====== 第十课 ======
===**变分问题的欧拉方程**===
* 变分问题的欧拉方程
	* 由预备定理可知
		\[ F_y - \frac{d}{dx} F_{y'} = 0, \alpha \leq x \leq \beta \]
	* 如果展开$\frac{dF_{y'}}{dx}\$
		\[F_y - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y'} y' - \frac{\partial^2 F}{\partial' y \partial x} y'' = 0 \]
	* 其中$F(x,y,y')$必须具有二阶偏导数，y(x)也必须具有二阶偏导数，由此把变分问题转化为微分方程求解。

* 泛函变分问题的一般求解步骤
	- 从物理上建立泛函及其条件
	- 通过泛函变分，利用变分法基本预备定理求得欧拉方程
	- 在边界条件下求解欧拉方程，即微分方程求解
	
* 变分法与欧拉方程
	* 变分法与欧拉方程代表同一物理问题。欧拉方程求解和从变分法求数值近似解（如有限元，利兹法，伽辽金法等），其效果一样。但欧拉方程求解很困难，而从泛函求近似解通常很方便，因而变分法一直被广为重视。但并不是所有的微分方程都能找到相对应的泛函问题。

<note important> --- //[[qyg@zju.edu.cn|钱亚冠]] 2011/05/06 13:43//</note>

===**泊松方程**===
泊松方程为 $\delta_\phi = f$ 　　

在这里 $\bigtriangledown$ 代表的是拉普拉斯算子，而 $f$和 $\phi$ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。 当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为
\[\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\]，
因此泊松方程通常写成$\bigtriangledown^2\phi = f$或者$div \quad grad\phi = 0$，如果没有$f$，这个方程就会变成拉普拉斯方程$\bigtriangledown \phi = 0$。泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是 relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。 　　

数学上，泊松方程属于椭圆型方程（不含时线性方程）。 　　

泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，$\bigtriangledown \phi = 0$（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有$\bigtriangledown \phi = f$（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。

	
===Partial Differential Equation===
*Siméon Denis Poisson  
    *His teachers: Laplace, Lagrange, 
    *Poisson’s terms:Poisson's equation、Poisson's integral、Poisson distribution、Poisson brackets、Poisson's ratio、Poisson's constant 
*参考书籍
    *《微分方程数值解法》
    *偏微分方程数值解法》
*why PDE？
    *Computer graphics:
         *场景几何建模：网格去噪，微分阈方法
         *场景精细绘制：辐射度方法，全局光照明模型
         *物理动态模拟：织物模拟，流体模拟
    *Image and video processing
         *image segmentation：level-set
         *object tracking：optic flow
    *Artifical intelligence and recognition
         *Time series analysis:randomized PDE
    *High performance computing
*an introduction to PDE
    *History of Differential Equation
    *Fundamental concepts
    *3 basic PDE
        *Elliptic Equation(椭圆）
        *Parabolic Equation（抛物线）
        *Hyperbolic Equation（双曲线）
    *Solutions
*Simeon Denis Poisson
    *His teachers:Laplace，Lagrange
    *Poisson's terms:
        *Possion's equation
        *possion's integral
        *possion's distribution
        *possion's brackets
        *possion's ratio
        *possion's constant
    *"Life is good for only two things:to study mathematics and to teach it."
*Background
    *PDE：E(f,fx,fy,fxx,fxy,fyy)=0
    *物理中的PDE常常是线性和二阶的：
          *A.fxx+2B.fxy+C.fyy+D.fx+E.fy+F.f+G=0
    * {{:2011:2011:pde1.jpg|}}
  
====== 从变分法到偏微分方程（From variational methods to PDE） ======
* 历史上有很多有名的极值问题，其求解方法可统称为变分法
	*两点间的最短连线问题
	*最速下降线问题
	*短程线问题
	
* 两点间的最短连线问题
	* 问题假设：
		* 二维平面空间，一点是坐标原点(0,0)，一点在(a,b)
		* 两点间的连接曲线是 $y = y(x)$
		* 曲线的弧长微元是$ds^2 = dx^2 + dy^2$或$ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2 * dx}$
		* 曲线的总弧长是 $s = \int_0^a {(1+y'^2)^{1/2} dx} $，其中s是标量，是$y’(x)$的一个广义函数，称为泛函，可记为$s(y')$

	* 数学描述：找出曲线$y(x)$使得$\min_{y'}{\int_0^a{(1+y')^{1/2}dx}}$，且满足如下端点约束条件：
		- $y(0)=0, x=0$
		- $y(a)=b, x=a$
		
	* 其极值问题为：
		\[\delta\Pi=\int_0^\alpha [1 + (y'+\delta y')^2]^{1/2}dx - \int_0^\alpha[1+y'^2]^{1/2}dx \]
	* 略去$\delta y'$的高次微量得
		\[\delta \Pi = \int_0^\alpha {\frac{y'+\delta y'}{[1+y'^2]^{1/2}}dx} = 0 \]
	* 分布积分，并利用$\delta y(0) = 0$, $\delta y(a) = 0$，得
		\[\delta \Pi = -\int_0^\alpha {\frac{d}{dx}[frac{y'}{(1+y')^{1/2}}]\delta y dx} = 0\]
	* 由变分法预备定理，给出以下微分方程
		\[\frac{d}{dx} [\frac{y'}{(1+y')^{1/2}}] = 0 \]
	* 积分得 $\frac{y'}{(1+y'^2)^{1/2}} \equiv const$ => $y' \equiv const$
	* 由端点约束条件即得 $ y = \frac{b}{a} x$

* 变分命题
	* 第一类变分问题：
		- 被积函数包括一阶导数的变分问题
		- 满足端点约束条件
		- 在所有的足够光滑函数y(x)中，求使以下泛函为极值
		\[ \Pi(y) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y') dx\]
	* 第二类变分问题：
		- 两个待定函数： y(x)，z(x)
		- 满足约束条件： $\varphi(x, y, z) = 0$
		- 满足端点约束条件
		- 在所有的足够光滑函数y(x)，z(x)中，求使以下泛函为极值
		\[ \Pi(y,z) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y',z,z') dx\]
	
* 第一类变分问题
	* 设函数y(x)是下式的极值解
		\[\Pi(y) = \int_\alpha^\beta F(x,y,y')dx\]
		* 且满足端点条件 $y(\alpha)=\bar{y_1}$, $y(\beta)=\bar{y_2}$
	* 设其邻近的函数$y(x)+\delta y(x)\$也满足端点条件
		* 因此端点变分满足$\delta y(\alpha) = \delta y(\beta) = 0$
	* 泛函的变分为
		\[ \delta\Pi = \Pi(y + \delta y) - \Pi(y) = \int_\alpha^\beta {F(x,y+\delta y, y' + \delta y') - F(x,y,y')}dx \]
	* 根据微量计算规则，设$y(x)$和$y(x) + \delta y(x)$是有一阶接近的曲线
		\[ F(x, y+\delta y, y' + \delta y') = F(x,y,y') + [\frac{\partial}{\partial y} F(x,y,y')]\partial y + [\frac{\partial}{\partial y'} F(x,y,y')]\partial y' \]
	* 引入简写符号
		\[ F = F(x,y,y'), F_y = \frac{\partial}{\partial y} F(x,y,y'), F_{y'} = \frac{\partial}{\partial y'} F(x,y,y') \]
	* 可得
		\[\delta F = F_y\delta y + F_{y'} \delta y' \]
	* 从而，泛函的变分为
		\[\delta \Pi = \int_\alpha^\beta \delta F dx = \int_\alpha^\beta [F_y \delta y + F_{y'} \delta y'] dx \]
	* 可以证明：函数y(x)的导数的变分等于函数y(x)的变分的导数，亦即导数和变分两种运算可以互换运算顺序：$\delta y' = (\delta y)'$
	

====== 本节编撰作者 ======
<note important> 本节编撰作者(请大家在这里报到)： 
  * [[xxxx@xxx.xxx|俞一鹏]] (ID: 11021060)，   编写了Partial Differential Equation
  * [[zby@zju.edu.cn|周伯阳]] (ID: 11021061)，   编写了From variational methods to PDE
  * [[qyg@zju.edu.cn|钱亚冠]] (ID: 11021062)，   编写了变分问题的欧拉方程
  * [[rancheng@zju.edu.cn|程然]] (ID: 11021064)，   编写了泊松方程

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