研究成果 | 基于高斯平滑卷绕数的显式-隐式耦合的几何处理

        近期,浙江大学计算机辅助设计与图形系统全国重点实验室鲍虎军和黄劲教授团队的的研究论文《GauWN: Gaussian-smoothed Winding Number and its Derivatives》(高卷数:高斯平滑卷绕数及其导数)被SIGGRAPH Asia 2024录用。该论文提出了一种新的几何处理的基础工具——高卷数(高斯平滑卷绕数),借由其可将几何形状的隐式表达与显式表达可微可导地耦合在同一个优化框架中,从而能够应用于曲线自交解除、交互编辑与偏移等应用。

研究背景
        在图形学与计算机辅助设计领域,对几何形状的表达是一个重要的基础问题。几何表达大致可以分为显式表达与隐式表达两类,两类表达有着各自的优势。例如,显式表达便于保持拓扑连接、刻画尖锐特征,隐式表达则提供水密流形保证、易于高效距离计算与布尔操作。
        然而,两种表达的差异显著,难以包含在同一个优化问题中。传统上,往往仅能只采用其中一种表达,或是交替地切换表达形式,这并不能充分利用二者的优势。研究课题组的目标是解决显式表达与隐式表达的隔阂,实现以显式表达为待优化变量,以隐式表达描述优化目标的耦合优化。
研究创新与突破
        本研究提出了二维的高卷数,即卷绕数的一种平滑近似。其具有计算隐式场任意一点值关于空间位置与多边形顶点位置的偏导数的能力。核心思想是将卷绕数场与高斯核函数进行卷积操作,将原本由于分片常数,难以微分的卷绕数场变为连续光滑的高卷场。为了避免在整个空间卷积的巨大开销,本研究首先证明散度定理在边界可能有交的情形下仍可扩展应用,从而将整个空间的区域积分转换为了边界积分。然后利用卷绕数局部分解的性质和平移不变性,将其导数计算也转换为了边界积分。本方法还充分利用了高斯核函数的径向对称和正交分解性质,为这些边界积分实现了高效精确的数值方法。
 
研究成果与贡献

        基于高卷数良好的微分性质,我们充分利用了隐式表达与显示表达各自的优点,在曲线自交解除、交互编辑、偏移等应用上得到了高效、易理解、易分析的连续优化解法。这一研究工作为多种形状表达方式的融合提供了新的可能。

        浙江大学计算机辅助设计与图形系统全国重点实验室黄劲(Jin Huang)教授为本文通讯作者,博士研究生孙浩然为本文第一作者。