====== 第十二课 水平集（二）======
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======课程概要======

1. Level set的基本方法

2. Level set的数值解法

3. Level set的建模方法与应用举例

4. PDE方法的未来
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<note>Revised by 陈林 11021072 2011/6/28/ 16:00</note>
======Level set的基本概念======

====定义====
假设隐函数$\phi(x,t)$表示一个高维空间的方程，其在低维空间上的接触面为$\phi(x,t)=0$，其中

$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in R^n$，则level set方程 $\Gamma(t)$ 有如下的性质，其中接触面表示为

$\phi(x,t)<0$ for  $x\in \Omega$

$\phi(x,t)>0$ for  $x\not\in \Omega$

$\phi(x,t)=0$ for  $x\in \partial\Omega$

<note>Revised by 陈林 11021072 2011/6/28/ 16:15</note>
======Level set的求解======

Level set的运动可以表示为

$\frac{\partial\phi}{\partial t}+v\cdot \nabla\phi=0$

若设 $v_{N}=v\cdot \frac{\partial \phi}{|\partial \phi|}$ 则有

$\frac{\partial\phi}{\partial t}+v_{N}\cdot|\nabla\phi|=0$

因此Level set方法本质上就是求解上述微分方程。

<note>Revised by 陈林 11021072 2011/6/28/ 16:30</note>
======Level set求解的目标======

如何列出有意义的方程求解实际问题

如何能快速、稳定地求出方程的数值解

========Level set的常用数值解法========

Upwind 差分法
 
Hamilton-Jacobi ENO

Hamilton-Jacobi WENO

TVD Runge-Kutta

求解Level set的数值方法一般分为3步：

1.用ENO,WENO或upwind方法求解对流项。
2.用中心差分的方法估算曲率。
3.用TVD RK方法来求解。
<note important>Revised by 张王晟 11021076</note>

======Upwind 差分======

    假设t^n=n∆t
    ∂φ/∂t+v.∇φ=0=>(φ^(n+1)-φ^n)/∆t+v^n.∇φ^n=0
    根据CIR格式，先考虑一维的情况，当v^n>0时，曲线从左往右移动，所以要用到φ_i^n 左边的值，即用向后差分来估计∇φ^n . 同理，当v^n<0时，用向前差分。
    算法的精度 O(∆x)
    算法的稳定条件 ∆t max{|v_x |/Δx+|v_y |/Δy+|v_z |/Δz}∈(0,1)
    可见upwind差分法虽然简单，但是精度不高，计算速度慢
Hamilton-Jacobi ENO 方法
    ENO: Essentially Nonoscillatory（不波动，不摇动）  
  基本思想：用尽量光滑的多项式插值φ然后再求解φ_x。用HJ ENO方法可以更精确地估计φ_x^+或者φ_x^-。
    定义算子 D_i^0=φ_i
           D_(i+1/2)^1 φ=(D_(i+1)^0 φ-D_i^0 φ)/Δx 
           D_i^2 φ=(D_(i+1/2)^1 φ-D_(i-1/2)^1 φ)/2Δx
    WENO:  Weighted ENO 
 当计算〖(φ_x^-)〗_i时，三阶精度的HJ ENO算法需要知道{φ_(i-3),φ_(i-2),φ_(i-1),φ_i,φ_(i+1),φ_(i+2)}的值，共有3种HJ ENO估计〖(φ_x^-)〗_i的方法。定义 
<note important>Revised by 盛佳 11021074 2011/6/19/ 20：00</note>

======TVD Runge-Kutta方法======       

TVD: total variation diminishing

优势：

1. 更高阶的精度

2. 更加一般的算法

一阶TVD RK就是向前Euler算法

二阶TVD RK和二阶RK算法相似

三阶TVD RK算法简介

$\frac{\phi^{n+1}-\phi^n}{\Delta t}+v^n\cdot\nabla\phi^n=0$

$\frac{\phi^{n+2}-\phi^{n+1}}{\Delta t}+v^{n+1}\cdot\nabla\phi^{n+1}=0$

$\phi^{n+1/2}=3/4\phi^{n+1}+1/4\phi^{n+2}$

$\frac{\phi^{n+3/2}-\phi^{n+1/2}}{\Delta t}+v^{n+1/2}\cdot\nabla\phi^{n+1}=0$

$\phi^{n+1}=1/3\phi^n+2/3\phi^{n+3/2}$

<note>Revised by 陈林 11021072 2011/6/28/ 22:00</note>