第六课 泊松方程

泊松的老师-拉普拉斯。都是大牛呀。 泊松也是大牛，以泊松命名的词汇，如

1. 泊松方程
2. 泊松分布
3. 泊松常量

历史上有很多有名的极值问题，其求解方法可以统称为变分法，如：

1. 两点间的最短连线问题
2. 最速下降线问题
3. 短线程问题
4. …

为什么”任意两点间的最短连线是连接两端的连线“？

很常识的问题，但要问为什么，估计很少人能够用数学的方法来回答。

1. 问题的假设
   1. 二维平面空间，一点坐标是原点(0,0)，一点在(a,b)
   2. 两点间的连接曲线是y=y(x)
   3. 曲线的弧长微分是

      ds^2=dx^2+dy^2

      或
   4. 曲线的总弧长是

1. 问题的数学描述

找出具有曲线y(x)使得 同时必须满足端点的约束条件(constraint condition)

1. 其变分极值问题为

1. 略去的高次微量得

1. 分部积分，并利用，得

1. 由变分法预备定理，给出以下微分方程

1. 积分得

1. 由端点约束条件得

y=(b/a)x

• 第一类变分问题：
  • 被积函数包括一阶导数的变分问题
  • 满足端点约束条件
  • 在所有的足够光滑函数y(x)中，求使以下泛函为极值

• 第二类变分问题：
  • 两个待定函数：y(x),z(x)
  • 满足约束条件：φ(x,y,z)=0
  • 满足端点条件
  • 在所有的足够光滑函数y(x),z(x)中，求使以下泛函为极值

• 给定函数y(x)
  • 宗量：x
  • 函数：y(x)
  • 宗量的增量：Δx
  • 函数的增量：
    • Δy=y(x+Δx)-y(x)
  • 当两点无限接近：
    • Δx→dx,Δy→dy
  • 略去高阶微量：
    • dy=y’(x)dx
  • 当在x处取得函数极值
    • dy=0
• 给定泛函 Π(y)
  • 宗量：y
  • 泛函：Π(y)
  • 函数的变分：δy （函数y(x)在定义域内与y(x)+δy(x)处无限接近
  • 泛函的变分：
    • δΠ=Π(y+δy)-Π(y)
    • 在计算δΠ时可以展开Π(y+δy)中的被积函数只保留线性项
  • 当在y处取得泛函极值
    • δΠ=0

— 邱炜伟 2010/04/11 21:32

• 设函数y(x)是下式的极值解

  \Pi(y)=\int^\beta_\alpha F(x,y,y')dx
  • 且满足端点条件

    y(\alpha)= \overline{y_1}，y(\beta)= \overline{y_2}
• 设其邻近的函数y(x)+δy(x)也满足端点条件
  • 因此端点变分满足δy(α)=δy(β)=0
• 泛函的变分为

  \delta\Pi=\Pi(y+\delta{y})-\Pi(y)=\int^\beta_\alpha{F(x,y+\delta{y},y'+\delta{y}')-F(x,y,y')}dx
• 根据微量计算规则，设y(x)和y(x)+δy(x)是有一阶接近的曲线

  F(x,y+\delta y,y'+\delta y')=F(x,y,y')+\bigg[\frac{\partial}{\partial y}F(x,y,y')\bigg ]\delta y+\bigg[\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y')\bigg ]\delta y'
• 引入简写符号

  F=F(x,y,y'),F_y=\frac{\partial}{\partial y}F(x,y,y'),F_y'=\frac{\partial}{\partial y'}F(x,y,y')
• 可得

  \delta F=F_y\delta y + F_y'\delta y'
• 泛函的变分为:

  \delta \Pi=\int^\beta _\alpha \delta Fdx=\int^\beta _\alpha \Big [F_y\delta y+F_y'\delta y'\Big ]dx
• 可以证明：函数y(x)的导数的变分等于函数y(x)的变分的导数，亦即导数和变分两种运算可以互换运算顺序：

  \delta y'=\big(\delta y\big )'

— 邱炜伟 2010/04/12 20:51

• 由预备定理可知：

  F_y-\frac{d}{dx}F_y'=0,\alpha \leq x\leq\beta
• 如果展开dF_y'/dx

  F_y-\frac{{\partial}^2 F}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial}^2 F}{\partial y\partial y'}y'-\frac{{\partial}^2 F}{\partial y'\partial y'}y''=0
• 其中F(x,y,y’)必须具有二阶偏导数，y(x)也必须具有二阶偏导数。

— 邱炜伟 2010/04/12 20:53

• 变分法与欧拉方程代表同一物理问题
• 欧拉方程求解和从变分法求数值近似解（如有限元，利兹法，伽辽金法等），其效果一样



• 欧拉方程求解很困难，但从泛函求近似解通常很方便，因而变分法一直被广为重视。
• 但并不是所有的微分方程都能找到相对应的泛函问题。

— 邱炜伟 2010/04/12 20:50

泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。方程形式如下：

\Delta f = -\rho

这里的 \Delta 代表的是拉普拉斯算子，

而 f 和 \rho 可以是在流形上的实数或复数值的方程。其中\rho可以表示为\rho =\rho (x,y)的形式。

f^*=arg\min_f\int\!\!\!\int_\Omega\|\nabla f-v\|^2 满足 f^*|_{\partial\Omega}=f|_{\partial\Omega}

令F=\|\nabla f-v\|^2，那么，根据欧拉方程：F_f-\displaystyle {\partial\over\partial x}F_{f_x}-{\partial\over\partial y}F_{f_y}=0 可以得到如下的形式：

\Delta f=div(v) 满足 f^*|_{\partial\Omega}=f|_{\partial\Omega}

其中v是一个向量场，但并不一定是梯度场。

注：图中\Omega表示某一给定的区域，\partial\Omega表示区域的边界，ds的方向表示在边界\partial\Omega处的（向外的）法向。

• Dirichlet 边界条件：f|_{\partial\Omega}

• Neumann 边界条件:{\displaystyle{ {\partial f}\over{\partial s}}|_{\partial\Omega}}

如果指定了在\partial\Omega上的Dirichlet边界条件或Neumann边界条件，那么泊松方程在区域\Omega中的解是唯一可确定的

前面也讲到，泊松方程在静电学和理论物理中是比较常见的，下面说的两个物理原型也是分别来自这两个领域的。

一个电荷的静电场如下图所示：

其中，\rho (x)表示电荷密度，\Phi表示电势，E表示电场。电荷之间作用力的公式\displaystyle F={{q_1 q_2 r}\over{4\pi\varepsilon _0r^3}}，其中的\varepsilon _0为真空电容率。

我们知道，高斯定律的积分形式可以表示为：

因此，电场E，电势\Phi，电荷密度\rho之间的关系可以表示成如下图所示的形式：

一个重力场的示意图如下：

与静电场中类似的，在重力场中，\rho (x)表示质量密度，\Phi表示重力势，g表示力场(重力加速度)。物体受到的重力的公式表示为\displaystyle F={{mMGr}\over{r^3}}，由高斯定理、g=-\nabla\Phi以及F=mg可得到如下的泊松方程：

我们知道了泊松方程的两个物理原型，如果将其推广到图像领域中，我们可以把图像看作一个场I，用\rho (x)表示图像密度，用g表示图像梯度，则有泊松方程g=-\nabla I，以及三者之间的关系如下：

形象化一点表示，就是下面所示的样子：

由于三者之间可以相互转换，所以如果我们知道了图像区域的密度函数以及边界处的颜色值，就可以计算出整幅图像的内容。

泊松图像编辑是泊松方程的一个重要应用，首先提出该应用的是P.P\'erez, M. Gangnet, and A. Blake (Poisson image editing. SIGGRAPH 2003),该文章对现在的图像编辑技术有着非常重要的影响，随后的几年又出现了很多类似的图像编辑方法，如 [Jiaya Jia et al. Drag and-drop pasting]于2006年提出了最优的融合边界用于改进泊松图像编辑的效果，[Zeev Farbman et al. coordinates for instant image cloning]在SIGGRAPH 2009中提出了使用Mean-Value coordinates用于计算基于梯度域的图像编辑，该方法实现简单且运行速度快，从而避免了求解复杂的泊松方程。 下面通过几个典型的应用来说明泊松方程在图像编辑中的强大功能。

• 传统的图像融合
  1. 精确地选择融合区域：过程单调乏味且工作量大，常常无法得到好的结果
  2. Alpha-Matting：功能强大，但是实现复杂
• 基于Poisson方程的无缝融合
  1. 选择融合区域的过程简单且方便
  2. 最终可以得到无缝融合的结果
• 因此，我们选择基于Poisson方程的方法进行图像的无缝融合！！

• 很容易在图像的梯度域中进行应用
  1. 通过局部的图像编辑→ 全局融合的效果
  2. 无缝融合的应用 - 图像合成， 图像编辑， 图像拼接

其中，\Delta I_A表示融合图像块的梯度，上面的变分方程的意义表明我们的无缝融合是以源图像块内梯度场为指导，将融合边界上目标场景和源图像的差异平滑地扩散到融合图像块I中，这样的话，融合后的图像块能够无缝地融合到目标场景中，并且其色调和光照可以与目标场景相一致。

如下图所示，我们分别用两种不同的方法来进行图像融合：

该图是简单的图像拷贝，如右图所示，此时的结果很不自然，有明显的边界。

该图是基于Poisson的图像编辑效果图，如右图所示，此时结果图中没有明显的边界，源图像块无缝且自然地融合到了天空中。

下面是基于图像的无缝拼接的结果，该图由25张图像拼接而成，每张图像表现的是沙滩上不同姿势的小朋友，通过泊松融合，产生了无缝、自然且有趣的新图像。

下图是图像编辑的结果，通过改变花朵的融合边界，将其重新融合到图像中，从而可以自然地改变其色调，呈现出新的视觉效果。