====== 第十二课 变分法简介 ====== ===== 3 可动边界的变分问题 ===== ==== 3.1 最简单的可动边界问题 ==== * 问题的提出 上一章，我们讨论了固定边界的变分问题，即：在未知函数$y(x)$的边界点$A(x_0,y_0)$,$B(x_1,y_1)$固定的情况下，求泛函： \\ $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ (18)\\ 的极值曲线。这一节讨论的问题，是假定两个边界中的一个或两个可以变动，这时，容许曲线族的范围扩大了。 可动边界情况下的容许曲线族，比固定边界情况下的容许曲线族大，前者包含后者。因此，如果函数$y(x)$使可动边界的泛函达到极值，它也能使固定边界的泛函达到极值。所以，这个函数也应该满足使固定边界问题达到极值的必要条件，Euler方程： \\ $F_y-\frac{d}{d_x}F_y'=0$\\ Euler方程是一个二阶常微分方程，它的通解$y=y(x,c_1,c_2)$包含了两个任意常数，确定它们需要两个条件。在固定边界的变分问题中，这两个条件是$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$;在边界可变的情况下，就是斜截条件。 * 斜截条件 假设泛函（18）中的未知函数$y(x)$有一个固定的左端点$A(x_0,y_0)$，即，$y(x_0)=y_0$,右端点$B(x_1,y_1)$在某曲线$ω(x,y)=0$上移动。这时右端点$x_1$是变动的。斜截条件就是考察$x_1$应该满足什么特征。 \\ {{:keynote:20100614_2.jpg|}} 该公式称为斜截条件，或贯截条件。它表明，如果$y=y(x),(x_0≤x≤x_1)$为变动右端点的泛函极值曲线，则右端点必满足(27) ==== 3.2 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$型泛函的可动边界问题==== * 问题的提出 这一节，讨论泛函 \\ $J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$ （31）\\ 的可动边界的极值问题，为简单起见，假定$J[y,z]$的一个边界点$A(x_0,y_0,z_0)$是固定的，另一个边界点$B(x_1,y_1,z_1)$是可以移动的。\\ 设泛函（51）的极值曲线为{{:keynote:20100614_3.jpg|}}.类似于上一节的讨论可知，$y(x)$和$z(x)$必满足Euler方程组:\\{{:keynote:20100614_4.jpg|}}\\ 这个方程组的通解中含有四个任意常数，由于B点变动，又增加了一个常数，这样，在通解中一共有五个常数需要确定。另一方面，由于A点固定。得到了两个方程，为了确定五个常数，还需要三个方程。 * 斜截条件 对于左端点$A(x_0,y_0,z_0)$固定，而右端点$B(x_1,y_1,z_1)$可变动的情形$J[y,z]$取极值的必要条件δJ=0经化简后可写成{{:keynote:20100614_5.jpg|}}\\ 上式中，$δx_1$,$δy_1$,$δz_1$是任意的，即点B可以按照任意方式移动。三种情况情况如下： - 若$δx_1$,$δy_1$,$δz_1$相互无关，由(32)可得：{{:keynote:20100614_6.jpg|}}\\ - 若右端点B沿曲线$y=φ(x)$,$z=ψ(x)$移动，即$δy_1=φ'(x_1)δx_1,δz_1=ψ'(x_1)δx_1$得：{{:keynote:7.jpg|}}\\ - 若右端点B在某曲面$Φ(x,y,z)=0$上移动，此时，$Φ_{x_{1}}δx_1+Φ_{y_{1}}δy_1+Φ_{z_{1}}δz_1=0$有：{{:keynote:20100614_8.jpg|}} --- //[[1@1|曹斌]] 10921066 2010/06/14 15:43// ==== 3.3 $\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y',y'')dx$型泛函的可动边界问题 ==== * 问题的提出\\ 这一节，讨论泛函$y(x_0)=0,y(x_1)=0$ (37)\\ 的可动边界的极值问题.为简单起见，首先假定左边界起点$A(x_0,y_0,y'_0)$是固定的,另一个边界点$B(x_1,y_1,y'_1)$是可以移动的.设泛函（37）的极值曲线为$y=y(x)$,它满足Euler-Poisson方程:{{ keynote:76-4.png }}\\ 这是一个四阶常微分方程，通解中含有四个任意常数。由于B点变动，所以$x_1$也是待定的。这样一共有五个常数需要确定。另一方面，由于A点固定，由$y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_0'$可以确定出Euler-Poisson方程通解中的两个任意常数。为了确定另外三个待定常数，还需要三个方程。这些方程可以由泛函取极值的基本必要条件$δJ=0$得到. * 斜截条件 为计算$δJ=0$，首先计算泛函的增量$ΔJ$,然后分离出线性主部$δJ=0$。设泛函（37）在曲线$y=y（x）$上取得极值，任取一条容许曲线$y=y（x）+δy$,当$x=x_0$时，对应于点A;当$x=x_1+δx_1$时，对应于点$B(x_1+δx_1,y_1+δy_1,y'_1+δy'_1)$.与前两节的推导类似，有{{ keynote:77-1.png }}及{{ keynote:77-2.png }}应用中值定理，并由F以及$y(x)$,$y'(x)$,$y''(x)$诸函数的连续性，得到{{ keynote:77-3.png }}\\ =====4 条件极值的变分问题===== ==== 4.1 附有约束条件φ=0的变分问题 ==== * 问题的提出 这一节，我们主要研究泛函\\ $J[y,z] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,z,y',z')dx$ (40)\\ 满足边界条件{{ keynote:83-1.png }}(41)\\ $φ(x,y,z)=0$, (42)\\ 的极值问题，导出泛函J的极值曲线应满足的条件。\\ * 几何意义 这类问题的几何意义是：在曲面$φ(x,y,z)=0$上求一条曲线{{ keynote:83-2.png }} \\ 使得泛函（40）在Γ上取得极值。类似与有条件函数极值的Lagrange方法，有条件泛函极值问题也可以转化为无条件极值来处理。\\ * Lagrange定理 设$y(x)$,$z(x)$是泛函（40）在边界条件（41）和约束条件（42）下的极值函数。如果曲线：{{ keynote:84-1.png }} 上，$φ_y,φ_z$至少有一个不为零，则必存在函数$λ(x)$,使得$y(x)$,$z(x)$满足泛函{{ keynote:84-2.png }} 的Euler方程组{{ keynote:84-3.png }} 其中， \\ $F ^*=F+λ_φ$. \\ *证明\\ 不妨设在曲线Γ上，$φ_z≠0$,按隐函数存在定理，可由（42）式确定一个函数$z=ψ(x,y)$,将它带入（40）式，得 \\ $J=\int_{x_0}^{x_1}F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx≅\int_{x_0}^{x_1}Φ(x,y,y')dx.(45) \\ 其中， \\ Φ(x,y,y')=F[x,y,ψ(x,y),y',ψ'_x+ψ_yy']dx. \\ 这样，就把泛函（40）的极值问题转化成了泛函（45）的无条件极值问题。泛函（45）的Euler方程为： \\ $Φ_y-\frac{d}{d_x}Φ_y'=0$, (46) \\ 计算$Φ_y，Φ_y’，\frac{d}{d_x}Φ_y'$,得：{{ keynote:85-1.png }} --- //[[1@1|卢兴见]] 10921067 2010/06/15 11:17// ==== 4.2 等周问题 ==== * 问题的提出\\ 我们以前研究过的等周问题是狭义的等周问题，一般的等周问题是指在泛函约束（等周条件）\\ $K[y] = \int_{x_0}^{x_1}G(x,y,y')dx = l$ (48)\\ 及边界条件\\ $y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$; (49)\\ 下的所有具有二阶连续导数的函数y(x)中求泛函\\ $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$ (50)\\ 的极值函数，其中，G，l，y等均是给定的函数或常数。\\ * Euler定理\\ 上述广义的等周问题可以由下述Euler定理解决，它把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分问题。\\ EULER定理 若曲线Γ：y = y(x)在等周条件（48）及边界条件（49）下使泛函（50）达到极值，则存在常数λ，使y(x)满足泛函\\ note ===== 5 变分问题中的直接法 ===== =====5 变分问题中的直接法 ===== ==== 5.1 里兹法 ==== 基本思想： 用某个函数序列的线性组合逼近函数极致问题的极值曲线\\ 问题： *设泛函为 $J[y] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$\\ *边界条件是：$y(x_0)=0,y(x_1)=0$\\ 称为齐次边界 *如果给定的边界条件不是齐次的，如$y(x_0)=0,y(x_1)=y_1$,则可令 $y(x_0)=z(x) + \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+ \frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 $ (56)\\ 有$z(x_0)=0,z(x_1)=0$。问题（54）（55）化为齐次边界的边分问题， $J[y]=J_1[z] = \int_{x_0}^{x_1}F_1(x,z,z')dx,z(x_0)=0,z(x_1)=0.$\\ **基本步骤：**\\ 设泛函J[y]的极值曲线在曲线簇Y内，Y构成线性空间，用里兹法求泛函J[y]近似解的步骤如下：\\ *选取Y的基函数 $\varphi_1(x),\varphi_2(x),\cdots,\varphi_n(x),\cdots$ (57)\\ 对任意$ y(x) \in Y,y(x) $ 都可以表示为$\{\varphi_i(x)\}$的有限维或无限维线性组合。特别的，对极值函数f(x),也有 $f(x)=c_1\varphi_1(x)+c_2\varphi_2(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x)+\cdots$\\ *对每个n,考虑由$\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,生成的线性子空间Yn，设\\ $y_n(x) = sum_{i=1}^n \alpha \varphi_i(x) \in Y_n$\\ 由泛函J[y]就确定了n元函数\\ $J[a_1,\cdots,a_n] = J[y_n]=\int_{x_0}^{x_1}F[x,sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x)，sum_{i=1}^n \alpha_i\varphi_i(x)^{'}]dx$\\ *对每个n，选取$a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n)$使J[yn]、取极值，也就是由方程组\\ $\frac{\partial}{\partial a_i}J[y_n] = 0, i = 1,2, \cdots,n,$\\ 来确定$a_{1}^(n),a_{2}^(n),\cdots,a_{n}^(n)$，然后用得到的函数\\ $f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$\\ 作为变分问题的近似解\\ 几点说明：\\ *上面求得的fn是序列（57）中前n个函数所有可能的线性组合中使泛函J[yn]达到极值的函数。这样得到的序列f1,f2,...,fn,...称为J[yn]的极小化序列。\\ *因为 $Y_1 \subset Y_2\subset \cdots \subset Y_n \cdots$\\ 所以 $J[f_1] \geq J[f_2] \geq \cdots \geq J[f_n]\cdots $\\ 并且 $\lim_{n \to \infty} J[f_n] = J[f]$ ' *但是，并不能保证fn极限存在，及时存在也不一定收敛于J[y]的极值函数f。但对于常用函数来说，fn不仅逐点收敛，而且一致收敛于f。因此，如果只限于讨论前n项和$f_n = sum_{i=1}^n \alpha_i^(n)\varphi_i(x)$，那么，fn就是变分问题的近似解。\\ 基函数通常选取下列三个函数系之一： * $\varphi_n(x) = (x-x_0)^n(x_1-x),n= 1,2,...$\\ * $\varphi_n(x) = (x_1-x)^n(x-x_0),n= 1,2,...$\\ * $\varphi_n(x) = sin\frac{n \pi (x-x_0)}{x_1-x_0},n= 1,2,...$\\ --- //[[1@1|徐斌]] 2010/06/22 17:35//