====== 第十课 泛函与变分 ======

===== 第一部分 泛函分析 =====

=== 例子 ===
**例1**. $R^n$是一个$n$维实数空间，即$n$元组$x=(x_1,...,x_n)$，$y=(y_1,...,y_n)$的集合。如果我们定义点积为\\
\[(x,y)=\sum_{i=1}^n x_i y_i\]
那么我们得到了$n$维Euclidean空间。$R^n$中相应的范数和距离是\\
\[||x||=\sqrt {\sum_{i=1}^n {x_i}^2}\]\\
\[\rho(x,y)=||x-y||=\sqrt {\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}\].\\
向量\\
\[e_1=(1,0,0$\ldots$0)\]
\[e_2=(0,1,0$\ldots$0)\]
\[$\cdots$\]
\[e_n=(0,0,0$\ldots$1)\]\\
构成了$R^n$中的一个标准正交基。\\
\\

**例2**. 元素为$x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots )$，$y=(y_1,y_2,\ldots,y_n,\cdots )$，$\cdots$，其中\\
\[\sum_{i=0}^{\infty} {x_i}^2 < $\infty$,
	\sum_{i=1}^{\infty} {y_i}^2 < $\infty$，$\ldots\ldots$\]\\
的空间$l_2$，当使用点积\\
\[(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i\]\\
时，变为一个无限维的Euclidean空间。\\

$l_2$中最简单的标准正交基包括向量\\
\[e_1=(1,0,0,0$\ldots$)\]
\[e_2=(0,1,0,0$\ldots$)\]
\[e_3=(0,0,1,0$\ldots$)\]
\[e_4=(0,0,0,1$\ldots$)\]
\[$\ldots$$\ldots$$\ldots$$\ldots$\]
存在无限个这样的基。\\
\\
**例3**. 当包括$[a.b]$上所有连续函数的空间$C_2[a,b]$使用点积\\
\[(f,g)=\int_a^b f(t) g(t) dt\]
时，是另一个Euclidean空间的例子。\\
在这个空间中正交基的一个重要的例子是如下的函数集合\\
\[1, $\cos \frac{2\pi nt}{b-a}$, $\sin \frac{2\pi nt}{b-a}$ $(n=1,2,\ldots)$\]
\\

==== Hibert空间 ====
**一个Hibert空间是一个完备的，可分的，并且通常是无限维的Euclidean空间。**\\
一个Hilbert空间是元素$f,g,\ldots$的集合$H$，并且对于该集合有\\
1. $H$是一个定义标量积的Euclidean空间
2. $H$对于度量$\rho(f,g)=||f-g||$是完备的\\
3. $H$是可分的（包含一个可数的处处稠密的子集）\\
4. （通常）$H$是无限维的\\
\\
$l_1$和$l_2$都是Hilbert空间的例子。\\
\\

==== delta函数 ====
我们现在考虑返回$f \in C$在位置$t$的值的泛函（一个评价泛函）\\
\[$\Phi$ [f]=f(t)\]
注意这个泛函是退化的因为它并不依赖于整个函数$f$，而只依赖于$f$在特定位置$t$的值。
$\delta (t)$不是一个泛函而是一个分布。\\
同一泛函可以被写为\\
\[\Phi [f]=f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(s) \delta (s-t)ds\]
(在$L_2$中)不存在特性像$\delta(t)$一样的普通函数，我们可以将$\delta(t)$看成是一个在$t!=0$时为零并且在$t=0$时取无限值的函数。因此有\\
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt=1\]

$\delta$函数可以被看作是一个普通函数序列的极限。例如，如果\\
\[r_{\varepsilon}(t)=\frac{1}{\varepsilon}(U(t)-U(t-\varepsilon))\]
是一个单位面积矩形脉冲，考虑极限\\
\[\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{-\infty}^{\infty}f(s)r_{\varepsilon}(s-t)ds\]
由$r_{\varepsilon}$的定义，因为$f$是连续的，所有有\\
\[\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{\varepsilon}\int_{t}^{t+\varepsilon}f(s)ds=f(t)\]
<note important>Edited by Gupeiqin顾珮嵚 10921055 mail:[[gupeiqin@zju.edu.cn]]</note>

===== 第二部分 变分法简介=====
==== 第一章 变分概念与变分法基本引理 ====
**变分概念：**变分学研究的主要内容是泛函的极值，凡是求泛函极值的问题都称作变分问题。\\

==== 1 变分问题的几个实例 ====
**例1** 捷线问题（最速降线问题）\\
**问题：**在同一铅直平面内所有连接不在同一铅直线上的$O$、$B$两点的曲线中，求一条曲线$\Gamma$，使初速度为零的质点仅在重力作用下，自较高点$O$沿$\Gamma$滑到点$B$所需时间最短，如图:{{:keynote:例1.jpg?303*176}}\\
**求解思路：**利用数学建模写出相应的数学公式；将泛函极值的问题化为相应的欧拉问题；用微分法求解欧拉方程则得到相应的泛函极值。\\
**解：**设曲线$\Gamma$的方程为$y＝y(x)$，质点质量$m$，下滑到曲线上点$M$时获得速度为$v$，则\\
由能量守恒、速度的定义与弧长公式分别有：\[mgh=\frac{mv^2}{2}；\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v；\mathrm{d}s={\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]\\
于是$O$到$B$的总时间为如下积分：\[T=\int_{0}^{T}\mathrm{d}t=\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gh}} \mathrm{d}x\]
于是问题归结为：求解泛函$T=T[y(x)]$，且满足边界条件：y(0)=0,y(a)=b的极值曲线$\Gamma$


**例2** 短程线问题\\
**问题：**设$A(x_0,y_0,z_0)$和$B(x_1,y_1,z_1)$为曲面$\Sigma:\phi(x,y,z)=0$上的两点，求$\Sigma$上过$A，B$的长度最小的曲线$\Gamma$（也叫测地线）\\
**解：**设曲线$\Gamma$的方程为:
\[\cases{y=y(x) \\z=z(x) },x_0 \leq x \leq x_1\]\\
则曲线$\Gamma$的弧长为:
\[L=\int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1+y'^{2}+z'^{2}} \mathrm{d}x\]\\
于是问题归结为：求解泛函$L=L[y(x),z(x)]$，中满足边界条件：
\[\cases{y_0=y(x_0) \\y_1=y(x_1},\cases{z_0=z(x_0) \\z_1=z(x_1}\]\\
和约束条件：
\[\phi(x,y,z)=0\]\\
的极值曲线$\Gamma：y=y(x),z=z(x)$\\
 
   <note important>TanMin谭敏_10921056 tanmin@zju.edu.cn 2010/05/28 21:50</note>
      
**例3** 等周问题\\
**问题描述：**求长为定值$l$的平面封闭曲线$\Gamma$，使其所围成的平面区域$D$的面积最大.\\
**解：**设曲线$\Gamma$的方程为:
\[\cases{x=x(t) \\y=y(t) },t_0 \leq x \leq t_1\]\\
则封闭曲线$\Gamma$的弧长为:
\[l=\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{1+x'^{2}(t)+y'^{2}(t)} \mathrm{d}t\]\\
由Green公式，$\Gamma$所围面积$A$为\\
\[A=0.5\int_{t_0}^{t_1} \ {(xy'-yx')} \mathrm{d}t\]\\
于是等周问题可以归结为：求一对函数$x=x(t),y=y(t)$在其满足约束条件\\
\[\cases{x(t_0)=x(t_1) \\y(t_0)=y(t_1)}\]\\
和等周条件
\[l=\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{1+x'^{2}(t)+y'^{2}(t)} \mathrm{d}t\]\\
下使得泛函$A$取极大值.\\


**例4** 最小旋转曲面问题\\
**问题描述：**在XOY平面内求一条边界固定的曲线，使其绕横轴旋转所产生的空间曲面面积最小.\\
**解：**设过点$A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)$的曲线$\Gamma$的方程为:
\[y=y(x),x_0 \leq x \leq x_1\]\\
则旋转曲面的面积$S$为:\\
\[S=2\pi \int_{x_0}^{x_1} y{\sqrt{1+y'^{2}}} \mathrm{d}x\]\\
记$S=S[y(x)]$.于是，最小旋转曲面问题归结为：求曲线\\
\[y=y(x),x_0 \leq x \leq x_1\]\\
在其满足约束条件\\
\[\cases{y(x_0)=y_0 \\y(x_1)=y_1}\]\\
下使泛函$S$取极小值.\\
**例5** 旋链形状问题\\
**问题描述：求长度为$l$，两端系于$A,B$亮点，绝对柔软而不伸长的匀质链的形状.\\
**解：设链的方程为\[y=y(x),(t_0 \leq x \leq t_1)\]链的线密度为ρ,小弧段$ds$的位能为：\\  
\[\mathrm{d}U=ρgy*ds=ρgy{\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]
链的总位能为：
\[U=ρg\int_{0}^{x_1} y{\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x\]\\
泛函U的值与曲线函数y=y(x)有关，记U=U[y(x)].于是，旋链形状问题归结为：求函数y=y(x)，在其满足条件：
\[\cases{\int_{0}^{x_1} {\sqrt{1+y'^{2}}}\mathrm{d}x=l,\\y(0)=y_0,x(0)=x_0,}\]\\
下，使得泛函U最小.\\

==== 2 变分概念 ====
**定义1** 设$J[y(x)]$是定义在函数集合$Y={y(x)}$上的泛函，称$y(x)$为$J[y(x)]$的宗量，$Y$为$J[y(x)]$得定义域(或许容许曲线类(簇)).\\
**例1**设y(x)∈C[0,1],且\[J[y(x)]=\int_{0}^{1} y(x)\mathrm{d}x,\]试求\[J[\frac{1}{x+1}],J[e^x]及J[\frac{1}{1+x^2}].\]\\
解\\  
       \[J[\frac{1}{1+x}]=\int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d}x=In2.\]\\
** **\[J[e^x]=\int_{0}^{1}{e^x} \mathrm{d}x=e-1\]
** **\[J[\frac{1}{1+x^2}]=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} \mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}.\]\\
**定义2** 泛函$J[y(x)]$的宗量$y(x)$与另一宗量$y_0(x)$之差，称为宗量$y(x)$的变分，记为\\
\[δy=δy(x)=y(x)-$y_0(x)$.\]

**定义3** 若max|y(x)-$y_0(x)$|很小，则y(x)与$y_0(x)$具有零阶接近，称函数集合{y(x)｜｜y(x)-$y_0(x)$|<δ｝为$y_0(x)$的零阶δ-邻域.\\
 设k为正整数，若\\
 max{|y(x)-$y_0(x)$|,|y'(x)-$y_0(x)$|,...|yk(x)-$yk_0(x)$|}很小，则称y(x)与$y_0(x)$有k阶接近，称函数集合\\
 max{y(x)||y(x)-$y_0(x)$|,|y'(x)-$y_0'(x)$|,...,|yk(x)-$yk_0(x)$|}为$y_0(x)$的k阶δ-邻域.\\

**定义4** 如果对∨ε＞0，使对$y_0(x)$的k阶δ-邻域中的任何y(x),都有|J[y(x)]-J[$y_0(x)$]|<ε,则称J[y(x)]是在$y_0(x)$处具有k阶接近度的连续泛函.\\

**定义5**设$F(x,y,y')$是三个变元x,y,y'的二阶连续可微函数，x任意固定,η(x)是任意可微函数,ε是无穷小参数，则$F(x,y,y')$的增量为:
 △F=F(x,y+εη,y'+εy').\\
<note important>Edited by 赖攀_10921057 [10921057@zju.edu.cn]</note>


**定义6** 如果泛函J[y(x)]的增量ΔJ=J[y+δy]-J[y]可表示为:\\
\[\ ΔJ=J[y,δy]+β(y,δy)max|δy|,\]\\
其中,J[y,δy]对δy是线性的,且δy→0时,β(y,δy)→0,则称J[y,δy]为泛函J[y]的变分,\\
记作δy,即δy=J[y,δy]。\\
**定义7** 如果\[Φ’(0)=\frac{\mathrm{∂}}{\mathrm{∂}a}J[y+aδy]|a=0\]存在,则称Φ’(0)为泛函J[y]的变分,仍将其记为δJ,即\\
\[\ δJ=Φ’(0)=\frac{\mathrm{∂}}{\mathrm{∂}a}J[y+aδy]|a=0\]\\

**定义8** 如设y_0(x)是泛函J[y]的容许曲线簇Y中的某一函数,若对∀y∈Y,都有\\
\[\ J[y(x)]≤J[y_0(x) (或J[y(x)]≥J[y_0(x)),\]\\
则称泛函J[y]在y_0(x)处达到极大(小)值,(或绝对极大(小)值),并称y_0(x)为J[y]的极大(小)值曲线。\\
若y_0(x)的 零阶σ–邻域内所有函数y(x)，都有\\
\[\ J[y(x)]≤J[y_0(x) (或J[y(x)]≥J[y_0(x)),\]\\
则称泛函J[y]在y_0(x)处达到强极大(小)值。\\
若y_0(x)的 一阶σ–邻域内所有函数y(x)，都有\\
\[\ J[y(x)]≤J[y_0(x) (或J[y(x)]≥J[y_0(x)),\]\\
则称泛函J[y]在y_0(x)处达到弱极大(小)值。极大(小)值曲线。\\
**推论1** 强极值必是弱极值，但反之不真。\\
**推论2** 绝对极值必是强极值。\\
**推论3** 泛函J[y]达到绝对极值的必要条件也是达到弱极值的必要条件，更是达到强极值的必要条件。\\

<note important>WuXiaoChun吴晓春_10921058 [10921058@zju.edu.cn] 2010/05/31 18:30</note>
           
泛函分析概况

    泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
　　泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

赋范线性空间

　  从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究 Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
　　泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。

希尔伯特空间

　　希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

巴拿赫空间

　　一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。
　　对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）
　　在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
　　微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。

主要结果和定理

　　泛函分析的主要定理包括：
　　1. 一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。
　　2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。
　　3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。
　　4. 开映射定理和闭图像定理。

泛函分析与选择公理

　　泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn's Leema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。
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泛函分析的研究现状

　　泛函分析目前包括以下分支：
　　1. 软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。
　　2. 巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。
　　3. 非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。
　　4. 与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照 Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。

<note important>ChenLiang陈亮_10921053 cliang@zju.edu.cn 2010/05/31 21:50</note>