
- | 重力加速度$g$、质量密度$\rho$以及重力势$\Phi$之间具有如下的关系: | ||
- | |||
- | {{:keynote:gravitationalpotential_relationship.png|}} | ||
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- | ===推广到图像中=== | ||
- | 我们知道了泊松方程的两个物理原型,如果将其推广到图像领域中,我们可以把图像看作一个场$I$,用$\rho (x)$表示图像密度,用$g$表示图像梯度,则有泊松方程$g=-\nabla I$,以及三者之间的关系如下: | ||
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- | {{:keynote:imagepotential_relationship.png|}} | ||
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- | 形象化一点表示,就是下面所示的样子: | ||
- | |||
- | {{:keynote:imagepotential_relationship2.png|}} | ||
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- | 由于三者之间可以相互转换,所以如果我们知道了图像区域的密度函数以及边界处的颜色值,就可以计算出整幅图像的内容。 | ||
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- | {{:keynote:lession6.possionimageexample.png|}} | ||
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- | <note important> Revised by Zhang Bin (张斌), <zhangbin@zjucadcg.cn> </note> | ||
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- | ===== 应用 ===== | ||
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- | ==== 泊松图像编辑 ==== | ||
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- | 泊松图像编辑是泊松方程的一个重要应用,首先提出该应用的是P.P\'erez, M. Gangnet, and A. Blake (Poisson image editing. SIGGRAPH 2003),该文章对现在的图像编辑技术有着非常重要的影响,随后的几年又出现了很多类似的图像编辑方法,如 [Jiaya Jia et al. Drag and-drop pasting]于2006年提出了最优的融合边界用于改进泊松图像编辑的效果,[Zeev Farbman et al. coordinates for instant image cloning]在SIGGRAPH 2009中提出了使用Mean-Value coordinates用于计算基于梯度域的图像编辑,该方法实现简单且运行速度快,从而避免了求解复杂的泊松方程。 | ||
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- | --- //[[1@1|张赟]] 2010/04/15 22:44// | ||
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- | <note important>revised by 张赟 jackiezhy@126.com</note> | ||
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- | ==== 泊松/拉普拉斯曲面编辑 ==== | ||
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- | ===== 如何解偏微分方程 ===== | ||
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- | ===== 更多内容 ===== |