====== 第七课 ======
===== 泛函变分问题 =====
==== 1. 变分概念 ====
关键词：变分定义 宗量 容许曲线类

  * 定义1：设J[y(x)]是定义在函数集合Y = {y(x)}上的泛函，称y(x)为J[y(x)]的**宗量**，Y为J[y(x)]的定义域(或**容许曲线类(簇)**)

  * 定义2：泛函J[y(x)]的宗量y(x)与另一宗量y<sub>0</sub>(x)之差，称为宗量y(x)的**变分**，记为\\ δy = δy(x) = y(x) − y<sub>0</sub>(x)

  * 定义3：若max|y(x)-y<sub>0</sub>(x)|很小，则称y(x)与y<sub>0</sub>(x)具有零阶接近，称函数集合\\  {y(x)||y(x)−y<sub>0</sub>(x)| <δ }\\ 为y0(x)的零阶δ-邻域

  * 定义4：如果对∀ε> 0，使对y0(x)的k阶δ-邻域中的任何y(x)，都有\\ |J[y(x)] − J[y<sub>0</sub>(x)]| < ε,\\ 则称J[y(x)]是在y0(x)处具有k阶接近度的连续泛函

  * 定义5：设F(x,y,y')是关于三个变元x,y,y'的二阶连续可微函数，x任意固定，η(x)是任意可微函数，ε是无穷小参数，则F(x,y,y')的增量为\\  ΔF = F(x, y+εη,y'+εη') - F(x,y,y')\\ 按Taylor公式，有\\ ΔF = ∂F/∂y εη+∂F/∂y' εη'+R1\\ 其中，R1是较ε->0时高阶的无穷小。称\\ δF = ∂F/∂y εη+∂F/∂y' εη' \\ 为函数F(x,y,y')的变分

<note tip>变分几号与微分记号是允许交换的，且\\ δF = ∂F/∂y δy+∂F/∂y' δy' \\ 变分具有和函数求导类似的性质：\\ δ(F<sub>1</sub> + F<sub>2</sub>) = δF<sub>1</sub> + δF<sub>2</sub>\\ δ(F<sub>1</sub> * F<sub>2</sub>) = F<sub>2</sub>δF<sub>1</sub> + F<sub>1</sub>δF<sub>2</sub></note>
  * 定义6：如果泛函J[y(x)]的增量ΔJ = J[y +δy] - J[y]可表示为\\ Δ
J = J[y, δy] + β(y, δy)max |δy| ,\\ 其中，J[y, δy]对δy而言是线性的，且当δy->0时ž,β(y, δy)->0，则称J[y, δy]为泛函J[y]的变分，记为δJ,即δJ = J[y,δy].

  * 定义7：（**较弱的变分定义**）如果Φ'(0)=∂J[y+αδy]/∂α|<sub>α=0</sub>存在，则称Φ'(0)为泛函J[y]的变分，仍将其记为δJ,即\\ δJ =Φ'(0)=∂J[y +αδy]∂α|<sub>α=0</sub>.
<note tip>**定义6和定义7下变分之间的关系**\\ 定理1:对于泛函J[y]，若按定义6的变分存在，则在定义7意义下的J[y]的变分也存在并且两者相等\\ **定义7的意义**：弱变分定义的的意义在于把泛函极值问题转化成函数极值问题，即化未知问题为已知问题，这是很重要的思维方法</note>

  * 定义8：设y<sub>0</sub>(x)是泛函J[y]的容许曲线簇Y种的某一函数，若对∀y∈Y，都有\\ J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),\\ 则称泛函在y<sub>0</sub>(x)处达到极大（小）值，（或**绝对极大（小）值**），并称y<sub>0</sub>(x)为J[y]在极大（小）值曲线\\ 若对于y<sub>0</sub>(x)的零阶σ-邻域内的所有函数y(x)，都有\\ J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),\\ 则称泛函在y<sub>0</sub>(x)处达到**强极大（小）值**\\ 若对于y<sub>0</sub>(x)的一阶σ-邻域内的所有函数y(x)，都有\\ J[y(x)] ≤ J[y0(x)](或 J[y(x)] ≥ J[y0(x)]),\\ 则称泛函在y<sub>0</sub>(x)处达到**弱极大（小）值**
  * 推论1：强极值必是弱极值，但反之不真
  * 推论2：绝对极值必是强极值
  * 推论3：泛函J[y]达到绝对极值的必要条件也是达到弱极值的必要条件，更是达到强极值的必要条件
 <note>三个推论表明弱极值包含强极值包含绝对极值，如果把三种极值表示成同心圆，则绝对极值最小，弱极值最大</note>

  * 定理2：若具有变分的泛函J[y(x)]在y = y<sub>0</sub>(x)达到极值，则δJ|<sub>y = y0(x)</sub> = δJ[y<sub>0</sub>(x)] =0

<del><del>Strike-through Text</del></del>
==== 2 固定边界的变分问题 ====

=== 2.1、泛函极值的必要条件 ===
求{{:wxj1.jpg?150}}达到极值的必要条件。\\
其中：函数F∈C<sup>2</sup>, y(x<sub>0</sub>)∈C<sup>2</sup>[x0,x1]，且满足边界条件：y(x0)=y0, y(x1)=y1。\\

一般结论：
使上述泛函J[y]达到极值的必要条件是
  * Φ'(0) = ξJ(y, ξy) = 0.\\
由基本引理1可知,y（x）必须满足欧拉方程
  * F<sub>y</sub> - d / dx(F<sub>y'</sub>) = 0.\\

说明:注意到满足欧拉方程仅是泛函取得极值的**必要条件**，欧拉方程的解曲线仅是可能的极值曲线。但在实际问题中，往往可以事先确定泛函的极值是否存在，在确定极值存在的情况下欧拉方程的解曲线就是极值曲线。\\

在实际应用中，欧拉方程可以改写成如下几种不同的形式便于计算：\\
  * F<sub>y'y'</sub>y'' + F<sub>y'y'</sub>y' + F<sub>xy'</sub> ? F<sub>y</sub> = 0
  * d / dx(F - y'F<sub>y'</sub>) - F<sub>x</sub> = 0 \\
\\


=== 2.2含有多个未知数的变分问题 ===
求{{:keynote:wxj2.jpg?230}}达到极值的必要条件。\\
其中：F关于所含变量具有二阶连续偏导数，曲线y(x),z(x)∈C<sup>2</sup>[x0,x1]，且满足边界条件：y(x0)=y0, y(x1)=y1，z(x0)=z0, z(x1)=z1。\\

一般结论：
使上述泛函J[y, z]达到极值的必要条件是y(x),z(x)满足欧拉方程组：
  *　F<sub>y</sub> - d / dx(F<sub>y'</sub>) = 0.
  *　F<sub>z</sub> - d / dx(F<sub>z'</sub>) = 0.\\

**含有n（n>2）个未知函数的泛函极值的必要条件**
  * F<sub>yi</sub> - d / dx(F<sub>yi'</sub>) = 0, i= 1,2,...,n.\\
==== 3.1 最简单的可动边界问题 ====
 * 问题的提出
上一章，我们讨论了固定边界的变分问题，即：在未知函数$y(x)$的边界点$A(x_0,y_0)$,$B(x_1,y_1)$固定的情况下，求泛函：
\\    $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dx$   (18)\\
的极值曲线。这一节讨论的问题，是假定两个边界中的一个或两个可以变动，这时，容许曲线族的范围扩大了。
可动边界情况下的容许曲线族，比固定边界情况下的容许曲线族大，前者包含后者。因此，如果函数$y(x)$使可动边界的泛函达到极值，它也能使固定边界的泛函达到极值。所以，这个函数也应该满足使固定边界问题达到极值的必要条件，Euler方程：
\\    $F_y-\frac{d}{d_x}F_y'=0$\\
Euler方程是一个二阶常微分方程，它的通解$y=y(x,c_1,c_2)$包含了两个任意常数，确定它们需要两个条件。在固定边界的变分问题中，这两个条件是$y(x_0)=y_0$,$y(x_1)=y_1$;在边界可变的情况下，就是斜截条件。
  * 斜截条件
假设泛函（18）中的未知函数$y(x)$有一个固定的左端点$A(x_0,y_0)$，即，$y(x_0)=y_0$,右端点$B(x_1,y_1)$在某曲线$ω(x,y)=0$上移动。这时右端点$x_1$是变动的。斜截条件就是考察$x_1$应该满足什么特征。
\\             {{:keynote:20100614_2.jpg|}}
该公式称为斜截条件，或贯截条件。它表明，如果$y=y(x),(x_0≤x≤x_1)$为变动右端点的泛函极值曲线，则右端点必满足(27)
==== 4.1 附有约束条件ψ = 0的变分问题 ====
 * 问题的提出
这一节我们主要研究泛函
{{:keynote:泛函公式.jpeg|}}
\\满足边界条件\\
{{:keynote:边界条件.jpeg|}}\\
和约束条件\\
ψ(x,y,z)=0\\
的极值问题，导出泛函j的极值曲线应满足的条件。\\
   * 几何意义
这类问题的几何意义是：在曲面ψ（x, y, z)=0上求一条曲线\\
{{:keynote:曲线.jpeg|}}\\
使得泛函在其上取得极值。类似于有条件函数极值的Lagrange方法，有条件泛函极值问题也可以化为无条件极值来处理。\\
   * Lagrange定理
设y(x), z(x)是泛函在边界条件和约束条件下的极值，如果在曲线\\
y = y(x) z = z(x) 上，泛函至少有一个不为零，则必存在函数使y(x), z(x)满足泛函\\
{{:keynote:1.jpeg|}}\\
的Euler方程组：\\
{{:keynote:2.jpeg|}}\\
其中，{{:keynote:3.jpeg|}}\\
     * 例2
试求出圆柱面x^2 + y^2 = R^2上，连接点P1(x1, y1, z1)与点P2(x2, y2, z2)的最短曲线。\\
解：设圆柱面的参数方程为\\
   {{:keynote:4.jpeg|}}\\
   因为点P1, p2在圆柱面上，故所求曲线P1P2的x, y坐标与圆柱面的相同，\\
   只要求出z坐标z = z(t)即可。\\
   设P1, p2点对应的参数为t1<t2, 则P1P2的弧长为\\
   {{:keynote:5.jpeg|}}\\
   于是，问题化为：求过P1P2且位于圆柱面上的曲线，使泛函l取极小值。\\
   {{:keynote:6.jpeg|}}\\
==== 5 固定边界的变分问题的泛函极值条件与 Euler方程的特殊情况 ====
由于已经知道:
{{:keynote:zzm461.png|}}\\
{{:keynote:zzm462_.png|}}\\
然后我们讨论下几种特殊的Euler方程：\\
1. F=F(x,y)中不含y‘，则有F对y的偏导{{:keynote:zzm463.png|}},所以F(x,y)是一个普通的函数方程，他可以表示一条或者几条曲线，但未必适合边界条件，因此在一般情况下无解，只有曲线满足边界条件时才有解。\\
2.如果有：{{:keynote:zzm464.png|}}\\
则此时有Euler方程为：{{:keynote:zzm465.png|}}。与上述一样，这是一个普通的函数方程，但是如果{{:keynote:zzm466.png|}} ，则有Pdx+Qdy是某一个函数
u(x,y)的全微分，则有:\\
{{:keynote:zzm467.png|}}\\
则此时变分已经失去意义。\\
3.F=F(y'),也就是F只依赖于y',则此时有Euler方程为：{{:keynote:zzm468.png|}}\\
如果y’‘=0,则y=ax+b是含有两个参数的直线簇。\\
如果y’‘!=0,则{{:keynote:zzm469.png|}}，解方程得，y'=k(常数),也就是y=kx+c,这是含有一个参数的直线簇，它被包含在前面的直线簇中。\\
4.F=F(x,y')不含y，则此时Euler方程为{{:keynote:zzm4610.png|}}，它的积分为{{:keynote:zzm4611.png|}}，这个是不含y的一阶常微分方程，解此方程则可以得到极值曲线。\\
5.F=F(x,y')不含x,则此时由Euler方程(10)可得：\\
{{:keynote:zzm4612.png|}}\\
Euler方程具有初积分y'Fy'-F=c,解此方程可得极值曲线。
====6本片文档笔记说明 ====
<note important> 本节编撰作者(请大家在这里报到)： 
  * [[summer@zju.edu.cn|夏菁]] (ID: 11121030)，   编写了变分概念
  * [[cswangjing@zju.edu.cn|王静]] (ID: 11021045)，   编写了可动边界问题-问题的提出
  * [[coldly_burning@163.com|郭雪昆]] (ID: 11021042)，   编写了附有约束条件ψ = 0的变分问题
  * [[wxjwsz@gmail.com|王欣捷]] (ID: 11021043)，   编写了固定边界的变分问题(2.1和2.2)
  * [[zhouprogram@foxmail.com|周正茂]] (ID: 11021046)，   编写了 固定边界的变分问题的泛函极值条件与 Euler方程的特殊情况
  * [[xxxx@xxx.xxx|AuthorName6]] (ID: xxxxxxxxx)，   编写了...

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