===== **2.1. 泛函极值的必要条件与Euler方程** =====

·泛函极值的必要条件
 
 最简单的泛函的极值问题：\\
 $ J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {F(x,y,y')dx,} $   (5) \\          
 其中，$F∈C^2$，容许曲线$y(x)∈C^2[x_0,x_1]$，且满足边界条件： \\ 
 $y(x_0)=y_0, y(x_1)=y_1.$                    (6)      \\      
 极值的必要条件：使泛函$J[y]=\int_{x_0}^{x_1} {F(x,y,y')dx}$达到极值的必要条件，是y(x)满足Euler方程： \\ 
 $F_y- \frac{d}{dx}F_y=0.$                 (7)           \\
 证明：构造以α为参数的容许曲线族$\overline {y}(\alpha )=y(x)+\alpha \delta y$，\\
 其中，$\delta y$为宗量y(x)的变分，满足$\delta y|_{x=x_0}=\delta y|_{x=x_1}=0$.\\
 所以，$\overline {y}|_{x=x_0}=y_0，\overline {y}|_{x=x_1}=y_1，\overline {y}\in C^2[x_0,x_1]$.\\
 假设，当α=0时，$\overline {y}=y(x)$是使泛函(18)达到极值的曲线，将$\overline {y}$代入方程(18)，得到\\
 $\Phi (\alpha )=J[y+\alpha \delta y]=\int_{x_0}^{x_1} {F(x,y+\alpha \delta y,y'+\alpha \delta y')dx.}$\\
 由于$\Phi (\alpha )$在α=0时取得极值，由极值的必要条件，有\\
 $\Phi '(0)=\frac{\partial }{\partial \alpha }J[y+\alpha \delta y]|_{\alpha =0}=\int_{x_0}^{x_1} {(F_y\delta y+F_y\delta y')dx}=0.$                          (8)\\
 由分部积分法，并注意到$\delta y|_{x=x_0}=\delta y|_{x=x_1}=0$，有\\
 $\int_{x_0}^{x_1} {F_{y'}}\delta y'dx=\int_{x_0}^{x_1} {F_{y'}}d(\delta y)=F_{y'}\delta y|_{x_0}^{x_1}-\int_{x_0}^{x_1} {\delta y\frac{d}{dx}F_{y'}dx}=-\int_{x_0}^{x_1} {\delta y\frac{d}{dx}F_{y'}dx}$.\\
 将上式代入方程(8)，得到\\
 $\Phi '(0)=\delta J=\int_{x_0}^{x_1} {[F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}]\delta ydx}=0.$\\
 由基本引理1知，使泛函J[y]达到极值的函数y(x)必满足Euler方程7.\\
 说明：注意到满足Euler方程7仅是泛函取到极值的必要条件，Euler方程7的解曲线仅仅是可能的极值曲线。但是，在实际问题中，往往可以事先确定泛函的极值是否存在。在确定了极值存在的情况下，Euler方程的解曲线就是极值曲线.\\

·Euler方程的几种不同形式\\
 为计算简便，Euler方程7，即\\
 $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0,$\\
 可以改写成如下形式：\\
 $F_{y'y'}y''+F_{yy'}y'+F_{xy'}-F_y=0$,(9)\\
 和 \\
 $\frac{d}{dx}(F-y'F_{y'})-F_x=0$. (10)  \\
 ∗**例1.** 求泛函$J[y(x)]=\int_{0}^{1} {(y'^2+12xy)dx}$满足边界条件y(0)=0,y(1)=1的极值曲线.\\
 **解：**由于$F(x,y,y')=y'^2+12xy$，其Euler方程为\\ 
 $12x-2y''=0.$\\
 解此二阶常微分方程，得\\
 $y=x^3+c_1x+c_2.$\\
 由y(0)=0,y(1)=1得，$c_1=c_2=0$，因此，J[y(x)]的极值曲线为$y=x^{3}$.\\
 ∗**例2.** 求泛函$J[y(x)]=\int_{0}^{1} {(y'^2-y^2-2xy)dx}$满足边界条件y(0)=y(1)=0的极值曲线.\\
 **解：**$F(x,y,y')=y'^2-y^2-2xy$，其Euler方程为\\
 $2y''+2y+2x=0$.\\
 解这个方程，得\\
 $y=c_1cosx+c_2sinx-x.$\\
 由边界条件y(0)=y(1)=0，得$c_1=0，c_2=\frac{1}{sin1}$，于是，J[y(x)]的极值曲线为\\
 $y=\frac{sinx}{sin1}-x.$\\
 --- //[[xiaosai567@gmail.com|黄经州]] 2010/05/21 20:52// \\

 ·几种特殊的Euler方程 \\ 
 *$F=F(x,y)$,F中不含y' \\
 此时，Euler方程为$F_y(x,y)=0$,这是一个普通的函数方程，它可以表示一条或几条曲线，但未必适合边界条件。因此，在一般情况下无解，只有曲线满足边界条件时有解。\\ 
 ∗**例3.** 讨论泛函$J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {y^2dx,}$,$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$的极值曲线。\\
 **解：**$F=y^2$,$F_y=2y=0$,所以$y=0$.故当y_0=y_1=0时有极值曲线$y=0$,否则无极值曲线。\\
 * $F=P(x,y)+Q(x,y)y'$,F是y'的线性函数。\\
 此时，Euler方程为$P_y=Q_x$.与上述情况一样，这也是一个普通的函数方程。\\
 但是，如果$P_y=Q_x$,则$Pdx+Qdy$是某一函数u(x,y)的全微分，
 因而$ J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {(P+Qy')dx,} =\int_{x_0,y_0}^{x_1,y_1}{Pdx+Qdy,}= \int_{x_0,y_0}^{x_1,y_1}{du}=u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0)=const$\\
 此时变分失去意义。\\
 ∗**例4.** 讨论泛函$J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {(y+xy')dx}$,$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$的极值曲线。\\
 **解：**此时，Euler方程成为恒等式，变分失去意义。\\
 * $F=F(y')$,F只依赖于$y'$\\
 若$y''=0$,则$y=c_1(x)+c_2$是含有两个参数的直线簇。\\
若y''≠0,则$F_{y'y'}(y')=0$,解之得，$y'=k(常数)$,即，$y=kx+c$.这是含有一个参数的直线簇，它包含在前面的直线簇中。\\
∗**例5.** 在联接两点$A(x_0,y_0)$,$B(x_1,y_1)$的所有平面曲线中，试求长度最短的曲线。\\
解：问题可以化为在边界条件$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$下求泛函\\
$J[y(x)]=  \int_{x_0}^{x_1} {\sqrt (1+y'^2)dx}$的极小值。\\
由于$F=sqrt(1+y'^2)$仅依赖于y',它的极值曲线为直线簇$y=c_1(x)+c_2$,代入边界条件确定$c_1$,$c_2$,得\\
$y=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$.因此，所求最短曲线就是连接A，B两点的直线。\\
 * $F=F(x,y')$,F不含$y$\\
此时，Euler方程为$\frac{d}{dx}F_{y'}(x,y')=0$,它的积分为$F_{y'}(x,y')=c_1$.这是不含y的一阶常微分方程，解此方程即得可能的极值曲线。\\
∗**例6.** 求泛函$J[y]=\int_{x_0}^{x_1} {\frac{\sqrt {1+y'^2 }}{x}}dx$,$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$,的极值曲线。\\
解：$F=\frac{\sqrt {1+y'^2} }{x}$的Euler方程为\\
$\frac{d}{dx}\frac{y'}{x\sqrt {1+y'2} }=0$\\
它的初积分为$\frac{y'}{x\sqrt {1+y'^2} }=c,\Rightarrow x=\frac{y'}{c\sqrt {1+y'^2} }$\\
令$y'=tant$,则：\\
$x=\frac{tant}{c\sqrt {tan^2t} }=\frac{1}{t}sint=c_1sint,c_1=\frac{1}{t}$\\
$dy=y'dx=tant\cdot c_1costdt=c_1sintdt$,\\
$y=-c_1cost+c_2$.\\
故有，$\left\{ {\begin{array}\ {x=c_1sint,}  \\ {y=-c_1cost+c_2}  \\  \end{array} } \right.$\\
消去参数t，得，$x^2+(y-c_2)^2=c_1^2$.\\
这表示圆心在纵轴上的一簇圆，其中，$c_1$,$c_2$由边界条件确定。 \\ 
<note important>edited by 杨冰(0921060)2010/05/22 </note>  \\

∗**例7.** 求最速降线问题的解，即求 \\ $T=\int_{0}^{a} {\frac{\sqrt {1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}}dx$,$y(0)=0$,$y(a)=b$,的极值曲线。\\
解：$F=\frac{\sqrt {1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}$不含x,故Euler方程具有初始积分$y'F_{y'}=c$,即\\
$y'\frac{y'}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}}-\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}=c$\\
化简，得$y(1+y'^2)=c_1.$\\
令$y'=cot\frac{t}{2}$,则\\
$y=\frac{c_1}{1+y'^2}=c_1sin^2\frac{t}{2}=\frac{c_1}{2}(1-cost)$\\
$dx=\frac{dy}{y'}=\frac{\frac{c_1}{2}sint}{cot\frac{t}{2}}=\frac{c_1}{2}(1-cost)dt.$\\
故\\
$\left\{ {\begin{array}\ {x=\frac{c_1}{2}(t-sint)+c_2,}  \\ {y= \frac{c_1}{2}\frac{c_1}{2}(1-cost)}.    \\  \end{array} } \right.$\\
由t=0时，x=0,得$c_2=0$,而$c_1$由y(a)=b定出。于是，最速降线问题的解为\\
$\left\{ {\begin{array}\ {x=\frac{c_1}{2}(t-sint),}  \\ {y= \frac{c_1}{2}\frac{c_1}{2}(1-cost)}.    \\  \end{array} } \right.$\\
摆线。这是一条过A，B两点的摆线。\\

∗**例8.** 求最小旋转面面积问题的解，即求泛函 \\
$S[y]=2π\int_{x_0}^{x_1}{y\sqrt{1+y'^2}}dx$,$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$ \\ 的极值曲线。 \\
解：Euler方程具有初积分$y'F_{y'}=c$，即 \\
$2πy \frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}}-2πy\sqrt{1+y'^2}=c$ \\
化简得，$y=c\sqrt{1+y'^2}.$ \\
令$y'=sinht$，代入上式得 \\
$y=c_1cosht,$ \\
$dx=\frac{dy}{y'}=\frac{c_1sinht}{sinht}dt=c_1dt.$ \\
于是，所求曲面是由平面曲线 \\
$\left\{ {\begin{array}\ {x={c_1}t-c_2,}  \\ {y= c_1cosht}.    \\  \end{array} } \right.$\\
绕OX轴旋转而成的，消去参数t，得 \\
$y=c_1cosh\frac{x-c_2}{c_1},$ \\
其中，$c_1$,$c_2$由$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$确定，因此，最小曲面是悬链面。 \\  

====**2.2. 含有多个未知函数的变分问题**==== \\
★含两个未知函数的泛函极值的必要条件  \\
    ☆问题： \\
    $J[y(x),z(x)]=\int_{x_0}^{x_1}{F(x,y,z,y',z')}dx,$              (11) \\ 
    其中，F关于所含变量具有二阶连续领导，容许曲线$y(x)$,$z(x)$∈$C^2[x_0,x_1]$,且满足边界条件： \\
    $\left\{ {\begin{array}\ {y(x_0)=y_0, y(x_1)=y_1,}  \\ {z(x_0)=z_0, z(x_1)=z_1}.    \\  \end{array} } \right.$ \\
    ☆极值的必要条件：使泛函$J[y(x),z(x)]=\int_{x_0}^{x_1}{F(x,y,z,y',z')}dx$达到极值的必要条件是，y(x),z(x)满足Eular方程组，即： \\
     $\left\{ {\begin{array}\ {F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0,}  \\ {F_z-\frac{d}{dx}F_{z'}=0}.        \\  \end{array} } \right.$       (12)\\
     
     ☆例1.求泛函$J[y,z]=\int_{0}^{\frac{π}{2}{(y'^2+z'^2+2yz)}}dx$满足边界条件： \\
     $\left\{ {\begin{array}\ {y(x_0)=0, y(\frac{π}{2})=1,}  \\ {z(x_0)=0, z(\frac{π}{2})=-1}.    \\  \end{array} } \right.$ \\
     的极值曲线。 \\
     解：$F=y'^2+z'^2+2yz$,故Eular方程组为：\\
         $\left\{ {\begin{array}\ {2z-\frac{d}{dx}(2y')=0,}  \\ {2y-\frac{d}{dx}(2z')=0}.        \\  \end{array} } \right.$\\
         得： \\
         $\left\{ {\begin{array}\ {z-y^{(2)}=0,}  \\ {y-z^{(2)}=0}.        \\  \end{array} } \right.$\\
     由此方程组消去z,得$y^{(4)}-y=0$，其通解为：\\
         $\left\{ {\begin{array}\ {y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3cosx+c_4sinx,}  \\ {z=y''=c_1e^x+c_2e^{-x}-c_3cosx-c_4sinx}.        \\  \end{array} } \right.$\\
     由边界条件可确定$c_1=c_2=c_3=0$,$c_4=1$,故，所求极值曲线为： \\
     $\left\{ {\begin{array}\ {y=sinx,}  \\ {z=-sinx}.        \\  \end{array} } \right.$\\

            <note> edited by 谭小球(0921062)2010/06/10</note>\\
 ★例2 求泛函$J[y(x),z(x)]=\int_{x_0}^{x_1}{F(y',z')dx,}$ 的极值曲线，其中假设 F_{y'y'}-F^2_{y'z'} ≠0 \\
解：因为F_y=F_z=0,故Euler方程组为 \\
$\left\{ {\begin{array}\ {\frac{d}{dx}(F_{y'})=0,}  \\ {\frac{d}{dx}(F_{z'})=0}.        \\  \end{array} } \right.$\\
得：\\
$\left\{ {\begin{array}\ {F_{y'y'}y"+F_{y'z'}z"=0,}  \\ {F_{y'z'}y"+F_{z'z'}z"=0}.        \\  \end{array} } \right.$\\
根据假设条件，该方程只有零解y"=0,z"=0,即 \\
$\left\{ {\begin{array}\ {y=c_1x+c_2,}  \\ {z=c_3x+c_4}.        \\  \end{array} } \right.$\\
是所求的极值曲线。\\
·含n(n>2)个未知函数的泛函极值的必要条件\\
泛函$J=\int_{x_0}^{x_1}{F(x,y_1,y_2,…,y_n,y'_1,y'_2,…y'_n)dx,}$在满足边界条件 \\
$\left\{ {\begin{array}\ {y_i(x_0)=y_{i0},}  \\ {y_i(x_1)=y_{i1}},i=1,2,…n,        \\  \end{array} } \right.$\\
下，取得极值的必要条件是y_1(x),y_2(x),…,y_n(x),满足Euler方程组\\
F_{yi}-\frac{d}{dx}(F_{y'i})=0,i=1,2,…n. \\
上述方程组通解中的常数，可以由所给的边界条件确定。\\
  <note> edited by 杨立春(10921048)2010/06/26</note>