第七课

关键词：变分定义 宗量 容许曲线类

• 定义1：设J[y(x)]是定义在函数集合Y = {y(x)}上的泛函，称y(x)为J[y(x)]的宗量，Y为J[y(x)]的定义域(或容许曲线类(簇))

• 定义2：泛函J[y(x)]的宗量y(x)与另一宗量y₀(x)之差，称为宗量y(x)的变分，记为
  δy = δy(x) = y(x) − y₀(x)

• 定义3：若max|y(x)-y₀(x)|很小，则称y(x)与y₀(x)具有零阶接近，称函数集合
  {y(x)||y(x)−y₀(x)| <δ }
  为y0(x)的零阶δ-邻域

• 定义4：如果对∀ε> 0，使对y0(x)的k阶δ-邻域中的任何y(x)，都有
  |J[y(x)] − J[y₀(x)]| < ε,
  则称J[y(x)]是在y0(x)处具有k阶接近度的连续泛函

• 定义5：设F(x,y,y')是关于三个变元x,y,y'的二阶连续可微函数，x任意固定，η(x)是任意可微函数，ε是无穷小参数，则F(x,y,y')的增量为
  ΔF = F(x, y+εη,y'+εη') - F(x,y,y')
  按Taylor公式，有
  ΔF = ∂F/∂y εη+∂F/∂y' εη'+R1
  其中，R1是较ε→0时高阶的无穷小。称
  δF = ∂F/∂y εη+∂F/∂y' εη'
  为函数F(x,y,y')的变分

• 定义6：如果泛函J[y(x)]的增量ΔJ = J[y +δy] - J[y]可表示为
  Δ
  J = J[y, δy] + β(y, δy)max |δy| ,
  其中，J[y, δy]对δy而言是线性的，且当δy→0时ž,β(y, δy)→0，则称J[y, δy]为泛函J[y]的变分，记为δJ,即δJ = J[y,δy].

• 定义7：（较弱的变分定义）如果Φ'(0)=∂J[y+αδy]/∂α|_α=0存在，则称Φ'(0)为泛函J[y]的变分，仍将其记为δJ,即
  δJ =Φ'(0)=∂J[y +αδy]∂α|_α=0.

• 定义8：设y₀(x)是泛函J[y]的容许曲线簇Y种的某一函数，若对∀y∈Y，都有
  J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),
  则称泛函在y₀(x)处达到极大（小）值，（或绝对极大（小）值），并称y₀(x)为J[y]在极大（小）值曲线
  若对于y₀(x)的零阶σ-邻域内的所有函数y(x)，都有
  J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),
  则称泛函在y₀(x)处达到强极大（小）值
  若对于y₀(x)的一阶σ-邻域内的所有函数y(x)，都有
  J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),
  则称泛函在y₀(x)处达到弱极大（小）值
• 推论1：强极值必是弱极值，但反之不真
• 推论2：绝对极值必是强极值
• 推论3：泛函J[y]达到绝对极值的必要条件也是达到弱极值的必要条件，更是达到强极值的必要条件

• 定理2：若具有变分的泛函J[y(x)]在y = y₀(x)达到极值，则δJ|_{y = y0(x)} = δJ[y₀(x)] =0

<del>Strike-through Text</del>

求达到极值的必要条件。
其中：函数F∈C², y(x₀)∈C²[x0,x1]，且满足边界条件：y(x0)=y0, y(x1)=y1。

一般结论： 使上述泛函J[y]达到极值的必要条件是

• Φ'(0) = ξJ(y, ξy) = 0.
  

由基本引理1可知,y（x）必须满足欧拉方程

• F_y - d / dx(F_y') = 0.
  

说明:注意到满足欧拉方程仅是泛函取得极值的必要条件，欧拉方程的解曲线仅是可能的极值曲线。但在实际问题中，往往可以事先确定泛函的极值是否存在，在确定极值存在的情况下欧拉方程的解曲线就是极值曲线。

在实际应用中，欧拉方程可以改写成如下几种不同的形式便于计算：

• F_y'y'y'' + F_y'y'y' + F_xy' ? F_y = 0
• d / dx(F - y'F_y') - F_x = 0
  

求达到极值的必要条件。
其中：F关于所含变量具有二阶连续偏导数，曲线y(x),z(x)∈C²[x0,x1]，且满足边界条件：y(x0)=y0, y(x1)=y1，z(x0)=z0, z(x1)=z1。

一般结论： 使上述泛函J[y, z]达到极值的必要条件是y(x),z(x)满足欧拉方程组：

• 　F_y - d / dx(F_y') = 0.
• 　F_z - d / dx(F_z') = 0.
  

含有n（n>2）个未知函数的泛函极值的必要条件

• F_yi - d / dx(F_yi') = 0, i= 1,2,…,n.
  

* 问题的提出 上一章，我们讨论了固定边界的变分问题，即：在未知函数y(x)的边界点A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)固定的情况下，求泛函：
J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx (18)
的极值曲线。这一节讨论的问题，是假定两个边界中的一个或两个可以变动，这时，容许曲线族的范围扩大了。 可动边界情况下的容许曲线族，比固定边界情况下的容许曲线族大，前者包含后者。因此，如果函数y(x)使可动边界的泛函达到极值，它也能使固定边界的泛函达到极值。所以，这个函数也应该满足使固定边界问题达到极值的必要条件，Euler方程：
F_y-\frac{d}{d_x}F_y'=0
Euler方程是一个二阶常微分方程，它的通解y=y(x,c_1,c_2)包含了两个任意常数，确定它们需要两个条件。在固定边界的变分问题中，这两个条件是y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1;在边界可变的情况下，就是斜截条件。

• 斜截条件

假设泛函（18）中的未知函数y(x)有一个固定的左端点A(x_0,y_0)，即，y(x_0)=y_0,右端点B(x_1,y_1)在某曲线ω(x,y)=0上移动。这时右端点x_1是变动的。斜截条件就是考察x_1应该满足什么特征。
该公式称为斜截条件，或贯截条件。它表明，如果y=y(x),(x_0≤x≤x_1)为变动右端点的泛函极值曲线，则右端点必满足(27)

* 问题的提出 这一节我们主要研究泛函 \\满足边界条件

和约束条件
ψ(x,y,z)=0
的极值问题，导出泛函j的极值曲线应满足的条件。

• 几何意义

这类问题的几何意义是：在曲面ψ（x, y, z)=0上求一条曲线

使得泛函在其上取得极值。类似于有条件函数极值的Lagrange方法，有条件泛函极值问题也可以化为无条件极值来处理。

• Lagrange定理

设y(x), z(x)是泛函在边界条件和约束条件下的极值，如果在曲线
y = y(x) z = z(x) 上，泛函至少有一个不为零，则必存在函数使y(x), z(x)满足泛函

的Euler方程组：

其中，

• 例2

试求出圆柱面x^2 + y^2 = R^2上，连接点P1(x1, y1, z1)与点P2(x2, y2, z2)的最短曲线。
解：设圆柱面的参数方程为

 {{:keynote:4.jpeg|}}\\
 因为点P1, p2在圆柱面上，故所求曲线P1P2的x, y坐标与圆柱面的相同，\\
 只要求出z坐标z = z(t)即可。\\
 设P1, p2点对应的参数为t1<t2, 则P1P2的弧长为\\
 {{:keynote:5.jpeg|}}\\
 于是，问题化为：求过P1P2且位于圆柱面上的曲线，使泛函l取极小值。\\
 {{:keynote:6.jpeg|}}\\

由于已经知道:

然后我们讨论下几种特殊的Euler方程：
1. F=F(x,y)中不含y‘，则有F对y的偏导,所以F(x,y)是一个普通的函数方程，他可以表示一条或者几条曲线，但未必适合边界条件，因此在一般情况下无解，只有曲线满足边界条件时才有解。
2.如果有：
则此时有Euler方程为：。与上述一样，这是一个普通的函数方程，但是如果 ，则有Pdx+Qdy是某一个函数 u(x,y)的全微分，则有:

则此时变分已经失去意义。
3.F=F(y'),也就是F只依赖于y',则此时有Euler方程为：
如果y’‘=0,则y=ax+b是含有两个参数的直线簇。
如果y’‘!=0,则，解方程得，y'=k(常数),也就是y=kx+c,这是含有一个参数的直线簇，它被包含在前面的直线簇中。
4.F=F(x,y')不含y，则此时Euler方程为，它的积分为，这个是不含y的一阶常微分方程，解此方程则可以得到极值曲线。
5.F=F(x,y')不含x,则此时由Euler方程(10)可得：

Euler方程具有初积分y'Fy'-F=c,解此方程可得极值曲线。