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--- keynote:2011-lesson05 [2011/06/09 20:50]
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+====== 第五课 泛函分析概要 ======
+===== 参考文献 =====
+苏家铎，潘杰，方毅，狄成恩.泛函分析与变分法.中国科学技术大学出版社.1993\\
+钱伟长.格林函数和变分法在电磁场和电磁波计算中的应用.上海大学出版社.2000\\
+===== 基本概念 =====
+  *函数空间
+  *度量空间
+  *收敛
+  *测度
+  *稠子集
+  *可分离空间
+  *完备度量空间
+  *紧致度量空间
+===== 变分问题实例 =====
+最速降线问题（捷线问题）
+设O, A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点m在重力作用下从O点沿一曲线降落至A 点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。
+===== 函数空间 =====
+函数空间是由函数构成的空间，在该空间中，每个函数可以被看作一个点。
+空间满足两个条件：
+  -定义在一个数域上;
+  -空间的元素在这个数域上取值.
+===== 度量空间 =====
+  *度量空间是定义了距离的空间，包含一个空间//X//和一个距离//ρ//的对//(X,ρ)//。
+  *距离ρ为对于所有//x,y∈X//定义的单值实函数，满足三个特性：
+  -非负性：//ρ(x,y)≥0//，//ρ(x,y)=0//当且仅当//x=y//;
+  -对称性：//ρ(x,y)=ρ(y,x)//;
+  -三角不等式：//ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)//.
+===== 收敛 =====
+度量空间//S//中的开/闭球是满足如下条件的点//x∈S//的集合，\\
+//ρ(x<sub>0</sub>,x)<r//,  开球\\
+//ρ(x<sub>0</sub>,x)≤r//,  闭球\\
+半径为//ε//，且中心是//x<sub>0</sub>//的一个//ε//领域，记为//O<sub>ε</sub>(x<sub>0</sub>)//.
+如果\\
+∀//ε>0//, ∃//N<sub>ε</sub>//，使得\\
+∀//n>N<sub>ε</sub>//, //x<sub>n</sub>∈O<sub>ε</sub>(x<sub>0</sub>)//\\
+则//{x<sub>n</sub>}//收敛于//x//.
+//{x<sub>n</sub>}//收敛于//x//当且仅当//lim<sub>n→∞</sub>ρ(x,x<sub>n</sub>)=0//.
+===== 测度 =====
+一个集合//E//的测度//μ(E)//是如下概念的自然扩展：
+  -一个线段//Δ//的长度//l(Δ)//: //∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx, f(x) = 1//;
+  -一个空间//G//的容量//V(G)//: //∫∫<sub>Ω</sub>f(x)dΩ, f(x) = 1//;
+  -空间一个区域的非负函数的积分: //∫∫<sub>Ω</sub>f(x)dΩ, f(x) ≥ 0//.
+集函数：设//X//是非空集合，//S//是//X//上的集类，定义在//S//上的函数称为集函数.
+环：定义了加法和乘法的空间.
+测度的严格定义为：
+设//R//为//X//上的环，//μ//是定义在//R//上的非负的广义实值(可以取+∞)集函数，且满足如下条件：
+  -//μ(Ø) = 0//
+  -(可列可加性)对任何一列互不相交的//A<sub>n</sub>∈R,(n = 1, 2, ...)//，且//∪<sup>∞</sup><sub>i = 1</sub>A<sub>i</sub>∈R//，有//μ(∪<sup>∞</sup><sub>i = 1</sub>A<sub>i</sub>) = ∑<sup>∞</sup><sub>i = 1</sub>μ(A<sub>i</sub>)//,
+则称//μ//为//R//的测度.
+===== 可测函数 =====
+外测度：一切包含集合//E//的开集的测度的下确界，记为：
+//m<sup>*</sup>E = inf<sub>G⊃E</sub>{mG}//.
+内测度：一切包含于集合//E//的闭集的测度的上确界，记为：
+//m<sub>*</sub>E = sup<sub>F⊂E</sub>{mF}//.
+可测集：//E//为有界集，当//E//的外侧度等于//E//的内测度时，称//E//为（勒贝格）可测的.
+可测函数：设//f//为可测集//E//上的实值函数，如果对每个实数//a//，集合//E(f > a)//恒可测（勒贝格可测），则称//f//是//E//上的（勒贝格）可测函数.
+===== Lebesgue积分 =====
+设//f//是一个Lebesgue可测函数（它具有有限测度），它可取不超过可数个不同值
+//y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, ..., y<sub>n</sub>, ...//
+则在集合//A//上的//f//的Lebesgue积分
+//∫<sub>A</sub>f(x)dμ//
+定义为：
+//∑<sub>n</sub>y<sub>n</sub>μ(A<sub>n</sub>)//,
+其中，
+//A<sub>n</sub> = {x : x∈A, f(x) = y<sub>n</sub>}//,
+测度//μ//为Lebesgue测度.
+函数//f//的Lebesgue积分存在仅当上述级数绝对收敛.
+===== Riemann积分与Lebesgue积分的比较 =====
+与Lebesgue积分相比，更为传统的是Riemann积分. 它是将无穷小的竖直矩形面积的无限和的极限：
+//∫<sub>A</sub>f(x)dx = ∑<sub>n</sub>f(x<sub>n</sub>)Δx<sub>n</sub>//.
+在Riemann积分的意义下，只有连续和分段连续的函数才是可积的. 下列函数的Riemann积分不存在：
+f(t) = 1, if t is rational; f(t) = 0, otherwise.
+但上述函数的Lebesgue积分存在. Lebesgue可积函数的范围比Riemann可积函数的范围广.
+<note>一些连续函数如//f(x) = x<sup>2</sup>//的值域是实数集的一个子集，且不是有理数集的子集。这些函数的值域中有无限不可数个不同的函数值，这不符合Lebesgue积分的限制（f可取不超过可数个不同的值）。这样的函数还是Lebesgue可积的吗？如果不是，是否就不应该有Lebesgue可积函数的范围比Riemann可积函数的范围更广的结论？</note>
+===== 稠密 =====
+ *定义：设R是度量空间，A,E⊂R，若E中任何一点的邻域都含有A中的点，称A在E中稠密（A的闭包包含E）；
+ *例子：
+   -径向基函数全体在C[a,b]中稠密（可逼近任何C[a,b]中的函数）；
+   -全体多项式构成的线性空间P在C[a,b]中稠密；
+   -设E是可测集，//L<sup>p</sup>(E,μ)//中的有界可测函数全体是//L<sup>p</sup>(E,μ)//（1≤p<∞）中稠密；
+===== 可分 =====
+ *定义：设R是度量空间，A⊂R，如果存在至多可数集在A中稠密，称A是可数集。
+ *例子：
+   -N维欧氏空间//E<sup>n</sup>//是可分的（有理数全体是可数集且在）；
+   -空间//l<sup>p</sup>//是可分的；
+   -C[a,b]和//L<sup>p</sup>[a,b]//是可分的；
+   -有界数列全体组成的空间l<sup>∞</sup>是不可分的；
+===== 完备性 =====
+  *Cauchy序列：设(R,ρ)是度量空间，{//x<sub>n</sub>//}是R中的序列，若对于正数ε,存在N(ε)，使得当n,m≥N(ε)时，有：ρ(//x<sub>n</sub>//,//x<sub>m</sub>//) < ε, 称{x<sub>n</sub>}是R中的基本序列。
+  *完备性定义：如果度量空间R中的任何基本序列都收敛，称R是完备空间。
+  *例子：
+    -C[a,b]是一个完备空间；
+    -空间//L<sup>p</sup>(E,μ)//(p≥1)是完备的；
+    -空间//l<sup>p</sup>//(p≥1)是完备的；
+    -（//C[a,b],||*||<sub>1</sub>//）是不完备空间，其中||f||<sub>1</sub>//=//∫<sub>[a,b]</sub>|f(t)|dt
+===== 度量空间的完备化 =====
+   *定义：设R是度量空间，如果有完备的度量空间//R<sub>1</sub>//，使R保距同构于//R<sub>1</sub>//的稠密子空间，则称//R<sub>1</sub>//是R的完备化空间。（任一度量空间必存在完备化空间）
+    *紧空间
+   -一个度量空间是紧致的，当且仅当它是完全有界的，并且是完备的。
+   -设R使一个度量空间，ε是一个任意整数。那么，如果对于每一个x∈M，至少存在一个点a∈A,使得ρ(x,a)<ε成立，那么，A⊂R被称为对于集合M⊂R的一个ε网
+   -给定一个度量空间R和一个子集M⊂R，假定对于每一个ε>0,具有一个有限ε网，那么，M被称为完全有界的，
+   注：一个紧空间对于所有ε>0，都具有一个有限ε网
+    *例子：
+   -在n维Euclidean空间//R<sup>n</sup>//中，完全有界等价于有界。如果//M⊂R<sup>n</sup>//有界，那么，M被包含在某个超立方体Q中。我们能够将这个超立方体划分为一些边长为ε的更小的超立方体。小立方体的顶点来自Q的一个有限//sqrt(n)*ε/2//
+===== 本章贡献者 =====
+<note important> 本节编撰作者(请大家在这里报到)：
+  * [[fool1025@163.com|金耀]]     (ID: 11021032)，   编写了...
+  * [[you@zju.edu.cn|章明]]       (ID: xxxxxxxx)，   编写了...
+  * [[mbill@zju.edu.cn|毛旷]] (ID: xxxxxxxx)，   编写了...
+  * [[yizhongzhang@zju.edu.cn|张译中]] (ID: 11021029)，   编写了...
+  * [[xxxx@xxx.xxx|AuthorName4]] (ID: xxxxxxxx)，   编写了...
+  * [[xxxx@xxx.xxx|AuthorName5]] (ID: xxxxxxxx)，   编写了...
+  * [[xxxx@xxx.xxx|AuthorName6]] (ID: xxxxxxxx)，   编写了...
+浙江大学2008-2011版权所有，如需转载或引用，请与[[zhx@cad.zju.edu.cn | 编者联系]]。
+</note>

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