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keynote:2011-lesson12

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keynote:2011-lesson12 [2011/07/17 11:18]
11021076
keynote:2011-lesson12 [2014/05/22 08:34]
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-====== 第十二课 水平集(二)====== 
-\\ 
- 
-======课程概要====== 
- 
-1. Level set的基本方法 
- 
-2. Level set的数值解法 
- 
-3. Level set的建模方法与应用举例 
- 
-4. PDE方法的未来 
-\\ 
-<​note>​Revised by 陈林 11021072 2011/6/28/ 16:​00</​note>​ 
-======Level set的基本概念====== 
- 
-====定义==== 
-假设隐函数$\phi(x,​t)$表示一个高维空间的方程,其在低维空间上的接触面为$\phi(x,​t)=0$,其中 
- 
-$x=(x_1,​x_2,​\cdots,​x_n)\in R^n$,则level set方程 $\Gamma(t)$ 有如下的性质,其中接触面表示为 
- 
-$\phi(x,​t)<​0$ for  $x\in \Omega$ 
- 
-$\phi(x,​t)>​0$ for  $x\not\in \Omega$ 
- 
-$\phi(x,​t)=0$ for  $x\in \partial\Omega$ 
- 
-<​note>​Revised by 陈林 11021072 2011/6/28/ 16:​15</​note>​ 
-======Level set的求解====== 
- 
-Level set的运动可以表示为 
- 
-$\frac{\partial\phi}{\partial t}+v\cdot \nabla\phi=0$ 
- 
-若设 $v_{N}=v\cdot \frac{\partial \phi}{|\partial \phi|}$ 则有 
- 
-$\frac{\partial\phi}{\partial t}+v_{N}\cdot|\nabla\phi|=0$ 
- 
-因此Level set方法本质上就是求解上述微分方程。 
- 
-<​note>​Revised by 陈林 11021072 2011/6/28/ 16:​30</​note>​ 
-======Level set求解的目标====== 
- 
-如何列出有意义的方程求解实际问题 
- 
-如何能快速、稳定地求出方程的数值解 
- 
-========Level set的常用数值解法======== 
- 
-Upwind 差分法 
-  
-Hamilton-Jacobi ENO 
- 
-Hamilton-Jacobi WENO 
- 
-TVD Runge-Kutta 
- 
-求解Level set的数值方法一般分为3步: 
- 
-1.用ENO,​WENO或upwind方法求解对流项。 
-2.用中心差分的方法估算曲率。 
-3.用TVD RK方法来求解。 
-<note important>​Revised by 张王晟 11021076</​note>​ 
- 
-======Upwind 差分====== 
- 
-    假设t^n=n∆t 
-    ∂φ/​∂t+v.∇φ=0=>​(φ^(n+1)-φ^n)/​∆t+v^n.∇φ^n=0 
-    根据CIR格式,先考虑一维的情况,当v^n>​0时,曲线从左往右移动,所以要用到φ_i^n 左边的值,即用向后差分来估计∇φ^n . 同理,当v^n<​0时,用向前差分。 
-    算法的精度 O(∆x) 
-    算法的稳定条件 ∆t max{|v_x |/Δx+|v_y |/Δy+|v_z |/​Δz}∈(0,​1) 
-    可见upwind差分法虽然简单,但是精度不高,计算速度慢 
-Hamilton-Jacobi ENO 方法 
-    ENO: Essentially Nonoscillatory(不波动,不摇动)  ​ 
-  基本思想:用尽量光滑的多项式插值φ然后再求解φ_x。用HJ ENO方法可以更精确地估计φ_x^+或者φ_x^-。 
-    定义算子 D_i^0=φ_i 
-           ​D_(i+1/​2)^1 φ=(D_(i+1)^0 φ-D_i^0 φ)/​Δx ​ 
-           D_i^2 φ=(D_(i+1/​2)^1 φ-D_(i-1/​2)^1 φ)/2Δx 
-    WENO:  Weighted ENO  
- 当计算〖(φ_x^-)〗_i时,三阶精度的HJ ENO算法需要知道{φ_(i-3),​φ_(i-2),​φ_(i-1),​φ_i,​φ_(i+1),​φ_(i+2)}的值,共有3种HJ ENO估计〖(φ_x^-)〗_i的方法。定义 ​ 
-<note important>​Revised by 盛佳 11021074 2011/6/19/ 20:00</​note>​ 
- 
-======TVD Runge-Kutta方法====== ​       
- 
-TVD: total variation diminishing 
- 
-优势: 
- 
-1. 更高阶的精度 
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-2. 更加一般的算法 
- 
-一阶TVD RK就是向前Euler算法 
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-二阶TVD RK和二阶RK算法相似 
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-三阶TVD RK算法简介 
- 
-$\frac{\phi^{n+1}-\phi^n}{\Delta t}+v^n\cdot\nabla\phi^n=0$ 
- 
-$\frac{\phi^{n+2}-\phi^{n+1}}{\Delta t}+v^{n+1}\cdot\nabla\phi^{n+1}=0$ 
- 
-$\phi^{n+1/​2}=3/​4\phi^{n+1}+1/​4\phi^{n+2}$ 
- 
-$\frac{\phi^{n+3/​2}-\phi^{n+1/​2}}{\Delta t}+v^{n+1/​2}\cdot\nabla\phi^{n+1}=0$ 
- 
-$\phi^{n+1}=1/​3\phi^n+2/​3\phi^{n+3/​2}$ 
- 
-<​note>​Revised by 陈林 11021072 2011/6/28/ 22:​00</​note>​ 
  
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