第一部分 多变元分析（Multivariate Analysis）

每周四： 6：30-9：30

• 春：论文+平时
• 夏：论文+平时+考试

教师

• 张宏鑫（CAD&CG） Tel: 88206681 ext 518
• 蔺宏伟（CAD&CG） Tel: 88206681

网站 http://www.cad.zju.edu.cn/home/zhx/csmath/doku.php?id=2011

• 作业
• 用wiki完成课堂笔记
• 不定期的课堂小作业
• Python
• 内容
• 多元统计方法
• 非线性优化求解
• 偏微分方程
• 应用泛函方法

参考书

• Pattern Classification
• 最优化理论和方法
• Level set methods and dynamic implicit surfaces
• Functional Analysis (2nd ed.)

更多参考书

• Course paper
  • English or Chinese
  • Latex
    • http://www.ctex.org
    • 学号.姓名.春.pdf

• Mail, 注明姓名、学号

课程小报告

• 最新学术论文中的数学方法
• 代替读书报告

• 背景
• 什么是数据驱动
• 数据驱动对于计算机科学和技术有何帮助

• 大量企业正在收集数据：
  • Google, Apple, Facebook, IBM, Microsoft, Amazon, …
  • 中国： 3Q War, Taobao, Sina, Baidu
• 数据，数据，数据……
  • 需要大量乏味的重复的工作才能创建数字化的世界
    • 需要寻找新的交互方式，创造新类型的媒体
    • 花费高的代价才能请专家（科学家、工程师、电影制作人员、图形设计师、优秀艺术家和游戏设计人员）来完成工作
• 需要高效地处理已经存在的数据，并通过它们获得新的数据

• 各种图像、场景，只要人能够创造，就可以利用计算机来得到它
• 但是如何来创造这些图像、场景

• 为电影中的一个角色创造动作
  • 完全过程化合成
    • 动作比较连贯，但是很容易让人觉得是伪造的，很少在实际中这样用
  • 完全手工制作或者完全数据化
    • 效果质量很高，但是连贯性不好
  • 把两者结合起来的混合方法或许是最好的！？

• 关于不确定性的一个规则模型
• 非结构化数据的通用模型
• 数据拟合和不确定分析的有效算法

但是，当前它通常被当做一个黑盒来使用

确定性 VS 机率性

机器学习 != 人工智能

• 学习系统不只是用来解决一个问题，而是基于一些特征来使系统本身更加优化：
  • 关于系统应该如何做出响应的一些例子
  • 关于系统在解决问题的过程中反复试验学习到的经验
• 不同于通常的计算机科学，去实现一个未知的功能；仅仅是处理已知的输入输出数据对（学习过程中的训练例子）

• 学习情景根据训练例子中提供的有效信息的改变而改变
  • 监督的：需要正确的输出
    • 分类：输入N个目标，输出结果为选择其中一个（语音识别、目标辨认、医学诊断）
    • 回归：输出准确值（预测未来的市场价格、温度）
  • 部分监督的：只输出一部分有效结果
  • 无监督的：没有反馈，需要对输出进行自我评估
    • 聚类：聚类是指将数据分割成连贯的群集的技术
    • 结构异常识别：检测超出正常范围的数据点
  • 加强的:标量反馈,可能暂时推迟

• 时间序列分析
• 降维
• 模型选择
• 泛型方法
• 图形建模

• 开发强化的计算机系统
  • 能够自动适应用户，更加符合用户要求
  • 旧的系统往往很难获得必要的知识
  • 发掘大型数据库中离线的新数据挖掘模式
• 提高对人的认识，生物学习
  • 提供具体的理论计算分析，预测
  • 分析大脑的学习过程中的爆发式活动
• 研究时机很好
  • 数据量的快速增长
  • 计算机不再昂贵而且功能强大
  • 理论得到了很好的发展，有一系列的算法组件

• 赞成方：所有事物都是机器学习，所有事物都是人的调整
  • 在有些时候，这个说法是正确的
• 反对方：虽然是对“学习”的一种深化，但还有其它更强大和有效的算法。
  • 问题分类
  • 通用模型
  • 通过概率进行推算
• 相信数学的魔力

• 计算效率
• 鲁棒性
• 统计稳定性

• Google!
• 目标识别和辨认——学习的力量
• 文档处理——贝叶斯分类器
• 网格处理——数据聚类和分割
• 纹理合成和分析——隐式马尔科夫模型
• 反射纹理合成——降维
• 人体建模——降维
• 图像处理和合成——图形建模
• 人体运动合成——时间序列分析
• 视频纹理——强化学习

• 学习系统就是这样看上去很难但非常有用的东西
  • 关键字：
    • 名词：数据、模型、模式、特征
    • 形容词：概率性的、统计的
    • 动词：拟合、推理、挖掘

• 在你的研究方向上寻找学习系统的潜在应用

• Reinforcement learning: A survey

(Felix:11021004 正在用力扩充此部分内容)

From Wikipedia: “Principal components analysis (PCA) finds a set of synthetic variables that summarise the original set. It rotates the axes of variation to give a new set of ordered orthogonal axes that summarize decreasing proportions of the variation.”

给定一个数据集Y, 需要找到一个变换X和一个特征向量W，以期通过W中的变元来描述Y。由于W中的变元是正交的，因此可以滤除Y中原来的变元之间的依赖关系[pp.23]。

• 一个简单的（intuitive）方法是：使用各变元的采样平均（Sample mean）来作为W。 这一方法能够很好地符合Y的分布，这一点可以通过求其二范式来验证[pp.24]。但是，这样一来，通过一个点来代表一个数据集，会带来信息丢失，例如，无法反映数据的离散程度。

• 因此还可以选择使用一条直线来代表Y的分布：x=m+we. 其中m是采样平均，e是代表数据分布的方向向量。通过求取Y的散布矩阵（Scatter matrix）S, 可以发现e是S的最大特征值（Eigenvalue）[pp.27]。

• 在上述方法中继续扩展，可以用一个d维的“平面”代表Y, 即：x=m+w1e1+w2e2+…wded. 注意d比Y的维度M要小得多，因为M维多变元之间可能包含“复合的、非本质”的变元。我们需要找到“本质”的变元，并用一个d维向量来表示[pp.28]。

我们使用奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）来计算主成分,即：X=UDV'. 其中U和V是正交（Orthogonal）矩阵，D是对角（Diagonal）矩阵，使用V'代表V的转置（Transpose）[pp.30].

在实际应用中，需要考虑到样本X的一些特殊情况，例如：

• d»N, 即原有数据集的维数远高于样本数。这种情况可能出现在图像处理中（？求举例）。这时我们转而计算X'的SVD, 即：X'=VDU'. 这样我们只需要计算一个N*N的小矩阵D，而不是d*d的大矩阵D(不确定)[pp.32].

• PCA在图像压缩中的应用: Comprehensive colourimage normalization

• PCA和降维
  • 使用SVD进行空间变换：Y→W （？求补充）

• 只适用于正态分布数据（？）
• 推广：ICA, K-PCA, …

• 聚类（Clustering）：给定一个数据集，对之进行分组，并发现其总体结构。[pp.4]
  • 聚类算法是非监督式机器学习（Unsupervised learning）的一种
  • 通过聚类可以发现相似性
• n维向量之间的距离（Distance）[pp.5]
  • 欧式距离（Euclidian distance）: dist(x,y;2)
  • 明式距离（Minkowsky distance）：dist(x,y;p). 当p=1时，为taxicab distance; 当p=∞时，为Chebyshev距离。
  • 距离、范式和内积之间的关系[pp.6]
  • M-distance[pp.7]
• 距离的计算
  • PCA
  • Structure aware
    • 思想：对数据集进行映射，在映射后的空间中计算距离
    • 方法：[pp.9]
      • 多维标度法（MDS）[pp.10]
        • 计算样本之间的距离
        • 使用SVD寻找相似性

• LLE(Locally Linear Embedding)[pp.21]
• 谱聚类（Spectral clustering）:利用邻接图和相似度矩阵[pp.29]
  • Random walk: 对于一个连通图而言，t步之后的random walk分布与起点无关
  • 应用：image segmentation[pp.36]
• 经典聚类算法[pp.38]
• 自底而下：顺序合并最近的点/聚类
• Mixture density estimation[pp.51]
  • The Expectation-Maximization algorithm[pp.53]
• K-means clustering[pp.59]
• Mean shift[pp.62]
• 总结
• 距离计算可以用于寻找数据集中合适的相似度标准，并发现本质的数据结构

• 概率性图模型用于对现实世界中的大规模多变元问题进行建模[pp.2]
  • 减少变元之间的依赖性（如利用PCA方法）
  • 发现变元之间的关系
• 离散随机变量
  • 目标[pp.4]
    • 参数学习（Parameter learning）
    • 推断（Inference）
  • 方法
    • 非结构化方法[pp.5]
      • 贝叶斯网络（Bayesian networks）
        • 联合分布（Joint distribution）公式[pp.8]
        • 有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的概率分布[pp.9]
        • 条件独立（Conditional independence）[pp.18]
          • Tail-to-Tail
          • Head-to-Tail
          • Head-to-Head
        • 马尔可夫条件（Markov condition）[pp.23]
        • 依赖分割（D-separation, Dependence-separation）[pp.24]
        • 马尔可夫毯（Markov blanket）[pp.27]
        • 马尔可夫网络（Markov network）[pp.28]
        • 势函数（Potential function）[pp.30]
      • 马尔可夫链（Markov chain）[pp.60]
        • 状态空间（State space）
        • 初始概率分布（Initial distribution）
        • 转移矩阵（Transition matrix）
      • 隐式马尔可夫模型（HMM, Hidden Markov Model）

• Python programming
  • 1-D regression

• Finish the “Gaussian parameters learning”, using google