苏家铎，潘杰，方毅，狄成恩.泛函分析与变分法.中国科学技术大学出版社.1993
钱伟长.格林函数和变分法在电磁场和电磁波计算中的应用.上海大学出版社.2000

• 函数空间
• 度量空间
• 收敛
• 测度
• 稠子集
• 可分离空间
• 完备度量空间
• 紧致度量空间

最速降线问题（捷线问题）

设O, A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点m在重力作用下从O点沿一曲线降落至A 点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。

函数空间是由函数构成的空间，在该空间中，每个函数可以被看作一个点。 空间满足两个条件：

1. 定义在一个数域上;
2. 空间的元素在这个数域上取值.

• 度量空间是定义了距离的空间，包含一个空间X和一个距离ρ的对(X,ρ)。
• 距离ρ为对于所有x,y∈X定义的单值实函数，满足三个特性：

1. 非负性：ρ(x,y)≥0，ρ(x,y)=0当且仅当x=y;
2. 对称性：ρ(x,y)=ρ(y,x);
3. 三角不等式：ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z).

度量空间S中的开/闭球是满足如下条件的点x∈S的集合，
ρ(x₀,x)<r, 开球
ρ(x₀,x)≤r, 闭球
半径为ε，且中心是x₀的一个ε领域，记为O_ε(x₀).

如果
∀ε>0, ∃N_ε，使得
∀n>N_ε, x_n∈O_ε(x₀)
则{x_n}收敛于x.

{x_n}收敛于x当且仅当lim_n→∞ρ(x,x_n)=0.

一个集合E的测度μ(E)是如下概念的自然扩展：

1. 一个线段Δ的长度l(Δ): ∫_a^bf(x)dx, f(x) = 1;
2. 一个空间G的容量V(G): ∫∫_Ωf(x)dΩ, f(x) = 1;
3. 空间一个区域的非负函数的积分: ∫∫_Ωf(x)dΩ, f(x) ≥ 0.

集函数：设X是非空集合，S是X上的集类，定义在S上的函数称为集函数.

环：定义了加法和乘法的空间.

测度的严格定义为： 设R为X上的环，μ是定义在R上的非负的广义实值(可以取+∞)集函数，且满足如下条件：

1. μ(Ø) = 0
2. (可列可加性)对任何一列互不相交的A_n∈R,(n = 1, 2, …)，且∪^∞_{i = 1}A_i∈R，有μ(∪^∞_{i = 1}A_i) = ∑^∞_{i = 1}μ(A_i),

则称μ为R的测度.

外测度：一切包含集合E的开集的测度的下确界，记为：

m^*E = inf_G⊃E{mG}.

内测度：一切包含于集合E的闭集的测度的上确界，记为：

m_*E = sup_F⊂E{mF}.

可测集：E为有界集，当E的外侧度等于E的内测度时，称E为（勒贝格）可测的.

可测函数：设f为可测集E上的实值函数，如果对每个实数a，集合E(f > a)恒可测（勒贝格可测），则称f是E上的（勒贝格）可测函数.

设f是一个Lebesgue可测函数（它具有有限测度），它可取不超过可数个不同值

y₁, y₂, …, y_n, …

则在集合A上的f的Lebesgue积分

∫_Af(x)dμ

定义为：

∑_ny_nμ(A_n),

其中，

A_n = {x : x∈A, f(x) = y_n},

测度μ为Lebesgue测度.

函数f的Lebesgue积分存在仅当上述级数绝对收敛.

与Lebesgue积分相比，更为传统的是Riemann积分. 它是将无穷小的竖直矩形面积的无限和的极限：

∫_Af(x)dx = ∑_nf(x_n)Δx_n.

在Riemann积分的意义下，只有连续和分段连续的函数才是可积的. 下列函数的Riemann积分不存在：

f(t) = 1, if t is rational; f(t) = 0, otherwise.

但上述函数的Lebesgue积分存在. Lebesgue可积函数的范围比Riemann可积函数的范围广.

*定义：设R是度量空间，A,E⊂R，若E中任何一点的邻域都含有A中的点，称A在E中稠密（A的闭包包含E）； *例子：

1. 径向基函数全体在C[a,b]中稠密（可逼近任何C[a,b]中的函数）；
2. 全体多项式构成的线性空间P在C[a,b]中稠密；
3. 设E是可测集，L^p(E,μ)中的有界可测函数全体是L^p(E,μ)（1≤p<∞）中稠密；

*定义：设R是度量空间，A⊂R，如果存在至多可数集在A中稠密，称A是可数集。 *例子：

1. N维欧氏空间Eⁿ是可分的（有理数全体是可数集且在）；
2. 空间l^p是可分的；
3. C[a,b]和L^p[a,b]是可分的；
4. 有界数列全体组成的空间l^∞是不可分的；

• Cauchy序列：设(R,ρ)是度量空间，{x_n}是R中的序列，若对于正数ε,存在N(ε)，使得当n,m≥N(ε)时，有：ρ(x_n,x_m) < ε, 称{x_n}是R中的基本序列。

• 完备性定义：如果度量空间R中的任何基本序列都收敛，称R是完备空间。
• 例子：

1. C[a,b]是一个完备空间；
2. 空间L^p(E,μ)(p≥1)是完备的；
3. 空间l^p(p≥1)是完备的；
4. （C[a,b],||*||₁）是不完备空间，其中||f||₁=∫_[a,b]|f(t)|dt

• 定义：设R是度量空间，如果有完备的度量空间R₁，使R保距同构于R₁的稠密子空间，则称R₁是R的完备化空间。（任一度量空间必存在完备化空间）

• 紧空间

1. 一个度量空间是紧致的，当且仅当它是完全有界的，并且是完备的。
2. 设R使一个度量空间，ε是一个任意整数。那么，如果对于每一个x∈M，至少存在一个点a∈A,使得ρ(x,a)<ε成立，那么，A⊂R被称为对于集合M⊂R的一个ε网
3. 给定一个度量空间R和一个子集M⊂R，假定对于每一个ε>0,具有一个有限ε网，那么，M被称为完全有界的，

注：一个紧空间对于所有ε>0，都具有一个有限ε网

• 例子：

1. 在n维Euclidean空间Rⁿ中，完全有界等价于有界。如果M⊂Rⁿ有界，那么，M被包含在某个超立方体Q中。我们能够将这个超立方体划分为一些边长为ε的更小的超立方体。小立方体的顶点来自Q的一个有限sqrt(n)*ε/2