* 变分问题的欧拉方程

• 由预备定理可知

• 如果展开\frac{dF_{y'}}{dx}\

• 其中F(x,y,y')必须具有二阶偏导数，y(x)也必须具有二阶偏导数，由此把变分问题转化为微分方程求解。

* 泛函变分问题的一般求解步骤

1. 从物理上建立泛函及其条件
2. 通过泛函变分，利用变分法基本预备定理求得欧拉方程
3. 在边界条件下求解欧拉方程，即微分方程求解

* 变分法与欧拉方程

• 变分法与欧拉方程代表同一物理问题。欧拉方程求解和从变分法求数值近似解（如有限元，利兹法，伽辽金法等），其效果一样。但欧拉方程求解很困难，而从泛函求近似解通常很方便，因而变分法一直被广为重视。但并不是所有的微分方程都能找到相对应的泛函问题。

泊松方程为 \delta_\phi = f 　　

在这里 \bigtriangledown 代表的是拉普拉斯算子，而 f和 \phi 可以是在流形上的实数或复数值的方程。 当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为

， 因此泊松方程通常写成\bigtriangledown^2\phi = f或者div \quad grad\phi = 0，如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程\bigtriangledown \phi = 0。泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是 relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。 　　

数学上，泊松方程属于椭圆型方程（不含时线性方程）。 　　

泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，\bigtriangledown \phi = 0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有\bigtriangledown \phi = f（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。

*Siméon Denis Poisson

• His teachers: Laplace, Lagrange,
• Poisson’s terms:Poisson's equation、Poisson's integral、Poisson distribution、Poisson brackets、Poisson's ratio、Poisson's constant

*参考书籍

• 《微分方程数值解法》
• 偏微分方程数值解法》

*why PDE？

• Computer graphics:
  • 场景几何建模：网格去噪，微分阈方法
  • 场景精细绘制：辐射度方法，全局光照明模型
  • 物理动态模拟：织物模拟，流体模拟
• Image and video processing
  • image segmentation：level-set
  • object tracking：optic flow
• Artifical intelligence and recognition
  • Time series analysis:randomized PDE
• High performance computing

*an introduction to PDE

• History of Differential Equation
• Fundamental concepts
• 3 basic PDE
  • Elliptic Equation(椭圆）
  • Parabolic Equation（抛物线）
  • Hyperbolic Equation（双曲线）
• Solutions

*Simeon Denis Poisson

• His teachers:Laplace，Lagrange
• Poisson's terms:
  • Possion's equation
  • possion's integral
  • possion's distribution
  • possion's brackets
  • possion's ratio
  • possion's constant
• “Life is good for only two things:to study mathematics and to teach it.”

*Background

• PDE：E(f,fx,fy,fxx,fxy,fyy)=0
• 物理中的PDE常常是线性和二阶的：
  • A.fxx+2B.fxy+C.fyy+D.fx+E.fy+F.f+G=0
• 

* 历史上有很多有名的极值问题，其求解方法可统称为变分法

• 两点间的最短连线问题
• 最速下降线问题
• 短程线问题

* 两点间的最短连线问题

• 问题假设：
  • 二维平面空间，一点是坐标原点(0,0)，一点在(a,b)
  • 两点间的连接曲线是 y = y(x)
  • 曲线的弧长微元是ds^2 = dx^2 + dy^2或ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2 * dx}
  • 曲线的总弧长是 s = \int_0^a {(1+y'^2)^{1/2} dx} ，其中s是标量，是y’(x)的一个广义函数，称为泛函，可记为s(y')

• 数学描述：找出曲线y(x)使得\min_{y'}{\int_0^a{(1+y')^{1/2}dx}}，且满足如下端点约束条件：
  1. y(0)=0, x=0
  2. y(a)=b, x=a

• 其极值问题为：

• 略去\delta y'的高次微量得

• 分布积分，并利用\delta y(0) = 0, \delta y(a) = 0，得

• 由变分法预备定理，给出以下微分方程

• 积分得 \frac{y'}{(1+y'^2)^{1/2}} \equiv const ⇒ y' \equiv const
• 由端点约束条件即得 y = \frac{b}{a} x

* 变分命题

• 第一类变分问题：
  1. 被积函数包括一阶导数的变分问题
  2. 满足端点约束条件
  3. 在所有的足够光滑函数y(x)中，求使以下泛函为极值

• 第二类变分问题：
  1. 两个待定函数： y(x)，z(x)
  2. 满足约束条件： \varphi(x, y, z) = 0
  3. 满足端点约束条件
  4. 在所有的足够光滑函数y(x)，z(x)中，求使以下泛函为极值

* 第一类变分问题

• 设函数y(x)是下式的极值解

• 且满足端点条件 y(\alpha)=\bar{y_1}, y(\beta)=\bar{y_2}
• 设其邻近的函数y(x)+\delta y(x)\也满足端点条件
• 因此端点变分满足\delta y(\alpha) = \delta y(\beta) = 0
• 泛函的变分为

• 根据微量计算规则，设y(x)和y(x) + \delta y(x)是有一阶接近的曲线

• 引入简写符号

• 可得

• 从而，泛函的变分为

• 可以证明：函数y(x)的导数的变分等于函数y(x)的变分的导数，亦即导数和变分两种运算可以互换运算顺序：\delta y' = (\delta y)'